Зміст

Передмова 1. Перестановки та підстановки 2. Визначники 2.1. Матриці. Загальні відомості 2.2. Визначники другого та третього порядків 2.3. Визначники n-го порядку 2.4. Властивості визначників 2.5. Мінори та їх алгебраїчні доповнення 2.6. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця 2.7. Знаходження визначника зведенням до трикутного виду 3. Алгебра матриць 3.1. Додавання матриць і множення матриці на число 3.2. Множення матриць 3.3. Транспонування матриці 3.4. Обернена матриця Відповіді Список рекомендованої літератури

4 5 13 13 16 18 24 34 37 39 43 43 46 59 60 69

Передмова

Навчальний посібник призначений для самостійної роботи студентів першого курсу при вивченні початкових розділів вищої алгебри. Самостійна робота є необхідною умовою успішного засвоєння знань, особливо при вивченні такого складного предмета, як математика.

В посібнику поданий основний теоретичний матеріал з таких розділів вищої алгебри: «Перестановки та підстановки», «Визначники», «Матриці». Матеріал поділяється на невеличкі параграфи для того, щоб ним можна було користуватись в більшому або меншому обсязі, в залежності від спеціальності. Для кращого засвоєння до кожного параграфу наведені приклади, які ілюструють теоретичні поняття та взаємозв’язки між ними. Частина прикладів є продовженням лекційного матеріалу.

Однією з головних проблем сучасного стану вищої освіти є різний рівень підготовки випускників середніх шкіл. Це дуже ускладнює процес викладання лекційного матеріалу та проведення практичних занять. Навчальний посібник допомагає вирішити цю проблему, оскільки містить задачі та приклади різного рівня складності, від зовсім легких до складних, які сприяють розширенню кругозору студентів. Подано 90 задач із відповідями для самостійного розв’язання.

Посібник призначений також для розвитку таких якостей судентів, як вміння працювати з підручником, ставити питання, класифікувати поняття, здатність до аналізу та самоконтролю.

1. Перестановки та підстановки

Всяке розташування перших n натуральних чисел 1, 2, …, n у деякому певному порядку називають перестановкою із n чисел (або із n символів).

Наприклад,

3, 4, 1, 2

є перестановкою із 4 чисел.

Кількість різних перестановок із n символів дорівнює n!.

Нехай – деяка перестановка чисел 1, 2, …, n. Будемо говорити, що пара елементів утворює інверсію в заданій перестановці, якщо i < j, а , тобто, якщо більше з чиселзнаходиться в цій перестановці лівіше меншого.

Наприклад, у перестановці

1, 4, 2, 3, 6, 5

із 6 чисел пара (4, 2) утворює інверсію, а пара (2, 5) не утворює.

Перестановка називається парною, якщо кількість пар елементів, що утворюють інверсію відносно цієї перестановки є парним числом, і непарною  у протилежному випадку.

Приклад 1.1. Перестановка

1, 2, …, n

є парною при будь-якому n, оскільки кількість інверсій в ній дорівнює нулю.

Приклад 1.2. Розглянемо перестановку

2, 5, 4, 3, 1

і визначимо її парність.

Випишемо всі пари елементів, що утворюють інверсію відносно цієї перестановки:

(2, 1), (5, 4), (5, 3), (5, 1), (4, 3), (4, 1), (3, 1).

Кількість цих пар дорівнює числу 7, отже, перестановка є непарною.

Задача 1.1. Визначити парність перестановки із 6 символів:

а) 1, 2, 3, 4, 5, 6; б) 2, 1, 3, 5, 6, 4; в) 2, 1, 4, 3, 6, 5; г) 6, 3, 2, 4, 5, 1;

д) 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Задача 1.2. Визначити парність перестановки із 30 чисел:

а) 2, 1, 4, 3, , 30, 29; б) 2, 1, 3, 4, , 30; в) 30, 29, ,2, 1;

г) 2, 3, 1, 5, 6, 4, , 29, 30, 28.

Нехай M = {1, 2, …, n} – множина перших n натуральних чисел. Підстановкою множини M називається взаємно однозначне відображення множини M в себе, тобто відображення, яке кожному із натуральних чисел

1, 2, …, n ставить у відповідність одне з цих же чисел, причому різним числам ставляться у відповідність також різні числа.

Усяка підстановка множини {1, 2, …, n} називається підстановкою n-го степеня.

Наприклад, задамо відображення множиниM = {1, 2, 3, 4} у себе за правилом:

.

Тоді є підстановкою множиниM.

Якщо задати відображення цієї ж множини у себе таким чином:

,

то не є підстановкоюM, оскільки 1 ≠ 4, а .

Усяка підстановка n-го степеня може бути записана у вигляді матриці із двох рядків і n стовпців. У першому рядку розташовані елементи 1, 2, …, n у деякому розміщенні, а в другому – під кожним з цих елементів записується його образ відносно :

. (1)

Такий запис підстановки називають табличним. Підстановку n-го степеня можна декількома способами записати у вигляді (1). Наприклад, підстановку можна записати, як

або .

При цьому кожна підстановка n-го степеня може бути записана у вигляді:

, (2)

тобто з природним розміщенням чисел 1, 2, …, n у верхньому рядку. При такому записі різні підстановки n-го степеня відрізняються одна від другої тільки перестановками, які розміщені в другому рядку. Звідси виходить, що кількість підстановок n-го степеня дорівнює числу перестановок із n символів, тобто дорівнює n!

Прикладом підстановки n-го степеня є тотожня підстановка

,

при якій всі символи залишаються на місці.

Задача 1.3. Підстановка множиниM = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} задана за правилом:

.

Записати у табличному виді.

Задача 1.4. Підстановка множиниM = {1, 2, …, n } задана за правилом:

.

Записати у вигляді таблиці.

Приклад 1.3. Знайдемо всі підстановки третього степеня і запишемо їх у табличному виді.

Кількість підстановок третього степеня дорівнює числу 3! = 6. Це є такі підстановки:

, ,,,,.

Задача 1.5. Записати у вигляді таблиці:

а) всі підстановки другого степеня; б) всі підстановки четвертого степеня.

Задача 1.6. Указати кількість підстановок шостого степеня, які залишають на місці число 1.

Задача 1.7. Указати кількість підстановок восьмого степеня, таких щоі.

Задача 1.8. Указати кількість підстановок n-го степеня, які k фіксованих символів залишають на місці (k  n).

Нехай підстановка записана в табличному виді. Тоді перший і другий рядки таблиці є перестановками степеня n. При різних записах у вигляді таблиці парності цих перестановок або однакові , або протилежні.

Підстановка називаєтьсяпарною, якщо в будь-якому записі у табличному виді парності верхнього та нижнього рядків співпадають інепарною  якщо ці парності протилежні.

Нехай підстановка записана у вигляді (2), тобто у верхньому рядку таблиці знаходиться парна перестановка