matphy_mech_lnotes_mn

21

количества движения имеем второй закон механики Ньютона в дифференциальной форме

(скорость изменения количества движения P := mv материальной точки равна действующей на не¨ силе F , в общем случае — равнодействующей всех сил):

	dP (t)	= F (x, t) .	(2.39)
	dt

Проинтегрировав уравнение (2.39) по времени t вдоль траектории движения материальной точки, т. е. при известном законе е¨ движения x = x(t), получим интегральную форму второго закона механики Ньютона (изменение количества движения материальной точки равно импульсу силы):

t[2]
P (t[2]) − P (t[1]) =	F (x, t) dt .	(2.40)

t[1]

Умножив уравнение (2.39) скалярно на скорость v материальной точки, будем иметь

уравнение живых сил, в современном прочтении — кинетической энергии (скорость изменения живой силы равна мощности действующих сил):

	mv	)		d	(	mv2	) =	dK
v ·	d(		=						= F · v .	(2.41)
	dt			dt		2		dt

Интегральная форма уравнения живых сил очевидна (изменение живой силы материальной точки равно работе действующих сил):

t[2]

t[2]

K(t[2]) − K(t[1]) =	F · v dt = F · dx .	(2.42)
t[1]	t[1]

Если действующие на материальную точку силы консервативны, т. е.

F (x, t) = − U(x, t) ,

(2.43)

где U(x, t) — потенциал (потенциальная функция), то

F · v = −( U) · v = −( U) ·	dx		= −	dU ,		(2.44)
	dt			dt

и уравнение живых сил (2.41) допускает запись в виде закона сохранения энергии в интегральной (энергия материальной точки в поле консервативных сил не изменяется)

E(t[2]) − E(t[1]) = 0 ,

(2.45)

и дифференциальной (скорость изменения энергии материальной точки в поле консервативных сил равна нулю)

22
	d(K + U)	=	dE	= 0 ,	(2.46)
	dt		dt

формах, где E := K + U — (полная) энергия материальной точки.

Если среди действующих на материальную точку сил есть консервативные и неконсервативные (для последних сохранено прежнее обозначение силы F ), то закон сохранения энергии изменится в обеих формах — в дифференциальной (скорость изменения энергии

равна мощности неконсервативных сил):
dE	= F · v ,	(2.47)
dt

и интегральной (изменение энергии равно работе неконсервативных сил):

t[2]
E(t[2]) − E(t[1]) =	F · dx .	(2.48)

t[1]

Очевидно, что закон сохранения энергии материальной точки вывод´им из второго закона механики Ньютона, т. е. является теоремой.

Материальная точка начинает движение из некоторого положения x(t[1]) = x[1] с некоторой скоростью v(t[1]) = v[1], поэтому уравнение движения должно быть дополнено определением скорости:

v(t) :=	dx(t)	.	(2.49)
	dt

После небольшого напоминания основных положений механики материальной точки, перейд¨ем к составлению законов сохранения механики сплошной среды.

Прежде всего выделим в сплошной среде некоторую материальную область D(t) (система материальных частиц сплошной среды) и определим для не¨ следующие динамические величины:

масса —	M(t) := ρ d3x ,			(2.50)
		D(t)
количество движения — P (t) :=		ρv d3x ,		(2.51)
		D(t)
(полная) энергия —	E(t) := ρe d3x ,		e := 21 v2 + ε ,	(2.52)
		D(t)

где ρe — удельная объ¨емная энергия среды (энергия единицы объема), e — удельная массовая энергия среды (энергия единицы массы).

23

Далее записываем для материальной области D(t) законы сохранения массы, количества движения и энергии в интегральной форме ( (x, t) — орт внешней нормали к области D(t)):

M(t[2]) − M(t[1]) =

0 ,

(2.53)

t[2]

t[2]

P (t[2])

P (t[1]) =

p d2x

dt +

ρf d3x

dt ,

(2.54)

−

−

[1]

(

)

t

[1]

(

)

t

S(t)

D(t)

t[2]

t[2]

E(t[2])

E(t[1]) =

(p v + q) d2x

dt +

(ρf

v + ρh) d3x dt . (2.55)

−

−

[1]

(

·

)

t

[1]

(

·

)

t

S(t)

D(t)

Соответствующие разъяснения для составленных законов таковы.

Материальная область D(t) составлена из одних и тех же материальных частиц, следовательно, через е¨ границу S(t) материальные частицы извне области не попадают внутрь области, а материальные частицы внутри области не покидают области наружу. Поэтому масса (2.50) материальной области D(t) сохраняется неизменной, что и выражает закон сохранения массы (2.53). Данное свойство материальной области можно обосновать иначе, указав на равенство нулю скорости материальных частиц на границе S(t) материальной области D(t) относительно границы S(t), при этом поток

· ρv d2x	(2.56)
S(t)

отличен от нуля, но это поток через границу неподвижной в лабораторной системе отсч¨ета (переменных Эйлера) области D, совпадающей в момент времени t с материальной областью D(t) (очевидно, их границы S и S(t) в момент времени t совпадают).

Материальная область D(t) при сво¨ем движении находится под действием массовых сил с объ´емной плотностью ρf(x, t), действующих внутри D(t)б и поверхностных сил, со стороны дополнения материальной области D(t) до занятой сплошной средой части пространства, с поверхностной плотностью −p(x, t) (x, t), действующих на S(t). Изменение количества движения (2.51) материальной области D(t) происходит под действием этих сил и равно импульсу последних. В этом заключается закон сохранения количества движения (2.54). В общем случае, плотность поверхностных сил выражается через тензор

напряжения T , а сила (напряжение) на элементе поверхности ∆S с единичной нормалью
равна · T ∆S. Мы учитываем более простую модель поверхностных сил, известную как
b
закон Паскаля: · T = −p .
Несколькоb	иначе составлен закон сохранения энергии (2.55) — он не вывод´им из закона
сохранения количестваb		движения (2.54), но в его составе узнаваемо уравнение живых сил

и добавочные члены. Обсудим, прежде всего, понятие энергии для сплошной среды и соответствующее определение (2.52). Согласно разделу 2.3,.движение материальной частицы может быть разложено на поступательную, вращательную и деформационную составляющие. При деформации частицы изменяется е¨ объ¨ем, что не учитывается в механике точки

24

или механике системы точек, включая тв¨ердые тела, и наступает чер¨ед термодинамики. В термодинамике подобные явления хорошо изучены, поэтому мы обратимся к термодинамическим представлениям о подобных явлениях. Изменение объема материальной частицы происходит под действием поверхностных сил, распредел¨енных по поверхности частицы, и сопровождается изменением внутренней энергии (и температуры). Подобное явление можно рассматривать так же, как в термодинамике простых систем, состояние которых описывается двумя независимыми параметрами. То есть для внутренней энергии ε должно быть задано определяющее соотношение, связывающее ε с переменными, описывающими состояние сплошной среды.

Но изменение внутренней энергии возможно не только за сч¨ет совершения работы, но и за сч¨ет теплопроводности.

Определение 2.5. Теплопроводностью называется явление переноса (передачи) энергии без совершения работы. Вид энергии, передающейся подобным способом, называется

тепловой или просто теплом.

Не следует считать, что энергия в этом случае переносится сама собой — не совершается макроскопическая работа, видимая наблюдателем, но совершается микроскопическая работа, при обмене энергией структурных единиц веществ. Такая работа учитывается на уровне определяющих соотношений. Таковым есть зависимость поверхностной плотности потока тепла q от переменных, описывающих состояние сплошной среды.

Ещ¨е одна причина изменения энергии — внутренние источники, массовая плотность которых задается функцией h(x, t).

Если к законам сохранения (2.53), (2.54), (2.53) в интегральной форме применить теорему о среднем по переменной t и перейти к пределу при ∆t = t[2] − t[1] → 0, то получим интегро–дифференциальную форму законов сохранения, которая требует гладкости по t всех функций:

d

ρ d3x =

0 ,

(2.57)

dt

D(t)

d

ρv d3x =

p d2x + ρf d3x ,

(2.58)

dt

−

D(t)

D(t)

S(t)

d

ρe d3x =

·

(p v + q) d2x + (ρf

·

v + ρh) d3x .

(2.59)

dt

−

D(t)

D(t)

S(t)

Можно в ещ¨ большей степени изменить законы сохранения (2.53), (2.54), (2.55) в направлении дифференциальных уравнений. С этой целью рассмотрим все законы сохранения с единой точки зрения, разложив векторный закон сохранения количества движения (2.54) на компоненты:

d	ρvκ d3x + p νκ d2x =	ρfκ d3x ,	(2.60)
dt

D(t)

S(t)

D(t)

25

тогда все законы сохранения допускают обобщ¨енную запись следующего вида:

d	g d3x +			·	s d2x = w d3x ,	(2.61)
dt		S(t)			D(t)
	D(t)

где g(x, t) и w(x, t) — скалярные поля, а s(x, t) — векторное поле.

Применив в левой части равенства (2.61) к интегралу по материальной области D(t) теорему 2.1 на с. 20, а к интегралу по поверхности — теорему Остроградского – Гаусса, будем иметь обобщ¨енного закон сохранения в дифференциальный форме:

∂g	+ · (gv + s) = w .	(2.62)
∂t

Табл. 2.2. Скалярные и векторные поля для обобщ¨енного закона сохранения (2.62)

Закон сохранения	Скаляр g	Вектор e	Скаляр h
массы	ρ	0	0
количества движения вдоль x1	ρv1	(p, 0, 0)	ρf1
количества движения вдоль x2	ρv2	(0, p, 0)	ρf2
количества движения вдоль x3	ρv3	(0, 0, p)	ρf3
энергии	ρe	pv	ρf · v + ρh

Выбрав скалярные и векторные величины согласно табл. 2.2, выпишем по образцу обобщ¨енного закона 2.62 систему законов сохранения в дифференциальной форме:

∂ρ

∂t + ·

(ρv) = 0 ,

∂ρvκ

∂p

+

·

(ρv v) +

κ

= ρf ,

κ = 1, 2, 3

κ

κ

(2.63)

∂t

∂x

∂ρe +

(ρev + p v + q) = ρf

v + ρh ,

·

·

∂t

прич¨ем закон сохранения количества движения записан в виде проекций на оси xκ лабораторной системы отсч¨ета. Приписав к каждой κ–проекции соответствующий орт jκ и сложив полученные векторы будем иметь закон сохранения количества движения в векторном виде. Перепишем полученные законы сохранения ещ¨ раз:

26

∂ρ

∂t

∂ρv

∂t

∂ρe

∂t

+ · (ρv) = 0 ,

+ · (ρvv) + p = ρf ,	(2.64)

+ · (ρev + p v + q) = ρf · v + ρh .

∂ρv

κ

∂p

∂ρ

∂v

∂p

+ · (ρvκv) +

= vκ

(

+

· (ρv)) + ρ (

κ

+ v · vκ) +

= 0 ,

∂t

∂xκ

∂t

∂t

∂xκ

|

{z

}

=0

∂ρe

∂ρ

∂e

+ · (ρev + pv + q) = e (

+ ·

(ρv)) + ρ (

+ v · e) + · (pv + q) = 0 ,

∂t

∂t

∂t

|

{z

}

=0

∂ρv

∂ρ

∂v

dv

κ

+ · (ρvκv) = vκ (

+ · (ρv))

+ ρ (

κ

+ v · vκ) = ρ

κ

,

∂t

∂t

∂t

dt

|

{z

}

=0

∂ρe

+ · (ρev) = e

(

∂ρ

+ · (ρv)) + ρ (

∂e

+ v · e)

= ρ

de

,

∂t

∂t

∂t

dt

|

{z

}

=0

dρ

dv

dt

+ ρ · v = 0 ,

ρ

+

p = ρf ,

dt

ρ de

+

(p v + q) = ρf

v + ρh .

·

·

dt

2.6. Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения, описывающие колебательные и волновые явления

(2.65)

(2.66)

(2.67)

(2.68)

(2.69)

Тела, с которыми имеет дело механика, бывают самых разных типов: точечные массы, занимающие в каждый данный момент времени лишь одну точку; абсолютно твердые тела, которые никогда не деформируются; струны, стержни и струи, которые являются одномерными; мембраны и оболочки, которые занимают собой лишь поверхности; жидкости и твердые тела, заполняющие пространство, и многое другое. [65]

27

.. . Первые примеры уравнений в частных производных появились в середине XVIII века

врамках математической физики. Даламбер, Эйлер, Д. Бернулли с разных точек зрения исследовали уравнение колебаний струны. Основная задача виделась в получении общего решения (интеграла) уравнения. Исходное наблюдение состояло в том, что в то время как общее решение обыкновенного уравнения зависит от некоторого количества произвольных констант, общее решение уравнения в частных производных должно зависеть от некоторого числа произвольных функций. Решение Даламбера уравнения струны содержало две произвольных функции от одного переменного. В работах классиков XVIII века содержались зародыши многих основных идей будущей теории: характеристики, разделение переменных, разложение решения по базису (гармоникам).

Эйлер, заметив, что произвол в решении можно устранить, фиксировав начальное поло-

жение и начальную скорость струны, по существу рассмотрел задачу Коши для уравнении

струны. Знаменитая дискуссия между Эйлером и Даламбером о классе функций, в котором

следует решать уравнение струны, не только способствовала уточнению понятия функции

в анализе, но и предвещала общую проблему выбора функционального класса, в котором сле-

дует решать уравнение. В противовес мнению Даламбера, что следует ограничиться аналити-

ческими решениями, Эйлер настаивал, что струна может принимать любую форму, которую

только можно изобразить свободным влечением руки . . . В трудах Эйлера и Даламбера

появилось значительное число уравнений математической физики, в частности, уравнение

Лапласа и волновое уравнение в двумерном и трехмерном случаях. За пределами уравнения

струны строились лишь специальные решения, причем проблемы для трехмерных уравнений

казались Эйлеру лежащими вне возможностей современного ему анализа. [15]

Изучая уравнение колебаний струны, Даламбер в 1747 году показал, что его общее решение имеет вид

u(x; t) = f (x − c0t) + g(x + c0t) ;

В 1748 году Эйлер выразил f , g через начальное отклонение струны u0(x) и через ее начальную скорость u1(x), получив формулу

	u0(x + c0t)	+ u (x	−	c	t)		1	x c0t
u(x; t) =		0		0		+			u1( ) d ;
		2					2c0

x c0t

которую мы теперь обычно называем формулой Даламбера. Эйлер отметил, что по смыслу задачи начальные данные u0(x), u1(x) могут быть заданы в виде двух произвольных кривых.

Даламбер в 1750 году поспешил выступить против этого расширенного толкования его идеи, так как он подразумевал, что u(x; t) непременно должно быть выражено через x, t аналитически.

В 1753 году Даниил Бернулли из совсем других соображений пришел к выводу, что самыми общими решениями уравнения струны должны быть решения вида

∑	k		k c	0	x (t − tk) ;
u = ak sin	l	x cos	l
k

т. е. линейные комбинации стоячих волн. Эйлер с этим не согласился. Он сомневался в возможности представления произвольной функции тригонометрическим рядом.

В1759 году Лагранж, изучая колебания уже не струны, а аппроксимирующей ее нити

снанизанными бусинками, и затем совершая предельный переход, подтвердил результаты Эйлера, с одной стороны, и результаты, близкие к результатам Бернулли, с другой. Однако большое количество предельных переходов, которые в то время, конечно, не могли быть

28

проведены хоть с какой-нибудь строгостью, дало основание Даламберу не согласиться с трактовкой вопроса Лагранжем.

Только в 1807 году Фурье сформулировал теорему о том, что совершенно произвольная функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Как это ни странно, с самыми решительными возражениями выступил против этого Лагранж, хотя его формулы почти совпадают с формулами для коэффициентов тригонометрического ряда Фурье.

Доказательство теоремы Фурье было дано в 1829 году Дирихле, который наложил на представляемую функцию довольно жесткие условия, носящие его имя.

В 1853 году Риман, изучая условия, при которых функция представляется тригонометри-

ческим рядом, пришел, в частности, к своему известному определению интеграла. Вводная

глава его работы содержит увлекательное изложение истории вопроса, которое я переска-

зал. Я бы очень рекомендовал прочесть эту главу. Избранные сочинения Римана переведены

на русский язык и изданы у нас в 1948 году. Работа О возможности представления функции

посредством тригонометрического ряда помещена в этой книге. [16, 17]

Применим законы механики Ньютона к выводу уравнения, описывающего поперечные колебания натянутой струны при следующих предположениях:

1)струна считается физическим телом, у которого принимается во внимание протяж¨енность только в одном направлении, т. е. это одномерно параметризуемый с помощью s R гладкий континуум (сплошная среда);

2)струна совершает колебания в плоскости (x, u), где ось x направлена вдоль струны

всостоянии покоя (в этом случае s = x), ось u перпендикулярна оси x;

3)смещение струны вдоль оси x равно нулю, соответственно компонент скорости vx = 0; вдоль оси u смещение зависит от x (или s) и времени t, прич¨ем функция u(x, t) — класса гладкости C (1,1), а компонент скорости смещения вдоль оси u равен

	vu(x, t) =	∂u(x, t)	;	(2.70)
		∂t

4) струна считается абсолютно гибкой, т. е. на выделенный элемент (x, x + ∆x) или конечный участок (x[1], x[2]) струны со стороны оставшейся части струны действуют силы натяжения, касательные к струне при x и x + ∆x или x = x[1] и x = x[2] ();

5)струна считается абсолютно упругой, т. е. подчиняющейся закону Гука (изменение силы натяжения пропорционально изменению длины струны);

6)колебания струны малы, т. е. если смещение u(x, t) считается малым, то считаются малыми величины (они учитываются)

∂u(x, t)	,	∂u(x, t)	,
∂x		∂t

и считаются пренебрежимо малыми квадраты и произведения этих величин (не учитываются в сравнении с величинами первого или нулевого порядка малости относительно u(x, t), но в отдельности могут учитываться, см. вывод интеграла энергии на с. ??), откуда

	∂u(x, t)			2		4
	∂x	= tg φ(x, t) ≈ sin φ(x, t) = φ + O(φ3) ≈ φ ,						,	(2.71)
		cos φ(x, t) = 1		φ +		(φ )		1 ,
			−		O		≈

29

а длина участка (x[1], x[2]) струны равна

x[2]		x[2]						x[2]
	ds = √1 +				∂u(x, t)	2
s[2] − s[1] =				(		)	dx ≈		dx = x[2] − x[1],
					∂x
x[1]		x[1]						x[1]

т. е. с точностью до малых второго порядка малости не изменяется при колебаниях (следовательно, параметр s совпадает с переменной x в состоянии покоя и при малых колебаниях струны);

7) линейная плотность струны равна ρ(x), т. е. масса элемента (x, x + ∆x) струны равна ∆m = ρ(x)∆x, а масса конечного участка (x[1], x[2]):

x[2]

M(x[1], x[2]) = ρ(x) dx ;

x[1]

8) линейная плотность внешних массовых сил, действующих в плоскости (x, u) параллельно оси u (см. предположение 2)) равна h(x, t) (если сила тяжести учитывается, то вклад последней в h(x, t) равен −ρ(x) g, где g — ускорение свободного падения), т. е. величина силы, действующей на элемент (x, x + ∆x) равна h(x, t)∆x, а на конечный участок (x[1], x[2]) струны:

x[2]
F (t; x[1], x[2]) =	h(x, t) dx ;	(2.72)

x[1]

9) сила сопротивления внешней среды не учитывается.

Условия, при которых мы рассматриваем колебания струны, позволяют учесть только закон сохранения количества движения (второй закон Ньютона), поскольку законы сохранения массы и энергии выполняются очевидным образом.

Пусть (x, x + ∆x) — рассматриваемый элемент струны, тогда его количество движения в проекции на ось u равно ∆K = ρ(x) vu(x, t), а совокупная сила натяжения в плоскости (x, u): Q(x + ∆x) + Q(x); для конечного участка (x[1], x[2]) струны количество движения равно

	x[2]		x[2]		∂u(x, t)
K(t; x[1]	, x[2]) =	(2.70)					(2.73)
		ρ(x) vu(x, t) dx =		ρ(x)		dx ,
					∂t
	x[1]		x[1]

асовокупная сила натяжения в плоскости (x, u): Q(x[2]) + Q(x[1]).

Впродольном (вдоль оси x) направлении элемент (x, x + ∆x) струны не движется, следовательно, не движется и конечный участок (x[1], x[2]), что может быть выражено в виде следующей записи второго закона Ньютона в проекции на ось x в произвольный момент времени t:

30

	x[2]			(x, t) dx = −|Q(x[1], t)| cos φ(x[1], t) + |Q(x[2], t)| cos φ(x[2], t) =					(2.74)
0 =		ρ(x) vx
								(2.71)
x		|			{z		}	= −|Q(x[1], t)| + |Q(x[2], t)| ,
	[1]			=0

который, в силу предположения 6), перепишем в виде неизменности по величине силы натяжения:

Q0 := |Q(x[1], t)| = |Q(x[2], t)| = const ,

(2.75)

прич¨ем независимость натяжения от времени следует из неизменности длины струны при малых колебаниях.

Большего ”выжать“ из второго закона Ньютона в проекции на ось x не получится. В поперечном (вдоль оси u) направлении струна колеблется (совершает колебатель-

ное движение), что может быть записано для произвольного конечного участка (x[1], x[2]) струны и произвольного конечного промежутка (t[1], t[2]) времени в виде второго закона Ньютона в проекции на ось u, как интегральное равенство

		t[2]
K(t[2]; x[1], x[2])		K(t[1]; x[1], x[2]) =	(−	Q0	sin φ(x[1], t) + Q0	sin φ(x[2], t) + F (t; x[1], x[2]) dt ,
	−	t[1]				)

или, учитывая явно предположение 6), как интегро–дифференциальное:

x

x[2]

ρ(x)

∂u(x, t)

t=t[2]

∂u(x, t)

t=t[1] )

dx =

[1]

(

∂t

−

∂t

(2.76)

t

t[2]

x[2]

Q0

∂u(x, t)

+ Q0 ∂u(x, t)

+

x

h(x, t) dx dt .

=

(−

)

[1]

∂x

x=x[1]

∂x

x=x[2]

[1]

Условия, при которых равенство (2.76) имеет смысл, указаны выше. Сузим класс функций, к которому принадлежит смещение u(x, t), до C (2,2) (Q), Q := (x[1], x[2]) × (t[1], t[2]) S(T ) (этому соответствует и сужение класса движений), и перепишем второй закон Ньютона в следующем виде:

x[2] t[2]		∂2u x, t		)			∂	2	u(	x, t		)
	ρ(x)	(			−	Q0							−	h(x, t) dt dx = 0 .	(2.77)
			2								2
x[1] t[1]	(	∂t							∂x					)

Применив теорему о среднем значении к двойному интегралу по прямоугольной области Q := (x[1], x[2]) × (t[1], t[2]) S(T ) в левой части равенства (2.77) получим дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний струны: