- •Міністерство освіти і науки України
- •Приклади:
- •§2. Відкриті множини метричних просторів та їх властивості
- •§3. Топологія. Топологічні простори. Приклади
- •§4. Замкнені підмножини топологічного простору
- •§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору
- •§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору
- •§7. Ізольовані, граничні, межові точки
- •§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази
- •§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми
- •§10. Компактні топологічні простори
- •Список використаної літератури.
§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору
Нехай Т – топологічний простір, називаєтьсяточкою дотику до підмножини А, якщо .
Сукупність усіх точок дотику А називається замиканням підмножини А. ([А])
Теорема (властивості операції замикання):
Нехай Т – топологічний простір, тоді операція замикання в Т має такі властивості:
1.
2.
3.
4.
Доведення: 1)
2)
3)
Покажемо, що
Можна розглядати як окіл у, а оскільки ує[А], то
4)
Покажемо, що
Застосуємо метод математичної індукції:
Базис
Індуктивне припущення:
Індуктивний перехід: .
Все доведено.
Нехай Т – топологічний простір, - замкнена тоді і тільки тоді, коли
.
Доведення: Припустимо, що А – замкнена, тоді - відкрита, тобто
хне є точкою дотику.
Отже, не містить точок дотику, тому вони попадають в А. Але.
Припустимо тепер, що , слідовно всі точки дотику містяться в А, томуне має точок дотику- відкрита, тому А – замкнена. Все доведено.
Твердження: Нехай Т – топологічний простір, Тоді- перетин усіх замкнених підмножин з Т, що містять А.
Доведення: Нехай F – перетин усіх замкнених підмножин з Т, що містять А.
Тоді F – замкнена підмножина, яка містить А.
Покажемо, що . Дійсно, оскількивідкрита, то
х не є точкою дотику до А, тому усі точки дотику містяться в F.
Оскільки , то- замкнена.
§7. Ізольовані, граничні, межові точки
Нехай Т – топологічний простір, Тоді
Точка К, яка належить множині А, називається ізольованою точкою множини А, якщо
Множина усіх ізольованих точок з А позначається IsA.
Точка х, яка належить множині Т, називається граничною, якщо
. Множина усіх граничних точок А позначається і називається похідною множини А.
Точка х, яка належить множині Т, називається межовою точкою множини А, якщо . Сукупність межових точок – це межа А (FrA).
Твердження 1: Нехай Тодірозпадається на три множини, що не перетинаються:
IsA.
- граничні точки А, що належать А.
- граничні точки А, що не належать А.
Доведення: З означення граничної точки та точок дотику випливає, що будь-яка гранична точка є точкою дотику: .
А розглянувши ще означення ізольованих точок , бачимо, що будь-яка точка дотику є або граничною точкою, або ізольованою:
Оскільки означення ізольованих і граничних точок є несумісними, то перетин – пуста множина: .
Множина розпадається в об’єднання двох підмножин, що не перетинаються: . Все доведено.
Наслідок 1: Підмножина А множини Т є замкненою тоді і тільки тоді, коли вона містить усі свої граничні точки.
Твердження 2: Нехай Тодірозпадається в об’єднання трьох підмножин, що не перетинаються:
Доведення: З означення межових точок та точок дотику випливає, що всяка межова точка є точкою дотику, тобто . Розглянувши ще означення внутрішніх точок, бачимо, що будь-яка точка дотику є або межовою, або внутрішньою точкою (якщо ).
Таким чином, .
Оскільки означення межових та внутрішніх точок є несумісними, то .
У свою чергу, розпадається в об’єднання двох підмножин, що не перетинаються: . Все доведено.
Наслідок 2: є замкненою тоді і тільки тоді, коли вона містить усі свої межові точки.
Наслідок 3: Тоді:
1.
2.
3.
Приклади: 1.
2.