matphy_mech_01_02

21

2

∂2u

+

∂2u

− 4

∂2u

− 4

∂2u

+ 6

∂u

−

∂u

= 0 .

(3.2)

∂x1∂x1

∂x2∂x2

∂x1∂x2

∂x2∂x3

∂x1

∂x2

Составим матрицу коэффициентов уравнения (3.2), явно учитывая е¨ симметрию:

		−			2		2		−	0
A =					2	−1				2		,				(3.3)
					0		2			0
						−
и характеристический многочлен матрицы A:
		+2		−		λ −2						0			.
A λ E =			2			+1 λ						2		λ
			0			−		2				0	−
																(3.4)
| − |		−							−		−
Раскрывая определитель (3.4) по правилу треугольников получим:

|A − λ E| = −(2 − λ)(1 − λ)λ − 4(2 − λ) + 4λ = −λ(1 − λ)(2 − λ) + 4(λ − 2 + λ) =

= −λ(1 − λ)(2 − λ) + 8(λ − 1) = −λ(1 − λ)(2 − λ) − 8(1 − λ) =

()

=−(1 − λ) λ(2 − λ) + 8 = −(1 − λ)(2λ − λ2 + 8) =

=(1 − λ)(λ2 − 2λ − 8) = −(2 + λ)(λ − 1)(λ − 4) ,

откуда собственные значения матрицы A суть: λ1 = −2, λ2 = +1, λ3 = +4.

Найд¨ем для собственных значений матрицы A соответствующие правые собственные векторы, решая относительно компонентов правых собственных векторов однородные сис-

темы линейных уравнений:
(A − λ E) r = 0 .	(3.5)

Для собственного значения λ1 = −2 имеем следующую вырожденную систему (первое

уравнение равно удвоенной сумме второго и третьего):
−		−			−2	−
			+4				0		r11					0
				0	2	+2		r		13				0
					−
																	(3.6)
(A λ1 E) r 1	=			2	+3		2					=		0		,
								r12

для нахождения однопараметрического решения которой вычеркнем третье уравнение,

а параметром назначим компонент r13:
−			−1		r11				0
	+2
							= r13				(3.7)
		2	+3						2
				r12						.

22

Из системы (3.7) в разв¨ернутом виде

{

+ 2 r11 − 1 r12 = 0

(3.8)

− 2 r11 + 3 r12 = 2 r13

получим: 2 r11 = r12 , r12 = r13 . Выберем параметр так, чтобы получить решение в целых

числах: r11 = +1 , r12 = +2 , r13 = +2 .

Для собственного значения λ2 = +1 имеем следующую вырожденную систему (первое уравнение равно удвоенной сумме второго и третьего):

−		−				−
(A λ2 E) r 2	=		+1		2		0		r21			=		0		,	(3.9)
				2	−0		2	r22						0
				0	2		1	r		23				0
					− −

для нахождения однопараметрического решения которой вычеркнем третье уравнение, а параметром назначим компонент r23:

−
	+1		2		r21		= r23		0	.	(3.10)
		1	−0	r22					1

Из системы (3.10) в разв¨ернутом виде

{

+ 1 r21 − 2 r22 = 0

(3.11)

− 1 r21 + 0 r22 = 1 r23

получим: r21 = 2 r22 , 2 r22 = −r23 . Выберем параметр так, чтобы получить решение в це-

лых числах: r21 = −2 , r22 = −1 , r23 = +2 .

Для собственного значения λ3 = +4 имеем следующую вырожденную систему (первое уравнение равно удвоенной сумме второго и третьего):

−		−		−	−
(A λ3 E) r 3	=		2	2		0		r31			=		0		,	(3.12)
			−2	−3		2	r32						0
			0	2		4	r		33				0
				−	−

для нахождения однопараметрического решения которой вычеркнем третье уравнение, а параметром назначим компонент r33:

−		−
	1	1		r31		= r33		0	.	(3.13)
	−2	−3	r32					2

Из системы (3.13) в разв¨ернутом виде

{

− 1 r31 − 1 r32 = 0

(3.14)

− 2 r31 − 3 r32 = 2 r33

23

получим: r31 = −r32 , r32 = −2 r33 . Выберем параметр так, чтобы получить решение в це-

лых числах: r31 = +2 , r32 = −2 , r33 = +1 .

Из найденных (компонентов) собственных векторов составим матрицу R, нормируя при этом собственные векторы, и е¨ транспонированную — матрицу R :

								1				2							2																		1					2				2
								2				1							2																		2					1				2
							+	3				−		3					+		3															+	3		+				3			+	3
								2				2							1																		2					2				1
	R =						+																	,						R =																+					.		(3.15)
												−3 −3																								−3 −3
							+	3																																						3
												+							+																	+										+
								3				3							3																		3 −3									3
Проверим правильность													нахождения собственных векторов, вычислив матрицу
					1					2								2																					1						2				2
					2					1								2																					2						1				2
				+		3		+			3	+						3								2		−2 0									+			3	−				3	+			3
				−3 −3														3															−						3				−		3 −3
																			−
					2					2								1																					2						2				1
R A R =												+														2				1			2				+																(3.16)
																																																			.
				+								+														0				2 0							+ +									+
						3 −3												3										−											3						3				3
Чтобы не загромождать пространство, вначале вычислим матрицу
																			1					2						2									2						2				8
																			2					1						2									4						1				8
			2 −2 0																+	3		−				3		+				3					−			3	−				3	+			3
		−						−												3 −3										3							−3 −								3 −3
																			2					2						1									4						2				4
																																																					(3.17)
A R =			2				1			2									+									+						=																		,
																																										+				+
			0 2 0																+ +									+
					−														3					3						3							−3								3				3
затем матрицу
			1					2				2										2						2						8
			2					1				2										4						1						8
		+		3	−			3				+	3									−	3					−		3			+	3								−2				0 0
				3 −				3				3										−3						−3 −3
			2					2				1										4						2						4
R (A R) =		+										+																														0			+1				0			= .	(3.18)
																																				=
		+ +										+																+ +														0				0 +4
			3					3				3										−3						3						3

Следовательно, вычисления собственных значений и векторов проведены правильно, и можно выписать старшие члены уравнения в новых независимых переменных (y1, y2, y3):

		∂2		∂2		∂2	.	(3.19)
	−2 ∂y1∂y1		+ 1 ∂y2∂y2		+ 4 ∂y3∂y3

Младшие члены уравнения в новых независимых переменных найд¨ем так:

			1		2		2					∂
	6 1 0														= +								+				.
			+3		−3		+3					∂y1
			+
												∂y
			2		2		1					∂
																4 ∂ 11 ∂								14 ∂
			2		1		2					∂
			+		+		+
	−												2			3 ∂y1 − 3 ∂y2								3 ∂y3
			3		−3		−3
												∂y
			3		3		3						3

24

(3.20)

Сборка (3.19) и (3.20) да¨ет окончательный вид линейного уравнения второго порядка (3.2) в новых независимых переменных (это и есть канонический вид исходного уравнения (3.1)):

−2

∂2u

+

∂2u

+ 4

∂2u

+

4

∂u

−

11 ∂u

+

14 ∂u

= 0 .

(3.21)

∂y1∂y1

∂y2∂y2

∂y3∂y3

3

∂y1

3 ∂y2

3 ∂y3

В уравнении (3.21): 1) присутствуют вторые повторные производные по всем переменным; 2) отсутствуют вторые смешанные производные (ради этого и затевалось приведение к каноническому виду); 3) присутствуют первые производные по всем переменным (это

никак не сказывается на типе уравнения, но обратить внимание на это стоит).
Для уравнения (3.21) вычислим величины:
k− = −	∑		∑	k0 = n − k+ − k− ,	(3.22)
	sign(λκ) ,	k+ =	sign(λκ) ,
	λ <0		λ >0

т. е. k− равно числу отрицательных коэффициентов при старших производных в уравнении (3.21), k+ — числу положительных коэффициентов.

Теперь тип уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (3.1), привед¨енного к каноническому виду (3.21), может быть определ¨ен в соответствии с табл. 3.1.

Табл. 3.1. Тип линейного уравнения второго порядка (3.1)

	k+	k−	k0	тип уравнения
	n	0	0	Э — эллиптический
	0	n	0
	n − 1	0	1	П — параболический
	0	n − 1	1
	n − 1	1	0	Г — гиперболический
	1	n − 1	0

В нашем случае k−	= 1, k+	= 2, k0	= 0, следовательно (3.1) — уравнение гиперболичес-
кого типа.			N