matphy_mech_lnotes_mn

11

1. Основы тензорной алгебры и анализа

1.1.Πρoλεγoµενα´ или малое введение

1.2.Ортогональные преобразования базисов

1.3.Умножение векторов

1.4.Приведение симметричного тензора к главным осям

1.5.Дифференциальные операторы теории поля

1.6.Интегральные теоремы теории поля

1.7.Вопросы и упражнения

1.8.Путеводитель по литературе

12

2. Уравнения и краевые задачи математической физики

2.1.Πρoλεγoµενα´ или малое введение

2.2.Тензорные поля в механике сплошной среды

. . . до сих пор я написал лишь одну–единственную статью философского содержания, причем поводом к этому послужил следующий случай. Однажды в зале заседаний Академии я участвовал в оживленнейшей дискуссии, вызванной спором о ценности атомистических теорий, снова приобретшим тогда остроту среди физиков. Дискуссия велась с группой академиков, среди которых находился надворный советник профессор Мах.

<. . . > Во время дискуссии об атомистике, проходившей в упомянутой мною группе академиков,

Мах внезапно произнес следующую лаконичною фразу: Я не верю, что атомы существуют . От этого заявления у меня голова пошла кругом.

Больцман Л. Вступительная лекция к курсу натурфилософии, 1903. [11]

Всовременной механике принято представление о пустом тр¨ехмерном пространстве,

вкотором движутся тела, и едином астрономическом времени. Если тело обладает линейными размерами, которыми в условиях данного движения можно пренебречь (т. е. линейные размеры тела пренебрежимо малы в сравнении с некоторым характерным линейным размером), то такое тело считается материальной точкой. Место, которое занимает материальная точка, понимается как геометрическая точка. Движение материальной точки понимается как последовательная смена мест (положений) в различные мгновения, или моменты времени. Само¨е время понимается как некоторый непрерывный параметр, порождающий упорядоченность мгновений и, соответственно, положений движущейся материальной точки.

Для того, чтобы различать места в пространстве, т. е. геометрические точки, вводится понятие системы координат. Последняя определяется заданием 1) некоторой отсч¨етной точки в пространстве и 2) направлений. В пустом пространстве такую точку выбрать невозможно, поэтому выбирается некоторая материальная точка, из которой выводят взаимно перпендикулярные направления. Таковыми могут быть выбраны направления на удал¨енные материальные точки, например, на неподвижные зв¨езды. В результате появляются взаимно однозначное сопоставление геометрических точек и троек чисел — декартовых ортогональных координат. Человеческий опыт говорит, что это возможно в том смысле, что пространство является евклидовым.

Для того, чтобы можно было изучать последовательную смену материальной точкой геометрических точек, к системе координат добавляют часы, что порождает систему отсч¨ета.

Определение 2.1. Системой отсч¨ета в механике называется система координат, в каждой точке которой находятся одинаково идущие (синхронизированные) часы.

В механике особое внимание уделяется инерциальным системам отсчета, т. е. таким, в которых выполняются законы классической механики. Если известна одна инерциальная система отсч¨ета, то любая система отсч¨ета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, также инерциальна.

Одну инерциальную систему отсч¨ета, связанную с некоторым наблюдателем, будем называть лабораторной. Декартовы ортогональные координаты геометрической точки в ла-

13

бораторной системе отсч¨ета будем обозначать x1, x2, x3, а орты соответствующих осей — j1, j2, j3. Закон движения материальной точки есть функция геометрического положения материальной точки от времени:

∑3

x = x(t) = xκ(t) jκ = x1(t) j1 + x2(t) j2 + x3(t) j3 ,

κ=1

который в матричных обозначениях записывается так:

						x1		(t)
					x			t
							3	(	)
x (t) =		x1(t) x2(t) x3(t)		=				(t)

(2.1)

(2.2)

Скорость и ускорение материальной точки находятся дифференцированием закона движения (2.1):

v = v(t)

w = w(t) =

		dx		3
=				=	vκ(t) jκ ,
		dt
				κ=1	(2.3)
				∑
				∑
dv	d2x			3
=	dt2			=	wκ(t) jκ .
dt				κ=1

Для описания многих явлений окружающего мира язык классической механики — механики точки и системы точек, включая тв¨ердые тела, — оказывается избыточным, что оправдывает различные упрощения. Одно из них — модель сплошной среды, в которой отказываются от рассмотрения дискретности окружающего мира (в смысле существования частиц вещества — молекул, атомов, элементарных частиц и других структурных единиц) в пользу непрерывности (сплошности). Это означает следующее.

Пусть в некоторой малой области O R3, окружающей выделенную точку x[0] в момент времени t, находятся N частиц, занумерованных с помощью индекса k N. Масса, скорость и энергия (внутреннего движения) частиц суть mk, vk и εk. Для частиц в области O (см. табл. 2.1) последовательно вводятся: 1) масса M, количество движения P

иэнергия E, как суммы соответствующих значений по частицам (первый столбец); 2) плотность ρ¯, скорость v¯ и удельная массовая внутренняя энергия ε¯ области O R3 (второй столбец); 3) объемные плотности массы M, количества движения P и энергии E сплошной среды в области O (третий столбец).

Вмодели сплошной среды предполагается, что можно, уменьшая диаметр области O

истягивая е¨ в точку x[0], перейти к предельным значениям ρ¯, v¯ и ε¯, которые принимаются в качестве значений соответствующих величин в выбранной точке. Следовательно, в механике сплошной среды принято работать с плотностями величин массы, количества движения и энергии в каждой точке области в моменты времени из некоторого интервала. Это значит, что в пространстве событий, параметризованном лабораторной системой отсч¨ета, определены поля ρ(x, t), v(x, t), ε(x, t) и др.

Определение 2.2. Независимые переменные в лабораторной системе отсч¨ета (системе отсч¨ета неподвижного наблюдателя) называются переменными Эйлера.

14

Табл. 2.1. Введение скалярных и векторных полей в модели сплошной среды

По области

Средние

Массовые плотности

N

M

M :=

mk

ρ¯ := |O |−1M

= ρ¯

|

∑

|O

k=1

N

P

P :=

m v

v¯ := M−1P

= ρ¯v¯

∑

k k

|

|O

k=1

N

(

1

+ Ek)

N

(

1

− v¯|2 + Ek)

E

1

mkvk2

ε¯ = M−1 k=1

ρ¯v¯2 + ρ¯ε¯

E := k=1

mk |vk

=

2

2

|

2

∑

∑

|O

В переменных Эйлера закон движения сплошной среды вида (2.1) получить нельзя, поскольку координаты x относятся к геометрическим точками наблюдения, а не к материальным частицам. Тем не менее, постановка задачи о получении закона движения вида (2.1) уместна. Для этого следует соединить в одном равенстве определение скорости движения материальной частицы и поле скорости с добавлением начальных условий:

	dx		= v(x, t) ,
	dt					(2.4)
					D
				[0]
						(0) .
x(0) = x

Решение задачи Коши (2.4) да¨ет искомый закон движения в виде (2.1). Пусть начальные положения материальных частиц в области D(0) в момент времени t = 0 параметризованы с помощью координат, для удобства считаемых декартовыми ортогональными и обозначаемых X = (X1, X2, X3). Тогда закон движения (2.1) принимает вид:

x = (X, t) .

(2.5)

Определение 2.3. Независимые переменные (X, t) в сопутствующей системе отсчета (системе отсч¨ета подвижного наблюдателя) называются переменными Лагранжа.

Область D(0) переменных X в отсч¨етный момент времени указывает, где располагается сплошная среда ( ). В силу (2.5) область D(0) отображается в область D(t) переменных x, прич¨ем две различные в момент времени t = 0 точки не могут занимать при t > 0 одного и того же положения в пространстве, т. е. якобиан отображения (2.5)

J(X, t) := ∂(x1, x2, x3) =

∂(X1, X2, X3)

не может обращаться в нуль или бесконечность.

						15
∂x1		∂x1		∂x1
∂X1		∂X2		∂X3
∂x2		∂x2		∂x2
						(2.6)
∂X1		∂X2		∂X3
∂x3		∂x3		∂x3
∂X1		∂X2		∂X3

2.3.Описание движения в механике сплошной среды

Влабораторной системе отсчета (x, t) выберем произвольную геометрическую точку x[1]. С этой геометрической точкой (местом) в момент времени t совпадает некоторая материальная точка, имеющая скорость v(x[1], t). Пусть O есть некоторая малая окрестность точки x[1]. Множество материальных точек, находящихся в момент времени t в окрестности O , назов¨ем материальной частицей. Поставим задачу — узнать, что произойд¨ет с материальной частицей через малый промежуток времени ∆t. Задачу будем решать двумя способами — в переменных Эйлера и Лагранжа.

Впеременных Эйлера запишем уравнение векторных линий поля скорости (уравнение траекторий):

	dx	= v(x, t)	(2.7)
	dt

с	начальными условиями x(t) = x[1] и x(t) = x[2] O , и проинтегрируем по времени
с первым порядком точности относительно заданного промежутка времени ∆t:

x[1]′ = x[1] + ∆t v(x[1], t) ,

(2.8)

x[2]′ = x[2] + ∆t v(x[2], t) .

Из (2.8) заключаем, что малый материальный вектор ∆x:= x[2]−x[1] в момент време-

ни t + ∆t займ¨ет положение
∆x′ := x[2]′ − x[1]′ = ∆x + ∆t (v(x[2], t) − v(x[1], t)) .	(2.9)

Разложив поле скорости v(x, t) в ряд Тейлора по x относительно точки x[1], будем иметь для разности скоростей в точках x[2] и x[1], с точностью до членов первого порядка по ∆x:

				∑ι	∑
				3	3		∂v	(x[1], t)	,
	[2]	[1]	[1]				κ
	v(x , t) − v(x , t) = ∆x · v(x , t) =			=1 κ=1		∆xι		∂xι
	откуда получаем следующее выражение для материального вектора (2.9):
			b	b
			∆x′ = ∆x · (E + ∆t D),

(2.10)

(2.11)

16

b [1] [1]

где D := v(x , t) — тензор градиента вектора скорости, вычисленный в точке x в момент времени t. В матричных обозначениях выражение (??) таково:

(	)	(2.12)
∆x′ = ∆x E + ∆t D ,

b

где D — матрица тензора D, прич¨ем для сокращения записи матриц, здесь и далее не будем делать указания на точку (x[1], t):

		∂v1			∂v2			∂v3
		∂x1			∂x1			∂x1
			2			2			2
		∂v1			∂v2			∂v3
D :=											(2.13)
										.
		∂x			∂x			∂x
			3			3			3
		∂v1			∂v2			∂v3
					∂x			∂x
	∂x

В переменных Лагранжа будем исходить из закона движения (2.5), в котором отсч¨етный момент времени выберем совпадающим с текущим, т. е. t[0] = t. Это означает, что произвольная материальная точка X сплошной среды в момент времени t занимает такое геометрическое положение, что x = X.

Выберем в сплошной среде две близкие материальные точки X[1] и X[2], образующие малый материальный вектор ∆X. Через промежуток времени ∆t материальный вектор ∆X займ¨ет положение

∆x′ := x[2]′ − x[1]′ = (X[2], t + ∆t) − (X[1], t + ∆t) .

(2.14)

Применим к правой части выражения (2.14) разложение в ряд Тейлора по X относительно точки (X[1], t) с точностью до членов первого порядка по ∆X = X[2] − X[1] и ∆t:

∆x′ = ∆X · X (X[1], t + ∆t) =			(X[1], t)
	∂
= ∆X · ( X (X[1], t) + ∆t		X			) =
			∂t
= ∆X · ( X (X[1], t) + ∆t X			X[1], t	)	)	(2.15)
			∂ (			=
			∂t
= ∆X · ( X (X[1], t) + ∆t X v(X[1], t) ) .

Принимая во внимание, что в отсч¨етный момент времени переменные Эйлера и Лагранжа совпадают, приходим к выводу, что последнее выражение (2.15) совпадает с ранее полученным (2.11). Далее решение задачи в переменных Эйлера и Лагранжа продолжается одинаково.

b

Представим тензор D в виде суммы симметричного и кососимметричного:

b	= b + c	,	(2.16)
D	S W

17

матрицы которых суть:
		1				∂v1				∂v1				1					∂v2				∂v1					1				∂v3					∂v1
			2	(		∂x1			+	∂x1		)			2	(			∂x1		+		∂x2			)		2		(		∂x1			+		∂x3			)
		(					2				1 ) (									2					2 ) (									2					3 )
		1				∂v1				∂v2				1					∂v2				∂v2					1				∂v3					∂v2
S :=									+													+														+						,	(2.17)
									+													+														+
		2				∂x				∂x				2					∂x				∂x					2				∂x					∂x
		(					3				1 ) (									3					2 ) (									3					3 )
		1				∂v1				∂v3				1					∂v2				∂v3					1				∂v3					∂v3
		2				∂x				∂x				2					∂x				∂x					2				∂x					∂x
														1					∂v2					∂v1				1					∂v3					∂v1
									0						2		(		∂x1			−		∂x2			)		2		(		∂x1			−		∂x3			)
		(						2				1 )																(							2
																																								3 )
		1				∂v1				∂v2																		1					∂v3					∂v2
W :=		2				∂x			− ∂x													0						2					∂x			−		∂x				.	(2.18)
																																				0
		(						3				1 )		(							3					2 )
		1				∂v1				∂v3				1					∂v2					∂v3
		2				∂x			− ∂x					2					∂x			− ∂x
																	′	получаем выражение
Тогда для материального вектора ∆x																																					c
∆x′									b					b											b							b											(2.19)
		= ∆x · (E + ∆t D) = ∆x · (E + ∆t S + ∆t W ) ,

которое факторизуем (представим в виде произведения) с точностью до членов первого порядка по ∆t:

b	b b	c	b	b b	c	(2.20)
∆x′ = ∆x · (E	+ ∆t S) (E	+ ∆t W )	= ∆x · (E	+ ∆t S) (E	+ ∆t W ) .

Факторизация (2.20) выражения (2.19) для материального вектора ∆x′ позволяет рас-

смотреть смысл каждого из тензоров b и c порознь, прич¨ем в любом порядке, т. е. как
		S W		b	b
		∆x′′ = ∆x	· (E		+ ∆t S ) ,	(2.21)
или			·	(	)
		∆x′ = ∆x′′		b	c
				E + ∆t W ,
				b	c
		∆x′′ = ∆x	· (E		+ ∆t W ) ,	(2.22)
			·	(	)
		∆x′ = ∆x′′		b	b
				E + ∆t S .

Выберем последовательность преобразований (2.21), первую строку которой запишем в матричном виде:

(	)	(2.23)
∆x′′ =	E + ∆t S ∆x .

18

Пусть R — матрица правых нормированных собственных векторов симметричной мат-

рицы S , тогда R R = E , и последнее равенство (2.23) перепишем тождественно:
		∆x′′ = (E + ∆t S) R R ∆x ,					(2.24)
после чего умножим слева на R :			)
(
R ∆x′′ = R E + ∆t S R R ∆x =							(2.25)
		= (E + ∆t R S R) R ∆x = (E + ∆t S) R ∆x ,

где S = diag(λ1, λ2, λ3) — диагональная матрица собственных значений матрицы S . Введем новые переменные Эйлера

y := R x ,		(2.26)

в которых преобразование (2.25) малого материального вектора ∆x в малый материальный вектор ∆x′′ запишется так:

(	)	(2.27)
∆y′′ =	E + ∆t S ∆y ,

или покомпонентно:

∆yκ′′ = (1 + ∆t λκ) ∆yκ .

(2.28)

Выберем в момент времени t материальную частицу O в виде шара Br(x[1]), поверхность которой есть сфера Sr(x[1]):

∑

(

)2

∑

(

)2

3

xκ

− xκ[1]

3

yκ

− yκ[1]

κ=1

r

=

κ=1

r

= 1 .

(2.29)

Сфера Sr(x[1]) (2.29), согласно (2.28), преобразуется в тр¨ехосный эллипсоид с полуосями aκ = (1 + ∆t λκ) r:

			∑
			3			yκ′′ − yκ′′[1] 2
									= 1 .
			κ=1(			aκ		)		(2.30)
Объ¨ем первоначально шарообразной частицы равен:
					V (t) =		4	π r3	,	(2.31)
							3
а объ¨ем эллипсоидальной частицы —
V (t) =	4	π a1a2a3	=	4	π (1 + ∆t λ1)(1 + ∆t λ2)(1 + ∆t λ3) ,					(2.32)
3			3

19

откуда скорость относительного изменения объ¨ема частицы равна:

	lim	V (t + ∆t) − V (t)	= λ1 + λ2 + λ3 .	(2.33)
		V (t)
	∆t→0

Выше компоненты вектора скорости v в переменных xκ были обозначены (v1, v2, v3), пусть в переменных yκ они суть (w1, w2, w3), тогда правая часть выражения (2.33) равна

λ1 + λ2 + λ3 =

∂w1

+

∂w2

+

∂w3

=

∂v1

+

∂v2

+

∂v3

= · v ,

(2.34)

∂y1

∂y2

∂y3

∂x1

∂x2

∂x3

и, очевидно, инвариантна.

b

Из (2.34) следует, что при деформации частицы, описываемой тензором S — симмет-

b

ричной частью тензора D = v — форма частицы меняется, но объ¨ем может оставаться неизменным, если · v = 0.

Определение 2.4. Сплошная среда, частицы которой при движении не изменяют своего первоначального объ¨ема, называется несжимаемой.

Совершенно очевидно следующее Утверждение 2.1. Необходимое и достаточное условие несжимаемости спллошной

среды состоит в равенстве нулю дивергенции поля скорости среды в произвольный момент времени.

Запишем теперь первую строку последовательности преобразований (2.21) в матричном виде:

∆x′ = (E + ∆t W ) ∆x = (E − ∆t W ) ∆x ,

(2.35)

где кососимметричную матрицу −W , согласно (2.18), запишем через компоненты вектора · v:

1					0		−( × v)3
−W :=	2			+( × v)3			0
				(		v)2	+(	v)1
					×
				−			×

+( × v)2		(2.36)
−( × v)1	.
0

Но тогда

b	c	1
∆x′ = (E	− ∆t W ) · ∆x = ∆x +	2		∆t ( × v) × ∆x ,	(2.37)

c

т. е. при деформации сплошной среды вклад кососимметричного тензора W сводится к повороту малого материального вектора.

Следовательно, при деформации сплошной среды произвольный малый материальный вектор участвует в тр¨ех видах движения: 1) параллельном переносе; 1) чистой деформации; 3) ж¨естком повороте.

20

2.4. Интегральные теоремы механики сплошной среды

Теорема 2.1. Производная по времени от интеграла по материальной области выражается следующей формулой:

()

d	g d3x =		∂g	+	·	(gv) d3x .	(2.38)
			∂t
dt
	D(t)	D(t)

Доказательство. Применим к интегралу в левой части определение производной по t

и преобразуем последнее очевидным образом:

d

g

d

3x

=

lim

1

{

g

x, t

t

3x

−

g

x, t

) d

3x

dt

∆t

∆t→0

(

+ ∆ ) d

(

} =

D(t)

{

D(t+∆t)

D(t)

=

lim

1

g

x, t

t

3x

−

g

x, t

t

3x

+

∆t

∆t→0

(

+ ∆ ) d

(

+ ∆ ) d

D(t+∆t)

D(t)

}

=

+

g(x, t + ∆t) d3x − g(x, t) d3x .

D(t)

D(t)

d

g

3x =

lim

g

x, t

t

v

x, t

2x

g(x, t + ∆t)

g(x, t)

3x

dt

d

+

∆t

−

d

∆t→0 {

· ( (

+ ∆ )

(

)) d

} =

D(t)

S(t)

D(t)

=· (gv)

d2x + ∂g∂t d3x .

S(t) D(t)

Применяя к поверхностному интегралу в последнем выражении формулу Остроградского – Гаусса, получим формулу (2.38).

2.5.Законы сохранения механики сплошной среды

Сматематической точки зрения движение сплошной среды есть отображение начальной области D(0) в текущую D(t), в соответствии с законом (2.5). Если последний задан, то изучение движения сплошной среды сводится к кинематической задаче, как в механике материальной точки или системы точек, включая тв¨ердые тела. В противном случае движение должно быть определено из условия подчинения соответствующим законам сохранения. Напомним, что движение определено, если известны или закон движения (2.5) в переменных Лагранжа (X, t) или соответствующие скалярные и векторные поля в переменных Эйлера (x, t).

В механике сплошной среды движение подчиняется законам сохранения массы, количества движения и энергии (закон сохранения момента количества движения мы рассматривать не будем).

Для того, чтобы облегчить понимание того, как составляются (именно так!) законы сохранения в механике сплошной среды, напомним законы, которыми описывается движение материальной точки. Масса m точки, очевидно, сохраняется, т. е. m = const. Для