Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matphy_mech_01_02

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

139.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Определение 2.1. Характеристиками линейного уравнения второго порядка (2.1) называются интегральные кривые (2.19) или (2.20).

Разрешим уравнение характеристик (2.19) относительно производной:

√

dy	=	a12	a122 − a11a22	.	(2.21)
	=			.	(2.21)
dx			a11

В зависимости от знака дискриминанта D = a212 − a11a22, отнес¨ем уравнение (2.1) к одному из типов, согласно табл. 2.1.

Табл. 2.1. Тип линейного уравнения второго порядка

D = a122 − a11a22	число и тип интегралов (2.21)	тип уравнения (2.1)
D > 0	два действительных	H) гиперболический
D = 0	один действительный	P) параболический
D < 0	два комплексно-сопряж¨енных	E) эллиптический

Отметим без вывода следующий результат:

D	= D J2 ,	D	=		122 −		11		22 ,	(2.22)
				a		a		a

который означает, что при невырожденном преобразовании независимых переменных тип уравнения второго порядка не меняется, т. е. тип уравнения (2.1) есть его инвариантное свойство.

В области гиперболичности D = a212 − a11a22 > 0, поэтому уравнение (2.21) имеет два действительных интеграла φ1(x, y) = C1, φ2(x, y) = C2. Проделав обратные преобразования, от (2.20) к (2.16), убеждаемся, что функции φ1(x, y) = C, φ2(x, y) = C суть частные решения уравнения (2.16), следовательно обращают в нуль коэффициенты a11, a22. Отсюда заключаем, что задача обращения в нуль коэффициентов a11, a22 решается пут¨ем введения новых независимых переменных с помощью интегралов φ1(x, y) = C1, φ2(x, y) = C2:

ξ = φ1(x, y), η = φ2(x, y) = C.

От старших членов уравнения (2.8) остается только вторая смешанная производная:

			∂2u		∂u ∂u

2	a	12		= (ξ, η, u,		,		) .	(2.23)
			∂ξ∂η		∂ξ		∂η

Разделив обе части уравнения на 2 a12 ≠ 0, приведем уравнение к первой канонической

форме в области гиперболичности:

∂2u

∂u ∂u

= H′

(ξ, η, u,

) ,

H′ =

(2.24)

∂ξ∂η

∂ξ

∂η

Введ¨ем ещ¨ одну пару независимых переменных:

ξ = α	+ β ,		α = (ξ	+ η) /2 ,		(2.25)
η = α	−	β ,	β = (ξ	−	η) /2 ,
	−			−

тогда

()

∂u

∂u ∂α

∂u ∂β

∂u

(2.26)

∂ξ

∂α ∂ξ

∂β ∂ξ

∂α

∂β

()

∂u

∂u ∂α

∂u ∂β

∂u

−

∂u

(2.27)

∂η

∂α

∂η

∂β ∂η

∂α

∂β

∂2u

∂

∂u

∂

∂u

∂α

∂

∂u

∂β

(

) =

(

)

(

)

∂ξ∂η

∂η

∂ξ

∂α

∂ξ

∂η

∂β

∂ξ

∂η

[

2 ∂α (∂α +

∂β )] − 2

[

∂β

(∂α + ∂β )]

1 ∂

∂u

∂

∂u

∂2u

∂2u ∂2u

[

−

] =

(

−

(2.28)

∂α∂α

∂β∂α

∂α∂β

∂β∂β

∂α2

∂β2

В результате получается вторая каноническая форма в области гиперболичности:

∂2u ∂2u

∂u

−

= H′′

(α, β, u,

) . H′′ = 4 .

(2.29)

∂α2

∂β2

∂α

∂β

В области параболичности D = a212 − a11a22 = 0, поэтому уравнение (2.21) имеет один действительный интеграл φ1(x, y) = C, с помощью которого обнуляется один из коэффициентов a11, a22, пусть для определ¨енности a11 = 0. Поскольку три коэффициента не могут обратиться в нуль, из условия a212 −a11a22 = 0 заключаем, что a12 = 0, a22 ≠ 0. Если ввести новую независимую переменную как ξ = φ1(x, y), а в качестве второй независимой переменной выбрать произвольную функцию двух переменных φ2(x, y), которая не обращает в нуль якобиан J (2.3), то задача упрощения уравнения в области параболичности будет решена. Действительно, после обнуления коэффициентов a11, a12, уравнение принимает вид:

		∂2u		∂u ∂u

a	22		= (ξ, η, u,		,		) ,	(2.30)
		∂ξ∂η		∂ξ		∂η

и после деления его обеих частей на a22 получается каноническая форма в области параболичности:

∂2u

∂u ∂u

= P (ξ, η, u,

) ,

P =

(2.31)

∂ξ∂η

∂ξ

∂η

Вобласти эллиптичности D = a212−a11a22 < 0, поэтому правые части уравнений (2.21)

иих интегралы уравнений суть комплексно сопряженные:

φ (x, y) = C ,

(2.32)

φ (x, y) = C .

Если ввести новые комплексные независимые переменные

ξ = φ (x, y) ,

(2.33)

η = φ (x, y) ,

то уравнение (2.8) можно привести к такому же виду, что и в области гиперболичности. Получим каноническую форму в области эллиптичности, введя новые действительные независимые переменные:

α =		2	=	2			= φ1(x, y) ,
		ξ + η		φ(x, y) + φ		(x, y)
					φ (x, y)			(2.34)
		ξ η		φ(x, y)	φ (x, y)
	β =	− =		−			= φ (x, y) ,
	β =	− =		−			= φ (x, y) ,


		2i		2i		2

через которые выразим новые комплексные независимые переменные:

ξ = α + iβ ,

(2.35)

η = α − iβ .

Далее: 1) вычислим входящие в выражения для коэффициентов a11, a12, a22 (2.9) производные новых комплексных независимых переменных ξ и η через производные новых действительных независимых переменных α и β по старым действительным независимым переменным x и y:

∂ξ

∂α

∂β

∂η

∂α

∂β

+ i

− i

∂x

∂ξ

∂α

∂β

∂η

∂α

∂β

(2.36)

= ∂y +

∂y = ∂y −

∂y

2) образуем произведения вычисленных производных:

∂ξ ∂ξ

∂α ∂α

∂β ∂β

∂α ∂β

= ∂x ∂x − ∂x ∂x

+ i ∂x ∂x + i ∂x ∂x ,

∂x ∂x

∂ξ ∂ξ

∂α ∂α

∂β ∂β

∂α ∂β

+ i

(2.37)

∂x ∂y

∂x ∂y − ∂x ∂y

∂x ∂y

∂y ∂x

∂ξ ∂ξ

= ∂α ∂α

∂β ∂β

+ i ∂α ∂β + i ∂α ∂β ,

∂y ∂y − ∂y ∂y

∂y ∂y

∂η ∂η

∂α ∂α

∂β ∂β

∂α ∂β

= ∂x ∂x − ∂x ∂x − i ∂x ∂x − i ∂x ∂x ,

∂x ∂x

∂η ∂η

∂α ∂α

∂β ∂β

∂α ∂β

(2.38)

∂x ∂y

∂x ∂y − ∂x ∂y −

∂x ∂y −

∂y ∂x

∂η ∂η

= ∂α ∂α

∂β ∂β

i ∂α ∂β

i ∂α ∂β ,

∂y ∂y − ∂y ∂y −

∂y ∂y −

∂y ∂y

и 3) подставим их в выражения для коэффициентов a11, a12, a22 (2.9):

a = Q[α, α] − Q[β, β] + 2i Q[α, β] = 0 ,

	a	12 = Q[α, α] + Q[β, β]		̸= 0 ,				(2.39)



	a	22 = Q[α, α] − Q[β, β] − 2i Q[α, β] = 0 ,
Из (2.39) и комплексной сопряженности коэффициентов					11,		22, т. е.		11 =		22, следует,
Из (2.39) и комплексной сопряженности коэффициентов				a	11,	a	22, т. е.	a	11 =	a	22, следует,
что равны нулю их действительная и мнимая части, т. е.
Q[α, α] = Q[β, β] ̸= 0 ,			Q[α, β] = 0 .

Отсюда заключаем, что при введении новых действительных независимых переменных α и β уравнение (2.8) принимает вид:

∂2u

∂u ∂u

(α, β, u, ∂α,∂β ) ,

(2.40)

a11 ∂α2

+ a22 ∂β2

где коэффициенты и правая часть таковы:

a = Q[α, α], a = Q[α, β] = 0, a = Q[β, β], = S[α] ∂u

S β ∂u

a u + f .

e −

∂α −

[ ] ∂β − 0

(2.41)

Разделив левую и правую части уравнения (2.40) на ea11 = ea22 ≠ 0 (2.41), получим

каноническую форму уравнения в эллиптической области, записанную в новых действительных независимых переменных:

			e	e	e			e
∂2u	+	∂2u	= E,	E =		=			.	(2.42)
2	+	2	= E,	E =	e	=			.	(2.42)
∂α ∂β					e		e
∂α ∂β					a11			a22

2.4. Пример решения задачи

Найти области, в которых уравнение сохраняет тип, привести уравнение к каноническому виду в каждой такой области и записать уравнение характеристик:

∂2u	+ y	∂2u	= 0 .	(2.43)
∂x2		∂y2

1)Коэффициенты при старших производных линейного однородного уравнения (2.43)

равны: a11 = 1, a12 = 0, a22 = y (младшие производные отсутствуют), откуда дискриминант D = a212 −a11a2 = −y. Следовательно, существуют три области, в которых уравнение сохраняет тип:

а) D < 0 при y > 0 (эллиптический тип); б) D = 0 при y = 0 (параболический тип); в) D > 0 при y < 0 (гиперболический тип).

2)Составим уравнение характеристик:

a11 dy2 − 2a12 dy dx + a22 dx2 = dy2 + y dx2 = 0 ,

которое перепишем в виде:

(dy )2

= −y . (2.44)

3) Перейд¨ем к рассмотрению области эллиптичности.

а) Уравнение характеристик (2.44) здесь расщепляется на две комплексные ветви с разделяющимися переменными:

()

	dy	=			i√		,	(2.45)
						y
	dx
		1, 2
общие интегралы которых суть:
	2√			± ix = C.				(2.46)
			y

На основе общих интегралов (2.46) введ¨ем новые комплексные независимые перемен-

ные:
	ξ = 2√		+ ix ,
	ξ = 2√	y	+ ix ,		(2.47)
	η = 2√		−	ix ,
	η = 2√	y		ix ,

и в соответствии с правилом введения новых действительных независимых переменных, положим:

	ξ + η
α =			= 2√		,
				y
	2			y
	ξ	(2.48)
	ξ	η

β =	−		= x .
	2i

б) Определим метрические члены, необходимые для вычисления коэффициентов при младших и старших производных по переменным α и β:

∂α

∂α 1

∂2α

= −

= 0 ,

=√

= 0 ,

∂x

∂y

∂x2

∂x∂y

∂y2

2y√

∂β

= 1 ,

∂β

= 0

∂2β

= 0 ,

∂2β

= 0 ,

∂2β

= 0 .

∂x

∂y

∂x2

∂x∂y

∂y2

в) Вычислим новые коэффициенты a11 и a22 при старших производных по переменным α и β (только для проверки введения новых независимых переменных, поскольку для канонического вида эллиптического уравнения они равны единице):

(

)(

)

(

)(

∂α

)

(

)(

)

(2.49)

= a11

∂α

+ 2a12

∂α

+ a22

∂α

= 1 ,

a11

(

∂x

(

∂x

∂y

(

∂y

a22

= a11

∂x )(

∂x )

+ 2a12

∂x )(

∂y ) + a22

∂y )(

∂y ) = 1 ,

∂β

и члены с младшими производными (младших членов нет в исходном уравнении, но они могут появиться в новых независимых переменных):

∂u ∂2α ∂u ∂2β

∂u ∂2α

∂u ∂2β

∂u ∂2α

a11

(

) + 2 a12

(

)

+ a22

(

∂α ∂x2

∂β

∂x2

∂α ∂x∂y

∂β

∂x∂y

∂α ∂y2

|{z}

3/2

}

|{z}

̸=0

∂u ∂2α

∂u

∂u (2.48)

∂u

= a22

= y

(−

y−

)

= −

−

∂α

∂y2

∂α

y√

∂α

2√

∂α

∂u ∂2β )

∂β ∂y2

|{z}

(2.50)

г) Окончательно получаем канонический вид уравнения (2.43) в области эллиптичности:

∂2u ∂2u			−	1 ∂u		(2.51)
	+				= 0 .
∂α2		∂β2		α ∂α

4) Перейд¨ем к рассмотрению области параболичности. Здесь уравнение (2.43) вырождается в следующее:

∂2u	= 0 .	(2.52)
∂x2

формально имеющее канонический вид.

5) Перейд¨ем к рассмотрению области гиперболичности.

а) Уравнение характеристик (2.44) здесь расщепляется на две действительные ветви с разделяющимися переменными:

dy	= √−y ,
(dx)1, 2	= √−y ,	(2.53)

общие интегралы которых суть:

√	(2.54)
2 −y ± x = C.

На основе общих интегралов (2.54) введ¨ем новые независимые переменные:

ξ = 2√			+ x ,
	−y				(2.55)
η = 2√				x .
	−	y	−

б) Определим метрические члены, необходимые для вычисления коэффициентов при младших и старших производных по переменным ξ и η:

∂ξ

∂2ξ

∂x

= 1 ,

∂y

√

∂x2

= 0 ,

∂x∂y

= 0 ,

∂y2

2y√

−

∂2η

∂η

= − 1 ,

∂η

1 .

∂x

∂y

√

∂x2

= 0 ,

∂x∂y

= 0 ,

∂y2

2y√

−

в) Вычислим новые коэффициенты a11 и a22 при старших производных по переменным ξ и η (только для проверки введения новых независимых переменных, поскольку для канонического вида гиперболического уравнения они равны нулю):

a11

= a11

∂ξ

+ 2a12

(

∂ξ

)(

∂ξ

+ a22

∂ξ

= 0

∂x

∂y

( )(

)

∂η

)

( )(

)

(2.56)

∂η

(∂x)(

∂x)

(∂x)(∂y ) + a22

(∂y )(∂y ) = 0

a22

= a11

+ 2a12

∂u ∂2ξ ∂u ∂2η

∂u ∂2ξ

∂u ∂2η

∂u ∂2ξ ∂u ∂2η

a11

(

) + 2 a12

(

)

+ a22

(

) =

∂ξ

∂x2

∂η

∂x2

∂ξ ∂x∂y

∂η

∂x∂y

∂ξ ∂y2

∂η ∂y2

|{z}

}

|{z}

̸=0

∂u

(2.55)

2y√

(

)

(2.57)

∂ξ

∂η

ξ + η

∂ξ

−y

г) Окончательно получаем канонический вид уравнения (2.43) в области гиперболичности:

	∂2u		1		∂u		∂u
2		+		(		+		) = 0 .	(2.58)
	∂x∂y		ξ + η		∂ξ		∂η

3.Канонический вид линейного уравнения второго порядка с тремя независимыми переменными

3.1. Постановка задачи

Для однородного линейного уравнения в частных производных второго порядка:

∑ ∑					∑
3	3		∂2u		3	∂u
		aκϵ	∂xκ	∂xϵ	+ aκ	+ a0 u = 0 ,
ϵ=1 κ=1			∂xκ	∂xϵ	κ=1	∂xκ
ϵ=1 κ=1					κ=1

где u = u(x, y, z) — искомая функция независимых переменных x, y, z; коэффициенты aκϵ, aκ, a0 суть постоянные:

1)составить матрицу коэффициентов A ;

2)найти собственные значения λ1, λ2, λ3, матрицы A ;

3)построить базис из нормированных правых собственных векторов и заполнить ими матрицу R ;

4)привести матрицу A к диагональному виду: = diag(λ1, λ2, λ3) , с помощью преобразования подобия: R A R = R−1A R = , проверив, правильность вычисления собственных значений;

5)выписать главную часть уравнения до и после преобразования независимых переменных;

6)получить выражение для группы младших членов уравнения.

3.2.Варианты задачи

∂2u

∂u

−

+ 2

− 2

+ 2

− 3

+ 2 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂u

∂u ∂u

− 2

−

+ 2

−

5 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂u

∂u ∂u

+ 3

− 4

− 2

− 3

− 2

+ 4 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂u ∂u ∂u

+ 3

−

6 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂u

+ 3

− 4

− 2

− 3

+ 2

+ 4 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂u

− 3

− 2

−

+ 2

+ 9 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂u ∂u

∂u

−

+ 3

+ 5 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

∂2u

− 2

∂2u

−

∂u ∂u ∂u

− 4 u = 0 .

+ 3

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

∂2u

∂u

+ 2

− 4

− 2

− 7 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

10.

∂2u

− 4

∂2u

∂u ∂u

∂u

+ 3

+ 2

+ 2 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

11.

∂2u

∂u ∂u ∂u

+ 3

−

+ 8 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

12.

∂2u

∂u

∂u ∂u

+ 2

+ 3

+ 2

− 9 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

13.

∂2u

−

∂2u

∂u

− 2

∂u

+ 3

+ 2 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

14.

∂2u

∂u

+ 2

+ 3

− 4

+ 2

− 2

+ 3

− 2 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

15.

∂2u

∂u ∂u ∂u

− 3

− 2

−

− 3 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

16.

∂2u

−

∂2u

∂u

− 4 u = 0 .

+ 3

+ 2

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

17.

∂2u

∂u

∂u ∂u

− 3

−

+ 3

+ 3 = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

18.

∂2u

∂u ∂u ∂u

−

+ 2

− 2

−

+ 2 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

19.

∂2u

∂u

∂u ∂u

+ 2

+ 3

− 4

− 2

− 5 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

20.

∂2u

∂u ∂u

∂u

− 3

− 2

−

+ 3

− 7 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

21.

∂2u

∂u ∂u ∂u

−

− 2

−

− 4

−

+ 2 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

22.

∂2u

∂u

∂u ∂u

−2

+ 2

− 2

+ 3

−

+ 3 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

23.

∂2u

∂u

∂u ∂u

−2

− 2

+ 2

−

+ 5 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

24.

∂2u

∂u ∂u ∂u

+ 2

+ 3

− 4

−

+ 6 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

25.

∂2u

∂u ∂u ∂u

+ 4

−

− 8 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

26.

∂2u

∂u ∂u ∂u

+ 2

+ 4

−

− 3 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

27.

∂2u

∂u ∂u ∂u

+ 2

+ 3

− 6

−

− 5 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

28.

∂2u ∂2u

∂2u

∂u ∂u ∂u

− 2

−

+ 4 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

29.

∂2u

∂u ∂u ∂u

− 7 u = 0 .

+ 5

+ 2

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

30.

∂2u

∂u

∂u ∂u

− 3

−

+ 2

−

+ 5 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂z

∂x

∂y

∂z

31.

∂2u

∂u ∂u

∂u

+ 2

−

− 2

−

+ 2

− 3 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

32.

∂2u

∂u ∂u

∂u

+ 2

− 4

− 2

−

+ 2

+ 3 u = 0 .

∂x∂x

∂y∂y

∂z∂z

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

3.3. Пример решения задачи

Рассмотрим приведение к каноническому виду следующего линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

∂2u

− 4

∂2u

− 4

∂2u

+ 6

∂u

−

∂u

= 0 .

(3.1)

∂x∂x

∂y∂y

∂x∂y

∂y∂z

∂x

∂y

Для того, чтобы облегчить составление матрицы коэффициентов уравнения (3.1), изменим обозначения для независимых переменных:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.12.20182.32 Mб58Makarov_ekzamen.doc
#
08.03.20161.13 Mб10Marketingplan_UA.pdf
#
10.08.2019324.61 Кб1masl_iss.doc
#
25.11.2019502.27 Кб1Mass Media Language_Part 1.doc
#
21.04.20191.88 Mб12matan_1-33.doc
#
23.03.2015139.45 Кб4matphy_mech_01_02.pdf
#
23.03.2015321.77 Кб9matphy_mech_04.pdf
#
23.03.2015248.02 Кб7matphy_mech_lnotes_mn.pdf
#
23.03.2015375.92 Кб3matphy_mech_mod1.pdf
#
23.03.201575.26 Кб28Matsko_L_I__Kravets_L_V_Kultura_ukrayinsko.doc
#
21.08.201932.61 Кб8med. 35-39.docx