20.Ф-ла Гріна

Теор.: Нех D – деяка правильна обл. у якій задані ф-ції P(x,y) і Q(x,y) і викон. умови:

1. P(x,y) і Q(x,y) неперервні разом із своїми частинними похідними ,;

2)границя обл. D кусково гладка крива L.

Тоді справдж. ф-ла Тріна (4)

Ф-ла Тріна (4) зв’язує подвійний інт. і кринолін. інт.

Зауваж.: вияв., що для любих тч. А і В площини хОу кринолін. інт. при обчислені за різними кривими, що з’єднують тч. А і В мають різні знач..

Озн. обл. D у площ. хОу наз. однозв’язною, якщо її межа є одна неперервна замкнена крива без точок само перетину. У випадку, коли межа обл. D з двох замкнених кривих, без точок само перетину обл. D наз. двозв’язною.

Теор.: якщо ф-ції P(x,y) і Q(x,y) неперервні разом із своїми частинними похідними ,у деякій однозв’язній обл.DСR² , то наступні 4 умови еквівалентні:

1) якщо L – довільна неперервна замкнена крива, яка належить обл. D, то криволін. інт.

2) якщо А і В – довільні точки обл. D, то криволін. інт. не залеж. від шляху . інт

3) існує ф-ція U=U(x,y), визначена в обл. D. Повний дифірінціал якої дорів. dU=Pdx+Qdy

4) у всіх тч. обл. D викон. рівність_=.

??. Деякі застосування кратних та криволінійних інтегралів.

Заст. Подв інт.:

I ) Заст у геометрії:

1) площа замкн. обмеж. обл. D з прост. R²

2) Об′єм вертикального циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі OZ і яке обмежене знизу обл. D, а зверху неперервною функ. Z=f(x,y)

3) Площа поверхні, яка визн. рівн. Z=f(x,y) і ф-ція f(x,y) має неперервні частинні похідні f(x,y), f(x,y) деD проекц. пов. σ на площ. xOy.

II) Заст у механіці:

1. масса матеріальної пластини, яка на площі xOy має ф-му обл D, обл D замкнена обмежена і густина її у кожній точці (x,y) визначаетьося ф-цією g=g(x,y), визначається ф-лою: б) статичні координати відносно осей в) центри мас г) моменти інерції відносно коорд осей:

Потрійний інтеграл: 1) застос у геометрії - об´єм замкненої обмеженої обл G<R³

2. а) масса тіла, яке займає замкнену обмежену область G у прост R³ і густина якого у кожній точці (x,y,z), що Î G визнач ф-лою g=g(x,y,z)

б) моменти інерції відносно координатних осей:

OX

OY

OZ

в) момент інерції тіла відносно початку координат:

г) момент інерції відн коорд площин:

xOy:

yOz:

xOz:

д) статичні моменти відносно коорд площин:

xOy:

yOz:

xOz:

е) центр масс:

_{; ;}

Криволін інт:

1) Застосув у геометрії:

а) довжина кривої АВ

б) якщо замкнена обмеж обл D має межею кусково гладку криву L без точок самоперетину, площа обл D може бути знайдена за ф-лою:

2) Застосув до задач механіки:

а) нех вдовж неоднорідної кривої l розподілено масу, густина якої : g=g(x,y), тоді маса кривої

б) статичні моменти відносно коорд осей:

в) координати центра мас кривої:

г) мом інерції відносно коорд осей

д) момент ін відн поч коорд:

Нехай сила переміщує матеріальну точку вздовж кривої L з т. А в т. В , тоді виконана робота знаходиться за ф-лою: .