Ovru-all

А.М. ОВРУЦЬКИЙ, О.С. ПРОХОДА, М.С. РАСЩУПКІНА

КОМП’ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФАЗОВИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ ТА ПОВЕРХНЕВИХ ЯВИЩ

Під редакцією професора Овруцького А.М.

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів

Дніпропетровськ 2011

ББК 22.36 я 73

УДК 539.19 (075.8) О 33

Гриф надано Міністерством освіти і науки України. Лист № 1/11-99 від 6.01.2011

Рецензенти:	доктор фіз.-мат. наук, професор	В.В. Маслов
	(зав. відділом кристалізації інституту металофізики
	ім. Г.В. Курдюмова НАН України);
	доктор фіз.-мат. наук, професор	В.В. Гіржон
	(зав. каф. фізики металів
	Запорізького національного університету МОН України).

Друкується за ухвалою Вченої ради Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара

Овруцький А.М., Прохода О.С., Расщупкіна М.С.

О 33 Комп’ютерне моделювання фазових перетворень та поверхневих явищ: Навчальний посібник /під редакцією професора А.М. Овруцького/

Дніпропетровськ: Вид-во «Інновація», 2011.– 280 с.: іл. 114. ISBN 978–966–8676–53–6

У посібнику наведені теоретичні відомості, що дозволяють засвоїти ряд фундаментальних питань фізики твердого тіла, фізики поверхонь та матеріалознавства, принципи моделювання фізичних систем, методи та засоби моделювання. Програми до лабораторних робіт, що виконуються у Дніпропетровському національному університеті ім. О. Гончара, відтворюють фазові перетворення та поверхневі процеси на атомному рівні. Вільний доступ до таких робіт дозволить підвищити рівень засвоєння теоретичного матеріалу. У заключному розділі посібника наведено багато результатів сучасних досліджень поверхневих процесів під час росту кристалів, включаючи процеси утворення тонких плівок, процеси кристалізації з аморфного стану. Посібник буде корисним для студентів та аспірантів, молодих вчених, що мають на меті застосовувати сучасні методи моделювання для побудови та аналізу більш реальних моделей фізичних процесів.

Для студентів університетів за спеціальностями фізика, фізика конденсованого стану, фізика наносистем, теоретична фізика та фізична хімія.

ISBN 978–966–8676–53–6	ББК 22.36 я 73
	УДК 539.19 (075.8)
	© А. М. Овруцький, О.С. Прохода,
	М.С. Расщупкіна	2011

2

ПЕРЕДМОВА

Моделювання є основним засобом розвитку наших уявлень про навколишній світ, теоретичного опису різноманітних явищ та процесів. Історія пізнання наочно демонструє, як на зміну простим моделям приходять нові, які краще відображають реальні процеси. Прості моделі, як, скажімо, модель ідеального газу, легко піддаються аналітичному розгляду. Ускладнення моделей речовини збільшує труднощі їхнього аналізу, потребує застосування розвинутих математичних методів. З потреб розвитку методів аналізу та обчислення результатів з’явилися математична фізика та обчислювальна математика. Остання була перекладена зручною для обчислювальних машин мовою і стала корисним знаряддям для вчених у різних галузях науки.

Аналіз достатньо реалістичних моделей дуже складно провести, і не завжди можна довести результати до такого вигляду, який дозволяє застосування методів обчислювальної математики. Наприклад, аналітичні розв’язки крайових задач теплота масоперенесення можна отримати тільки для тіл простої форми при певних спрощених крайових умовах. В той час як числовий розв’язок вихідних рівнянь за методом сіток, що є одним із методів моделювання, дозволяє отримати повну картину зміни температурних та концентраційних полів, врахувати чи знайти переміщення поверхонь розділу (наприклад, міжфазних меж), зміну їхньої форми. При цьому програма для моделювання є аналогом і самого аналітичного розв’язку, і його кінцевих співвідношень. Достатньо змінити вихідні параметри розглядуваної системи, щоб після обчислень за допомогою ЕОМ отримати відповідні результати з повною візуалізацією процесів, що відбуваються.

Алгоритм та програма, якщо вони є вірними, і перевірені результати їх застосування принаймні для спрощених умов, ніяк не гірше за аналітичні розв’язки, і можуть бути набагато простішими для використання у практичних цілях. Наприклад, у теперішній час ніхто не намагається отримати аналітичний розв’язок задачі руху багатьох тіл у разі астрономічних об’єктів, натомість користуються відповідними програмами для розрахунків.

Зі сказаного зрозуміло, чому методи моделювання знаходять своє місце у навчальних програмах. Розгляду методів моделювання на різному рівні присвячено чимало посібників. Ті з них, що написані математиками, більше сконцентровані на самих методиках. В посібниках, написаних фізикамитеоретиками, більше уваги приділяється феноменологічним проблемам. Але треба мати на увазі, що для застосування моделювання необхідно добре знати сам предмет, розуміти на рівні кращих досягнень науки відповідні явища. Отже, краще не відривати моделювання від спецкурсів з основної фахової підготовки. Даний посібник саме тим і відрізняється, що в ньому подано необхідний теоретичний матеріал з питань фазових перетворень та фізики поверхневих явищ на рівні спецкурсів.

Посібник доповнюється CD-диском з інструкціями до розроблених лабораторних робіт. Їх виконання допоможе практично засвоїти методи моделювання й одночасно забезпечить стійке засвоєння основних уявлень застосованих моделей. І вже на базі цих знань можна зрозуміти сучасні дослі-

3

дження структури поверхонь та росту кристалів на основі моделювання, такі дослідження описано у заключних розділах. Виконувані файли до лабораторних робіт є на CD-диску й у відкритому доступі. Вони відтворюють зручний інтерфейс, який дозволяє розв’язувати суто фізичні задачі, навіть не розуміючись на програмуванні. Опис програм, даний в інструкціях до лабораторних робіт, достатній для їхнього відтворення на будь якій мові програмування.

В силу специфічної будови посібника списки використаної літератури до його перших розділів дуже скорочені. Той матеріал, який вже входив в інші посібники та підручники, й важко визначити, де він уперше вводився як навчальний матеріал, часто дається без посилань на першоджерела. Це стосується й методів моделювання. При підготовці даного посібника використовувалися матеріали з книг: “ Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике” Д.В. Хеермана (М.: Наука – Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990), “ Эксперимент на дисплее” ( М.: Наука, 1989 р.), "Computer simulation

of liquid" by M.P.Allen and D.J. Tildesley (Clarendon Press, Oxford, 1989. - 385 p.), "Understanding Molecular Simulation. From algorithms to Application" by

D.Frenke and B.Smit (Academic Press, N.Y., London, Tokyo, 2002. - 628 p.), «Компьютерное моделирование жидких и аморфных веществ» Д.К. Белащенко (М.: МИССИС, 2005.- 407 с.), “ Компьютерное моделирование в физике” авторів Х. Гулда та Я. Тобочника (М.:Мир, 1990 р.), “ Програмування та математичне моделювання” І.О. Хвищун (К.: Ін Юре, 2007), “ Численные методы решения физических задач” авторів В.І.Ращікова, А.С.Рошаля (С. Петербург: Лань, 2005) та інших видань, у яких послідовно розкриваються математичні основи методів моделювання. Стосовно фізики поверхонь найбільш послідовною залишається книга “ Физика поверхности” Е. Зенгуила (М.: МИР,1990), частина матеріалу з якої використана у 4-му розділі (у списку літератури до розділу вказані інші джерела). Більш сучасні дослідження структури поверхонь відображені у книзі "Введение в физику поверхности" авторів К.Оура, В.Г. Лившица, А.А. Саранина, А.В. Зотова, М. Катаями, М.:

Наука, 2006.- 490 с.).

Більшість програм до лабораторних робіт розроблено за участю студентів факультету фізики, електроніки та комп’ютерних систем Дніпропетровського національного університету ім. О. Гончара. Слід зазначити істотний вклад таких талановитих студентів: Антропов С.С., Боцьва Т.О., Бурилов В.І., Зборовський А.В., Магера В.І., Нищенко М.О., Третьяк І.О., Челбаєвський З.Ю.

Автори вдячні професору кафедри квантової макрофізики ДНУ ім. О.Гончара Соколовському О.Й., доценту хіміко-технологічного факультету Техніону (Ізраїль) Расіну І.Г., доценту кафедри металофізики ДНУ ім. О. Гончара Кушнерьову О.І. за обговорення низки принципових питань, завідувачу кафедри металофізики ДНУ ім. О. Гончара проф. Башеву В.Ф. за корисні дискусії та за підтримку роботи з підготовки книги і рецензентам за попередній перегляд рукопису й корисні рекомендації.

4

Розділ 1.

КОМП’ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЗИЧНИХ ЯВИЩ ТА ПРОЦЕСІВ

1.1.Застосування комп’ютерів у фізиці

1.1.1.Роль моделей у теоретичному дослідженні

Воснові будь-якої фізичної теорії лежать моделі явищ або процесів. Такі моделі, як правило, досить прості, їх ускладнення затрудняє розробку теорії. Якщо застосування простої моделі дає результати, які задовільно узгоджуються з експериментальними даними, то й не слід її ускладнювати. Але якщо наявна розбіжність результатів, то слід знайти таку модель, яка краще відповідає природі явищ, що розглядаються.

Найпростішою для вивчення газів є модель ідеального газу. У ній газ розглядається як сукупність матеріальних точок, які не взаємодіють і можуть рухатись у будь-якому напрямку. Модель ідеального газу цілком достатня для того, щоб знайти зв'язок між тиском газу на стінки посудини і такою характеристикою руху молекул, як їхня середньоквадратична швидкість. Зауважимо, що завданням молекуля- рно-кінетичної теорії і є встановлення зв'язків між характеристиками стану системи і характеристиками руху молекул.

Для знаходження тиску ідеального газу припускається, що існує деякий розподіл молекул газу за швидкостями, такий, що середньоквадратична швидкість руху молекул для даних умов є величиною постійною. Виникає питання: якщо молекули літають вільно і не зіштовхуються (а матеріальна точка не має розмірів), то як може встановитись якійсь визначений розподіл молекул за швидкостями? Отже, більш виважена модель газу повинна враховувати розмір молекул. В одній із поширених моделей газу молекули розглядаються як тверді сфери. Ця модель використовується для опису явищ перенесення в газах, таких як дифузія, теплопровідність, внутрішнє тертя.

Якщо концентрація молекул газу велика, то його властивості значною мірою визначаються взаємодією молекул. Моделі реального газу враховують притягання молекул. Якщо відстань між молекулами є малою, то сили відштовхування також досить істотні.

Середня відстань між молекулами в рідині чи у твердому тілі зумовлена зрівноваженням сил притягання та відштовхування. У разі відхилення молекул від положень рівноваги виникають сили, прямо пропорційні відстаням, на які молекули відхиляються. Тому найпро-

5

стішою і найбільш поширеною моделлю твердого тіла (кристала) є кристалічна гратка, у вузлах якої розміщені молекули, пов'язані між собою пружними силами.

Прості фізичні моделі легко піддаються аналітичному вивченню. Аналіз більш реальних моделей речовини виконується із застосуванням спеціальних математичних методів, розвинених фізикамитеоретиками. Як правило, для остаточного розрахунку властивостей речовини необхідно обчислювати складні інтеграли, знаходити розв’язки рівнянь, систем алгебраїчних або трансцендентних рівнянь тощо. Наприклад, статистичні теорії упорядкування (систем з магнітними моментами, з дипольними моментами, з атомами різного типу) основані на пошуку аналітичних виразів для вільної енергії систем в рамках розглядуваної моделі (через статистичну суму або шляхом визначення внутрішньої енергії (U), ентропії (S) та вільної енергії Гельмгольца F=U-TS). Рівноважному стану системи відповідає мінімум вільної енергії. Мінімізація за основними параметрами аналітичного виразу вільної енергії (параметр упорядкування, імовірності певного оточення атомів або диполів) призводить до трансцендентних рівнянь. Їх розв’ язки знаходять за допомогою комп’ютерів, використовуючи стандартні обчислювальні методики. В даному разі комп’ютер ще використовується як потужний калькулятор.

1.1.2. Методи комп’ютерного моделювання фізичних явищ та процесів

У науковому дослідженні велику роль відіграють математичні моделі, які за допомогою рівнянь перетворюють фізичне явище в дискретну алгебраїчну форму, що піддається числовому аналізу. Дискретні алгебраїчні рівняння описують обчислювану модель. Втілення останньої у машинні команди є програмою для ЕОМ. Комп'ютер і програма дозволяють досліджувати еволюцію модельованої фізичної системи в обчислювальних експериментах [1].

Математичне моделювання – це своєрідна теоретична задача з чисельного розв’язку крайової задачі Коші. В момент часу t=0 задається початковий стан системи в деякій обмеженій області простору (розрахункова область), на поверхні якої підтримуються задані граничні умови. Моделювання полягає у спостереженні за еволюцією цієї конфігурації. Основною частиною обчислення є цикл за часовим кроком, за яким стан фізичної системи просувається у часі з деяким

кроком t. Навіть і найпростіший модельний розрахунок породжує велику кількість даних і вимагає експериментального підходу для

6

одержання необхідних результатів (а звідси й назва «обчислювальний експеримент»). Хоч обсяг інформації, який можна опрацювати за допомогою комп'ютерів, і великий, проте, він має певні обмеження.

Найбільш широке застосування для моделювання фізичних процесів знайшли три методи: метод сіток для розв’язку рівнянь перенесення (диференційних рівнянь у частинних похідних), метод МонтеКарло (його модифікації для кінетичного моделювання) та метод молекулярної динаміки для моделювання статистичних класичних і квантових систем. У всіх випадках мова йде про апроксимації безперервного середовища дискретною моделлю з локальною взаємодією. Вибір методу, пошук адекватної дійсності моделі будови речовини, розробка алгоритмів і програм для функціонування моделі, проведення чисельних експериментів та аналіз їхніх результатів і є сутністю моделювання фізичних явищ.

Моделюючи великі системи, модель розміщують зручним для розрахунків чином в пам'яті комп'ютера, і забезпечують паралельность обчислень у невзаємодіючих просторових областях. Обчислення ці, по суті справи, абсолютно примітивні, але вимагають багато ресурсів, оскільки розподілені за великим об’ємом. Для прискорення розрахунків організовують одночасну роботу декількох ком- п'ютерів – « кластер», роботою яких управляє головний комп'ютер – хост-машина.

Моделювання за методом Монте-Карло не потребує складної математики, тому що воно виходить майже з перших принципів – ймовірності станів або переходів частинки з одного стану в інший пов’язані з експонентою Больцмана – експонентою від енергій (з від’ємним знаком) в одиницях kT. Моделювання за методом МонтеКарло допускає розгляд моделей речовини значно складніших, ніж ті, що можуть бути проаналізовані сучасними методами теоретичної фізики. Статистичне моделювання за методом Монте-Карло дозволяє вивчати рівноважний стан системи. Кінетичне моделювання за методом Монте-Карло дозволяє аналізувати перебіг фізичних процесів.

Найбільш бурхливо розвивається в даний час метод динамічного моделювання (метод молекулярної динаміки), який зараз вже застосовують для систем, що складаються з багатьох тисяч атомів. Він полягає в чисельному розв’язку рівнянь Ньютона для всіх атомів з кроком за часом, меншим за 10-14 с – за цей інтервал часу знаходяться прирости координат і швидкостей усіх частинок, виходячи з їхніх

7

значень на попередньому кроці за часом. І хоча ступінь адекватності результатів моделювання дійсній фізичній картині певного процесу або явища не може бути гарантована, тому що не завжди визначаються з достатньою точністю залежності енергії взаємодії атомів від відстані між ними, метод є винятково цінним і перспективним, оскільки в ньому використовуються виключно «перші» принципи.

1.1.3. Вплив комп’ютерів на методи фізичних досліджень

Цілі і засоби науки змінилися у зв’язку з розвитком обчислювальної техніки. Довгий час теоретична фізика прагнула до аналітичних розв’язків своїх проблем. Це здавалося єдиним можливим способом повного опису. На жаль, найважливіші і найактуальніші проблеми якраз і не допускають такого розв’язку. Застосування обчислювальної техніки виявилося дуже ефективним і з цим, в основному, пов’язаний її розвиток. Цей розвиток зараз зайшов так далеко, що у багатьох випадках відпала необхідність аналітичного розв’язку. «Задача трьох тіл» – рух трьох мас в сумарному гравітаційному полі, так

іне розв’язана в аналітичному вигляді. Проте, це не зупиняє астрономів, які розраховують на комп'ютері траєкторії не тільки трьох, але

ібудь-якої кількості тіл. По суті, алгоритм, що дозволяє з будь-якою точністю розрахувати траєкторії на ЕОМ, нічим не гірше за «явний» розв’язок. Чисельні розв’язки дозволяють відповісти на будь-які питання, на які раніше відповідали за допомогою формул.

Несподіваною і шокуючою для фізиків-теоретиків була розробка наприкінці 20 сторіччя пакетів програм, що дозволяють проводити трудомісткі перетворення алгебри. Це означає, що інтелектуальні операції стали доступними комп'ютерам. Виключеннями є лише вибір напрямку досліджень і початкове формулювання задачі. Отже, машини вторглися в область науки, що традиційно і загальновизнано вважалася сферою найбільш кваліфікованих учених, а саме – теоретиків.

Можна навести також приклади пониження статусу фахівців, що досконало володіють деякими теоретичними методами. Кваліфіковані фахівці в області розв’язку задач тепло- і масоперенесення, що не опанували вчасно нові чисельні методи, зі здивуванням виявили, що їх величезний багаж теоретичних знань значною мірою знецінений, оскільки він все одно не дозволяє розв’язувати рівняння перенесення для складних, змінних у часі граничних умов, а зовсім і не теоретики можуть це робити за допомогою порівняно нескладних

8

програм. Класні фізики-теоретики, що розв’язували задачі статистичної фізики, виявили, що їхні молоді колеги, застосовуючи метод Монте-Карло, не просто, як раніше, перевіряють його надійність, а отримують вже набагато вагоміші результати, що краще відображають структуру, і різні процеси (в першу чергу, фазові переходи), які відбуваються з речовиною.

З іншого боку, це нормальне явище, коли приходять нові люди, що вміють працювати по-новому. Але цьому потрібно навчитися. І головне, потрібно обов'язково бути гарним фахівцем у своїй області. ЕОМ може полегшити аналіз моделі процесів або явищ, може дозволити працювати з нею як експериментатор, отримуючи результати для різних заданих умов (на відміну від справжнього експерименту з матеріальною системою у випадку комп’ютерного експерименту ці умови відомі точно). Проте, принцип теоретичної роботи не змінюється: це розробка моделі і її теоретичний аналіз, в даному випадку, із застосуванням ЕОМ. У випадках застосування прямих методів, таких як метод Монте-Карло або молекулярної динаміки, заснованих на найзагальніших принципах, основними завданнями під час створення моделей є грамотна розробка алгоритмів, перевірка достовірності розв’язків. Однак, для планування обчислювальних (“ машинних”) експериментів й аналізу результатів основним є знання теоретичних здобутків у цій галузі й результатів новітніх експериментальних досліджень.

Важливим напрямом у фізиці є моделювання великих систем в екстремальних ситуаціях. Маються на увазі ситуації, коли система якісно відрізняється від суми незалежних малих підсистем, тобто в ній великий радіус кореляцій. Це різного роду критичні явища, турбулентність, хвильові колапси і таке інше. Методи, що розробляються при аналізі таких систем, знаходять цікаві прикладні застосування, іноді в найнесподіваніших областях.

Використання моделей в науковому пізнанні обумовлене, як відомо, тією обставиною що безпосередній об'єкт дослідження або важко доступний, або взагалі недоступний для безпосереднього дослідження за своїми просторово-часовими або якими-небудь іншими фізичними параметрами [2].

Розрізняють фізичне і математичне моделювання. Фізичне моделювання засноване на вивченні явищ на моделях однієї фізичної природи з оригіналом. Прикладами може служити продування моделі літака в аеродинамічних трубах, кристалізація прозорої органічної речовини (салолу) в малій посудині як модель кристалізації сталевого зливка. Математична модель є більш узагальненою, ніж фізична:

9

від оригіналу і моделі не вимагається більше фізичної подібності, оскільки на математичній моделі вивчаються тільки ті параметри, які мають математичний опис і пов'язані математичними співвідношеннями, що відносяться як до моделі, так і оригінала.

Математичні моделі, оскільки вони спираються на математичну подібність оригінала і моделі та використовуються для дослідження кількісних характеристик і кількісного взаємозв'язку різних параметрів, можуть розглядатись як математичні обчислювальні машини. І навпаки, обчислювальна машина (після відповідного програмування) є узагальненою моделлю тих процесів, рівняння яких можуть бути розв’язані даною машиною. Сучасні обчислювальні машини використовуються як моделюючі пристрої об'єктів і процесів найрізноманітнішого характеру. Обчислювальні машини з великим числом елементів (1012-1014), згідно з теоремою фон Неймана, є універсальними автоматами, здатними виконувати роботу будь-якого автомата (див.

в [1]).

Важливо відноситися до ЕОМ як до нового джерела творчого задоволення, яке може бути забезпечене за рахунок підвищення ролі пошукової («ігрової») складової у науковій роботі. Це виявляється можливим унаслідок радикального підвищення продуктивності праці на так званих рутинних етапах робочого процесу. Великі витрати часу на рутинні операції сильно звужують творчі можливості дослідників. Крім того, багато задач, зрозумілих за своєю суттю, не доступні людині через величезний об'єм необхідних перетворень (або логічних кроків). Без участі машин їх взагалі не можна виконати. А для цього ЕОМ повинна володіти штучним інтелектом. Його створення включає розробку програмного забезпечення, що дозволяє розв’язувати з допомогою ЕОМ задачі інтелектуального характеру, наприклад, доказ теорем із застосуванням операцій формальної логіки, розпізнавання образів, використання природної мови для навчання роботів.

1.1.4. Основні напрямки застосування комп’ютерів у фізиці

Кажучи взагалі про використання комп'ютерів у фізиці, можна виділити чотири напрями:

1.Чисельний аналіз (обчислювальна математика).

2.Символьні перетворення.

3.Математичне моделювання.

4.Управління в реальному часі фізичним устаткуванням.

10