matphy_mech_lnotes_mn

						31
	ρ(x)	∂2u(x, t)	= Q0	∂2u(x, t)	+ h(x, t),	(2.78)
		∂t2		∂x2

записанное в некоторой точке (x, t) Q (рис. 2.1). Произвольность выбора прямоугольника Q позволяет заключить о справедливости уравнения (2.78) в каждой точке допустимой области изменения независимых переменных.

t

T

t[2]

Q

(x,t)

t[1]

0

x[1]

x[2] x

Рис. 2.1. К выводу дифференциального уравнения колебания струны (2.78) из интегро–дифференциальной формы закона сохранения количества движения (второго закона Ньютона) (2.76)

Для струны постоянной плотности (ρ(x) ≡ ρ) уравнение колебаний принято записывать следующим образом:

	∂2u(x, t)	= a2	∂2u(x, t)	+ f(x, t) ,	(2.79)
	∂t2		∂x2

где ρa2 = Q0, ρf(x, t) = h(x, t), квадрат величины a подч¨еркивает, что множитель перед второй производной по пространственной переменной строго положителен (это существенно с точки зрения отнесения уравнения (2.79) к определ¨енному типу и постановки краевой задачи).

Перейд¨ем к рассмотрению поперечных колебаний мембраны. Вывод уравнения, описывающего колебательное движение натянутой мембраны провед¨ем при предположениях, подобных таковым для натянутой струны:

1)мембрана считается физическим телом, у которого принимается во внимание протяж¨енность только в двух направлениях, т. е. это двумерно параметризуемый с помощью (s1, s2) R2 гладкий континуум (сплошная среда);

2)мембрана совершает колебания в некоторой области переменных (x1, x2, u) R3, где оси x1 и x2 направлены в плоскости мембраны в состоянии покоя (в этом случае s1 = x1, s2 = x2), ось u перпендикулярна плоскости (x1, x2);

3)смещение мембраны вдоль осей x1 и x2 равно нулю, соответственно компоненты скорости vx1 = 0, vx2 = 0; вдоль оси u смещение зависит от x1 и x2 (или s1 и s2) и времени t,

прич¨ем функция u(x1, x2, t) — класса гладкости C (1,1) (одна единица гладкости — по пространственным переменным x1 и x2, вторая — по времени t), соответственно компонент скорости смещения вдоль оси u равен

32

			∂u(x1, x2	, t)		(2.80)
vu(x1	, x2	, t) :=			;
			∂t

4)мембрана считается абсолютно гибкой, т. е. на выделенную конечную часть G мембраны со стороны оставшейся части действуют силы натяжения, касательные к поверхности мембраны на границе и перпендикулярные границе (нет скручивания);

5)мембрана считается абсолютно упругой, т. е. подчиняющейся закону Гука (изменение силы натяжения в некотором направлении пропорционально изменению длины данного направления);

6)колебания мембраны малы, т. е. если смещение u(x1, x2, t) считается малым, то считаются малыми величины (они учитываются)

∂u(x1, x2, t)	,	∂u(x1, x2, t)	,	∂u(x1, x2	, t)	,
∂x1		∂x2		∂t

и считаются пренебрежимо малыми квадраты и произведения этих величин (не учитываются в сравнении с величинами первого или нулевого порядка малости относительно u(x1, x2, t), но в отдельности могут учитываться, см. вывод интеграла энергии на с. ??), откуда

							2		4
	∂u(x1, x2, t)							3
	∂x1		= tg φ1(x1, x2, t) ≈ sin φ1 = φ1 + O(φ1) ≈ φ1 ,
					cos φ = 1		φ +		(φ )		1 ,
						−		O		≈
					1		1		1
	∂u(x1, x2, t)
								3
			= tg φ2(x1, x2, t)	≈	sin φ2 = φ2 + O(φ2) ≈ φ2 ,
	∂x	2
							2		4
					cos φ2 = 1		φ2 +		(φ2)		1 ,
						−		O		≈

а площадь некоторой конечной части G мембраны равна

	ds1 ds2 = √1 + (	∂u(x1, x2, t)	2		∂u(x1, x2, t)	2
			) +	(		) dx1 dx2 ≈	dx1 dx2 ,
		∂x1			∂x2
G	G						G

т. е. с точностью до малых второго порядка малости не изменяется при колебаниях (следовательно, параметры s1 и s2 совпадают с переменными x1 и x2 в состоянии покоя и при малых колебаниях мембраны);

7) линейная плотность мембраны равна ρ(x1, x2), т. е. масса е¨ конечной части G равна:

M(G) = ρ(x1, x2) dx1 dx2 ;

G

8) линейная плотность внешних массовых сил, действующих в плоскости (x1, x2, u) параллельно оси u (см. предположение 2)) равна h(x1, x2, t) (если сила тяжести учитывается, то вклад последней в h(x1, x2, t) равен −ρ(x1, x2) g, где g — ускорение свободного падения), т. е. величина силы, действующей на конечную часть G мембраны равна:

		33
F (t; G) =	h(x1, x2, t) dx1 dx2 ;	(2.81)
G

9) сила сопротивления внешней среды не учитывается.

Условия, при которых мы рассматриваем колебания мембраны, позволяют ограничиться рассмотрением только закона сохранения количества движения (второго закона Ньютона), поскольку законы сохранения массы и энергии выполняются очевидным образом.

Подобно рассмотрению малых колебаний струны, отсутствие смещений в направлениях x1 и x2 в произвольный момент времени t означает постоянство силы натяжения по величине (Q0 := |Q(x1, x2, t)| = const), что далее принимается во внимание.

Количество движения конечной части G мембраны в проекции на ось u равно

(2.80)

∂u

x

, x

, t

)

K(t;

G

) =

ρ(x1, x2) vu(x1, x2, t) dx1 dx2 =

ρ(x1, x2)

(

1

2

dx1

dx2 ,

(2.82)

∂t

G

G

совокупная сила натяжения в пространстве (x1, x2, u) (главный вектор силы натяжения):

Q(x1, x2) dC ,

(2.83)

C

где C — граница части G, а проекция силы натяжения на ось u ( — орт нормали к C):

Q0

∂u(x1, x2)

d

C

= Q0

·

u(x1, x2) d

C

.

(2.84)

∂

C

C

При движении мембраны в поперечном (вдоль оси u) направлении для е¨ произвольной части G и произвольного промежутка (t[1], t[2]) времени, т. е. в пространственно–временн´oм цилиндре Q := G ×(t[1], t[2]) S2(T ), может быть записан второй закон Ньютона в проекции на ось u, как интегральное равенство:

t[2]

K(t[2];

G

)

−

K(t[1];

G

) =

(

Q0

∂u(x1, x2)

d

C

+ F (t;

G

) dt ,

t

[1]

∂

)

C

или, учитывая явно предположение 6), как интегро–дифференциальное:

∂u(x1, x2, t)

∂u(x1, x2

, t)

ρ(x1, x2)(

∂t

t=t[2]

−

∂t

t=t[1] ) dx1 dx2 =

G

t[2]

(2.85)

= (Q0

x , x

2)

h(x1, x2, t) dx1 dx2) dt .

∂u( 1

dC

+

∂

t[1]

C

G

34

Условия, при которых равенство (2.85) имеет смысл, указаны выше. Сузим класс функций, к которому принадлежит смещение u(x, t), до C (2,2) (Q) и перепишем второй закон Ньютона в следующем виде (при переходе от криволинейного интеграла по C к интегралу по G применена формула Грина, см. также равенство (2.84)):

t[2] (

ρ(x1, x2)

t[1] G

∂2u(x1, x2	, t)		· u(x1, x2, t) − h(x1, x2, t)) dx1 dx2 dt = 0 .	(2.86)
		− Q0
∂t2

Применив теорему о среднем значении к интегралу по цилиндру Q в левой части равенства (2.86) получим дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний мембраны:

		∂2u(x1, x2	, t)			(2.87)
ρ(x1	, x2)			= Q0	∆u(x1, x2, t) + h(x1, x2, t) ,
		∂t2

записанное в некоторой точке (x1, x2, t) Q. Произвольность выбора цилиндра Q позволяет заключить о справедливости уравнения (2.87) в каждой точке допустимой области изменения независимых переменных.

Для струны постоянной плотности (ρ(x1, x2) ≡ ρ) уравнение колебаний принято записывать следующим образом:

∂2u(x	, x	, t)			(2.88)
1	2		= a2 ∆u(x1	, x2, t) + f(x1, x2, t) ,
∂t2

или

∂2u(x

, x

, t)

(

∂2u(x

, x

, t)

∂2u(x

, x

, t)

(2.89)

1

2

= a2

1

2

+

1

2

+ f(x1

, x2, t) ,

∂t2

∂x12

∂x22

)

где ρa2 = Q0, ρf(x1, x2, t) = h(x1, x2, t).

Обратимся к рассмотрению продольных тр¨ехмерных колебаний в сплошной среде, например, газе. Таковыми можно считать акустические, или звуковые колебания, возникающие при распространении звука. Точне говоря, звуки, которые мы слышим, и есть акустические колебания. Одну из первых попыток вычислить скорость зввукв предпринял Ньютон, считавший, что распространение звука есть изотермический процесс. Лаплас полагал, что этот процесс адиабатический, что согласуется с современными представлениями. Напомним, что адиабатическим называется процесс, происходящий без теплообмена. Частный случай адиабатического процесса — изоэнтропический, т. е. обратимый адиабатический. Это означает, что можно ограничиться рассмотрением только уравнения неразрывности и количества движения и не учитывать уравнение сохранения энергии. Из определяющих уравнений достаточно привлечь только уравнение состояния газа для изоэнтропического процесса: p = p(ρ, S).

Итак, имеем систему двух уравнений

								35
			∂ρ
		∂v
				+ · ρv = 0 ,
			∂t					(2.90)
	ρ			+ ρv		v +		p = 0 ,
			∂t		·

во втором из которых исключим давление с помощью уравнения состояния

		∂ρ
		∂v				2
		∂t	+ · ρv = 0 ,
								(2.91)
	ρ		+ ρv		v + a			ρ = 0 ,
		∂t		·

где a2 = ∂ρ∂p > 0 — величина, размерность которой равна квадрату размерности скорости.

Акустические колебания это малые колебания, поэтому следующий шаг — линеаризация уравнений. Это значит, что плотность и скорость представляются в виде суммы постоянных значений и небольших отклонений (возмущенй):

ρ = ρ0 + ρe,

(2.92)

v = 0 + ve.

Вмодели акустических колебаний учитываются только первые степени отклонений, а их произведениями и квадратами пренебрегают. Тогда система уравнений (2.91) принимает следующий вид:

				∂ρ					e
			∂v				2
				∂t
						+ ρ0		· v = 0 ,
				e					(2.93)
				e
	ρ					+ a			e
		0 ∂t							ρ = 0 .
							0

Исключим из полученной системы уравнений возмущение скорости ve. Для этого вычислим производную повремени от первого уравнения и подействуем оператором · на второе уравнение:

e

e

∂2ρ

+ ρ

∂( · v)

= 0 ,

∂t2

0

∂t

∂(

v)

ρ

·

+ a

ρ = 0 ,

0

∂t e

0

·

e

откуда

e

∂

e

1 ∂ρ

ρ0

∂t

(−

ρ0

∂t

) + a02 ∆ρ = 0 ,

(2.94)

(2.95)

или

36

∂2ρe = a2 ∆ρe. ∂t2 0

Запишем полученное уравнение акустических колебаний в развернутом виде:

∂2ρe = a2 (∂2ρe + ∂2ρe + ∂2ρe). ∂t2 0 ∂x21 ∂x22 ∂x23

(2.96)

(2.97)

Как итог рассмотрения колебательных явлений, запишем общее уравнение, которое описывает подобные движения сплошной среды, в виде следующего уравнения

	∂2u(x, t)	= a2	∆u(x, t) + f(x, t) .	(2.98)
	∂t2

2.7.Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения, описывающие тепловые явления

Обратимся теперь к явлениям, описание которых без уч¨ета закона сохранения энергии невозможно. Рассмотрение полной системы законов сохранения с соответствующими определяющими соотношениями составляет предмет изучения в различных областях механики сплошной среды, поэтому сразу же сузим круг изучаемых явлений до теплопроводности в тв¨ердых недеформируемых телах.

Уравнение энергии для тепловых явлений (уравнение теплопроводности) можно сразу же получить из дифференциального закона сохранения энергии, положив v(x, t) = 0.

Ещ¨е один способ основан на том, чтобы получить уравнение живых сил, умножая скалярно дифференциальный закон сохранения количества движения на вектор скорости движения сплошной среды:

d (ρv2 )

dt 2

= −v · p . (2.99)

и вычесть полученное уравнение из дифференциального закона сохранения энергии:

dρε	≡	∂ρε	+ v · ρε = − · q − p · v .	(2.100)
dt		∂t

Полагая v(x, t) = 0 в уравнении (2.100) для внутренней энергии, запишем искомое уравнение теплопроводности в тв¨ердом теле:

∂ρε	= − · q .	(2.101)
∂t

Уравнение (2.101) незамкнуто, поскольку включает три величины, связи между которыми (определяющие соотношения) не учтены.

Первым определяющим соотношением служит связь внутренней энергии ε с температурой T :

37

	T (x,t)
ε(x, t) = ε0 +		cv(θ) dθ ,	(2.102)
	T0

где ε0 — некоторое отсч¨етное значение внутренней энергии при температуре, равной T0, cv(T ) — удельная тепло¨емкость при постоянном объ¨еме.

Вторым определяющим соотношением служит опытный закон теплопроводности Фурье для вектора притока тепла

q(x, t) = −χ(T ) T (x, t) , χ(T ) > 0 ,

(2.103)

где χ(T ) — коэффициент теплопроводности; знак учитывает обнаруженное в опытах явление самопроизвольного перехода тепловой энергии из области с более высокой температурой в область с более низкой, но не наоборот.

Подставляя определяющие соотношения (2.102) и (2.103) в уравнение энергии, будем иметь:

		T (x,t)		(	)
∂	ρ(x, t)(ε0 +	T0	cv(θ) dθ) = ·
∂t				χ(T ) T (x, t)	+ h(x, t) ,	(2.104)

откуда, при ρ(x, t) = ρ = const, вычисляя в левой части производную интеграла с переменным верхним пределом, получим уравнение теплопроводности общего вида:

ρ cv(T )	∂T (x, t)	= · (χ(T ) T (x, t)) + h(x, t) .	(2.105)
	∂t

В сплошной среде с постоянными теплофизическими свойствами уравнение теплопроводности (2.105) упрощается:

	∂T (x, t)	= a2∆T (x, t) + f(x, t) ,	(2.106)
	∂t

где ρ cva2 = χ , ρ cv f(x, t) = h(x, t) .

Уравнения, подобное уравнению теплопроводности, описывают различные физические необратимые явления, например, диффузию в неподвижной сплошной среде (броуновское движение) и т. д. Как итог, запишем общее уравнение, которое описывает подобные явле-

ния в сплошной среде:
	∂u(x, t)	= a2∆u(x, t) + f(x, t) ,	(2.107)
	∂t

где x и соответственно оператор Лапласа могут относиться к пространствам R1, R2 или R3.

38

2.8.Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения, описывающие статические поля

Ясейчас расскажу, как в математической физике появилось уравнение Лапласа. Его появление на свет вызвано совсем нетривиальным ходом развития естественнонаучных идей. Неожиданный поворот мыслей Лапласа предопределил, как мне кажется, ряд важных соображений, следствием которых явились уравнения Максвелла для электромагнитного поля и,

внастоящее время, уравнения полей, связанных с элементарными частицами.

Как известно, Кеплер, обрабатывая наблюдения Тихо Браге над движением планет, установил следующие три удивительных закона:

1.Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2.Радиус-вектор от Солнца до планеты заметает равные площади в равные интервалы времени.

3.Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.

Законы эти, хотя и красивые, но довольно сложные. В дальнейшем Ньютон нашел для этих законов более простое, хотя и не менее удивительное, выражение, называемое законом всемирного тяготения:

Между любыми двумя телами действует сила притяжения, прямо пропорциональная

их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними . <. . . > Очевидно, что отсюда . . . вытекает равенство

@2u @2u				@2u
	+		+			= 0 ;
@x2		@y2		@z2

которое и называется уравнением Лапласа. Таким образом, Лаплас предложил отказаться от явной формулы для сил дальнодействия и заменить ее на дифференциальное уравнение для поля потенциала u. Можно считать, что дифференциальное уравнение описывает взаимодействие между соседними элементами поля u. Таким образом, введение этого поля подменяет задачу о дальнодействии между реальными телами задачей о близкодействующем взаимодействии между соседними областями пространства, залитого некоторым, искусственно придуманным, полем величины u. Лапласу мы обязаны идеей введения уравнений для описания этого поля u, уравнений, которые действуют всюду вне тех точек, в которых сосредоточены сами притягивающие массы. (В точках x = xi, y = yi, z = zi мы не можем вычислять производные по приведенным выше формулам.). [16]

2.9.Понятие дифференциального уравнения с частными производными

2.10.Краевые задачи и задача Коши

2.11.Классификация и характеристики линейных уравнений второго порядка

сдвумя (n = 2) независимыми переменными

2.12.Типы и характеристики линейных уравнений второго порядка

снесколькими (n > 2) независимыми переменными

2.13.Вопросы и упражнения

39

2.14. Путеводитель по литературе

40

Список литературы

1.Агошков В. В., Дубовский П. Б., Шутяев В. П. Методы решения задач математической физики. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. (Математика и прикладная математика)

2.Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа: Пер. с франц. — М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1978. — 352 с.

3.Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь–справочник. — 2–е изд., перераб. и испр. —М.: Изд–во ЛКИ, 2007. — 248 с.

4.Арнольд В. И. Что такое математическая физика? // Успехи математических наук. — 2004. — Т. 174, № 12. — С. 1381 — 1382.

5.Арнольд В. И. Математическое понимание природы: Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора). — М.: МЦНМО, 2009. — 144 с.

6.Астафьева Н. М. Вейвлет–анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. — 1996. — Т. 166, № 11. — С. 1145 — 1170.

7.Бари Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1961. — 936 с.

8.Беpc Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными: Пер. с англ. — М.: Мир, 1962. — 352 с.

9.Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1981. — 448 с.

10.Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — 2–е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1982. — 336 с.

11.Больцман Л. Вступительная лекция к курсу натурфилософии // Больцман Л. Избранные труды. — М.: Наука, 1984. — С. 373 — 378.

12.Боровиков В. А. Фундаментальные решения линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Труды московского математического общества. — 1959. — Т. 8. — С. 199 — 257.

13.Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. — 2–е изд., стереотип. — М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1967. — 608 с. (Серия Курс высшей математики и математической физики ; Выпуск 2.)

14.Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 4–е изд., исправл. и дополн. — М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1981. — 512 с.

15.Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Задача Коши // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 32. М.: ВИНИТИ СССР, 1988. — С. 5 — 98. (Итоги науки и техники)