23. Заміна зміних у потрійному інтегралі.

Нехай в замкненій обмеженій області G що належить R³ U=f(X,Y,Z) і Y за формулами [X=X(U,V,W) Y=Y(U,V,W) Z=Z(U,V,W)](1)

Треба перейти до нових змінних інтегрування U,V,W.

Будемо вважати , що область G при переході до нових змінних перетворюється на замкнену обмежену область G* причому функції (1) мають неперервні частинні похідні в області G* і відмінній від 0 фyнк-ний визначник:

  

Будемо вважати крім того, що функція f(x,y,z) – неперервна по області G тоді справедлива формула (2)

При розвязанні задаччі найбільш часто зустрічаються циліндричні та сферичні системи координат. Розглянемо який вигляд має ф-ла(2) у таких координатах:

0    2

0    +

-  z  +

Перехід від Декартових координат до циліндричних виконується за ф-лою

(3)

Назва циліндричній координати повязана з тим що рівні поверхні =const в цих координатах на точках є циліндр, твірні якого паралельні осі OZ:

Перехід від Декартовіх координат до сферичних здійснюється за ф-лами :

X=sincos

Y=sin sin

Z=cos

0+

02

0

Звідси і формулу (1) можна записати у вигляді

_*

(4)

Зауваження: Назва сферичні координати повязані з тим, що координатна поверхння є сферичною.

Зокрема, якщо обл. G обмежена циліндричною поверхнею

та площинами , то всі межі інтегрування в циліндричних координатах будуть сталими, тобто потрійний інтеграл:

Те ж саме буде і в сферичних координатах у випадку , коли обл. G – куля, або кульове кільце

x²+y²+z² = ²sin²cos² + ²sin²sin²+²cos²=²(sin²(cos²+sin²)+cos²) R R

У випадку коли G – кульове кільце: r²x²+y²+z²R² Якщо G – куля то в ф-лі [5] r треба взяти r = 0. Загальних правил, коли треба переходити до тої або іншої системи координат не існує, тому часто потрібно записувати інтеграл у різних системах координат і лише потім вирішувати в якій із них обчислювати.

Приклад: обчислити потр інт

де G-куля  1 За ф-лами [5], поклавши

r = 0 , одержимо

19. Криволінійні інтеграли. Приклади.

Озн.:Неперервна крива x=x(t),y=y(t),де а<=t<=b наз. гладкою, якщо ф-ція x(t) і y(t) мають неперервні похідні, які не дорівнюють одночасно 0 ні в якій точці a<=t<=b

Озн:Крива LCR² наз. Кусково гладкою, якщо вона склад. із скінченого числа гладких кривих.

Нех. в площ. хОу задана кусково гладка крива АВ і нехай на цій кривій визначена обмежена ф-ція F(x,y). Розіб’ємо криву АВ точками А=А_0, А₁,А₂,...,А_п =В на n частин.

На кожній з дуг А_i-1А_i, i=1,n Виберемо довільну точку М_i(ﻉ_i ,η_i )дуги A_i-1A_i і складемо сумую

⁽¹⁾

Озн: сума(1) наз. інтегральною сумою ф-ції f(x,y), по кривій

Позначемо через λ=max з l_i (найбільша з двох дуг А_i-1 A_i 1≤i≤n), якщо при λ→0 існує скінч. границя інтег. суми (1), яка не залежить від способу розбиття кривої АВ на дуги точками А_i

i=0,n та не залеж. від точок вибору М_i , i=1,n, то цю границю наз. кринолін. інтег. першого роду від ф-ції f(x,y). ₍₂₎

якщо границя (2) існує, то ф-цію f(x,y) назю інтегрованою на кривій АВ. Саму криву АВ наз контуром інтегрування. А наз. начальной тч. інтег., В – конечной

Обчислення криволінійних інтегралів I роду:

1)крива АВ задана параметрично x=x(t) y=y(t), a≤t≤b, причому ф-ції x(t), y(t) – неперервні разом із своїми похідними, тоді інт. по АВ

АВ задана в явному виді y=y(x), a≤x≤b. Тоді крив. інт.

леше вваж., що ф-ція у=у(х) – неперервне разом із своєю похідною y’(x).

3) АВ задане рівн. х=х(у), с≤у≤d. Ми вважаємо, що ф-ція х(у) – неперервна разом зі

своєю похідною x’(y), тоді

Приклад: обчислити , АВ: у=х3/4, А(0,0), В(4,3)

Криволінійні інтеграли II роду визначаються майже так само, як і криволінійні інтеграли I роду. Нех. в площ. хОу задана кусково гладка крива А – поч. і В – кін. кривої. Розіб’ємо на дуги А=А₀,А₁,...,А_n=В, на кожній з дуг А_i-1А_i виберем точку М_i (ξ_i,η_i). Познач. через ⌂х_i проекцію вектора А_i-1А_i на вісь Ox.

Нех. f(x,y) обмеж. ф-ція, задана на кривій АВ. Розгул. інт. суму (3)

Зрозуміло, що інт. суми в ф-ях (2) і (3) – різні

Озн. Границя при інтегральних сум в випадку, коли вона скінченна не залежить від способу розбиття кривої АВ не дуги точкам А_i(=0,n) і вибору точок M_i(i=1,n) наз. криволінійним інтег. від ф-ції f(x,y) II роду по координаті х і позначається символом

, тобто за означ. Аналогічно визн .кринолін. інт. II роду від ф-ції f(x,y) по координаті у.

Нех. на кривій АВ задані функції P(x,y) і Q(x,y) - наз. криволін. інт.II роду від ф-цій P і Q по кривій АВ і познач символом

Обчислення криволінійних інтегралів II роду:

1)крива АВ задана параметрично x=x(t) y=y(t), a≤t≤b, причому ф-ції x(t), y(t) – неперервні разом із своїми похідними x’(t) і y’(t)

2)АВ задана в явному виді y=y(x), a≤x≤b вваж., що ф-ція у=у(х) – неперервне разом із своєю похідною y’(x). Тоді крив. інт. II роду

3)АВ задане рівн. х=х(у), с≤у≤d. Ми

вважаємо,

що ф-ція х(у) – неперервна разом зі

своєю похідною x’(y), тоді

Пример обчислити , АВ: у=х² парабола, яка з’єднує тч. А(0,0) і В(1,1)

За другою ф-лою

У деяких випадках треба обчислювати крив. інтеграл по замкненому контуру.

В цьому випадку розглядають дві орієнтації: під додатною орієнтацією контура розуміють обхід контура у напрямі, що збігається з напрямом, який протилежний руху годинникової стрілки. Тобто це буде такий обхід обл., при якому внутрішність обл., яка обмежена кривою АВ залишається зліва. Крив. інтеграл по замкненому контуру познач. символом ; при обхіді контуру (за годинниковою стрілкою) вважають від’ємною і познач. символом