21. Поняття потрійного інтегралу. Умови його існування та властивості.

Схема побудови потрійного інтеграла “вона” сама як звичайного визначного інтеграла та подвійного інтеграла. Нехай задана обмежина область G c /R, на якій визначена функція

U=f(x,y,z). Розыб’ємо область G неперервними поверхнями на n довільн. частин G1,…,Gn

обєми яких позначимо відповідно через дельтаV1,…, дельтаVn. В кожній з части них областей візьмемо довільну точку Pi(“Li”,єтоi,Ji),i=(1,n)под вектором і побудуємо суму від i=1,по n f(“Li”,єтоi,Ji) дельтаV1 (1)

Означ.Сума (1) називається інтегр. Сумою функц. U=f(x,y,z) у області G. Нехай лямда=max d(Gi) найбільший з діаметрів областей G1,…,Gn.

Означ. Інтегральна Якщо інтегральна сума (1) при лямда->0 має скінченну границю яка не залежить він способу і він вибору в них точок Pi, i=(1,n)под вектором то цю границю границю називають потрійним інтегралом функції U=f(x,y,z) по області G і позначаються

Символом SSSпо G він f(x,y,z)dv тут f(x,y,z) під інтегральна функція x,y,z-зміні інтегрування G-область інтегрування dv-єлемент обєми. Таким чином за означенням SSSпо G від f(x,y,z)dv<=lim(лямда=0) суму від i=1,по n f(“Li”,єтоi,Ji) дельтаVi (2)

Зауваження.1)У прямокутних декартових координатах зручним виявляється ( ) обмеж.

G площинами які паралельні координатн. Площинам. Хоу. Хоz,Yoz. В цьому випадку є лемент обєму dv=dxdydz і пишуть потрійний інтеграл по G SSSпо G від f(x,y,z) dxdydz.

2)Якщо вскори в області G F(x,y,z)=1, то з формули (2) випливає, що обєм області G дорівн. V0=SSS по G dxdydz. 3)Потрійний інтеграл ( ) узагальн. Подвійному інтегралу на рівномірний простір.Тому теорія потрійного інтеграла теор. потрійного.

Теор.(Достатні умови інтегрування) Якщо функція U=f(x,y,z) неперервна в замкненій обмеж. області G, то вона інтегр. В цій області.

Властивості потрійного інтеграла.

1)Постійний множникінтегралів під мнлжник можна виносити с під знаку потр.інтегр. SSSпо G він f(x,y,z)dv= с SSSпо G він f(x,y,z)dv.

2)Потрійний інтеграл він суми ” ” інтегрування функції дорівн. Суми (різниці) потрійн інтегр. ” ” .

3)Якщо функц. F(x,y,z) інтегровна в області. G і всюди в області G f(x,y,z) >=0, то SSSпо G від f(x,y,z)dv>=0.

4)Якщо функція f1(x,y,z) і f(x,y,z) інтегровані в області G , і всюди в області G справ. Нерівність f1(x,y,z) <f2(x,y,z), тоді SSSпо G він f1(x,y,z)dv<= SSSпо G він f2(x,y,z)dv

5)Якщо функц. F(x,y,z) інтегровані в області G і G=G1 U G2, де області G1 U G2 не мають спільн. Точок, то SSSпо G від f(x,y,z)dv= SSSпо G1 від f(x,y,z)dv + SSSпо G2 від f(x,y,z)dv

6)Якщо функція f(x,y,z) неперервна в замкненій області області G, то SSSпо G від f(x,y,z)dv<=”mVGmVg”<= SSSпо G від f(x,y,z)dv, де m I M відповідно найменше і найбільше значення функції f(x,y,z) в області G, Vg-обєи області G.

7)Якщо функц. F(x,y,z)неперервна в замкненій обмеженій області G то в цій області існує точка P0(x0,y0,z0) Є G “ ” SSSпо G від f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0).

22. Обчислення потрійного інтегралу. Приклади.

Як і у випадку подвійного інтегралів обчис. Потрійного інтегралів зводиться до обчислення поверхні інтегралів, тобто до інтегрування по кожній змінній окремо. Нехай область G обмежина знизу і зверху поверхнями він повідно z=псі1(x,y) z=псі2(x,y)

Тут долженб іть графік

Означення. Назвимо область G правельною напрямі осі OZ, якщо кожна пряма , що проходить через внутріщно перетинає межу області G у двох точках. Позначимо через Gотx,y проекцію області G на координатну площину xoy, тоді для будь якої неперервної в області G функція U=f(x,y,z)справедлива формула SSSпо G від f(x,y,z)dxdydz =” ”(1)Зміст формули (1) який треба спочатку обчислити інтегр. Він псі1 (x,y) до псі2(x,y) “ ”

По змінній z, вважаючи зміні x,y сталими нижнею і верхн. Межею інтегр. Тут є рівняння відповідно нижнєю і верхнєю поверхні що обмежують область G, в наслідок цього одержимо функцію I(x,y) якщо він цієї функц. По області Gxy за відомими правилами обчислити подвійн. Інтеграл по y результаті одержимо значення необх. Потрійн. Інтеграл.

Заув.1)Як правило межі внутрішн. Звич.інтегралу є зміними вони залежать він цих змінних що не є в цьому інтегралі змішн. Інтегрування. Обидві межі інтегрування будуть сталими тільки у тому випадку якщо область інтегр. G, є прямий циліндр ” ” якого паралельні осі oz, а осн. Знаходят. Площині xoy.2)Порядок інтегр. У формулі (1) може бути і іншими, тобто зміні x,y,z у правій частині формули (1) за певних умов можна міняти мі тами.Наприклад.Якщо область G правельна у напрямі осі ox I x=фі1(y,z) x=фі2(y,z) рівняння повер. Що обмежують область G при чьому фі1(y,z)<= x<=фі2(y,z), то формулу (1) можна записати у вигляді SSS по G f(x,y,z) dxdydz=SSS по Gyx dydzS” ”

Де Gxy проекція області.

3) У випадку коли область інтегрув. G має більш складний вигляд, тобто не є правільною у напрямі всіх трьох координих осей ox,oy,oz її треба розбити неперервними поверхнями на частиній ” ” з яких буде правильно у напрямі деякої коорд. Осі обчислюючи потрійн.інтеграл він цих частичн. Областей с додаючи одержані велечини за властив.(5) потрійн. Інтегр. Одержимо необчідн. Потрійний інтеграл у області G.

Приклад. Обчислити потр. Інтеграл по G від SSS по G f(x,y,z)z dxdydz де область G обмежина поверхнями z=0,x=0,y=0,x+y+z=1 Проєкцію G(x,y)області G на площину xoy є трикутник обменний у площині xoy прямими x=0,y=0,x+y=1 за формулою (1)маємо