GeomCh

4Кривые второго порядка

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему уравнению:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0; a211 + a222 + a233 6= 0:

	¯	a11		a12	¯
± = ¯		a21		a22	¯ малый определитель кривой второго порядка.
	¯	a		a	a		¯
ка.	¯	a11		a12	¯a13		¯
	¯	a21		a22	¯a23			большой определитель кривой второго поряд-
± =	¯¯						¯
(aij	¯	aji)					¯
	=¯						¯
	¯		31	32		33	¯

Эллипс

Определение. Эллипс это множество точек в плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (система координат в этом случае называется канонической): xa22 + yb22 = 1

a > 0; b > 0; a > b: 2a большая ось эллипса, 2b малая ось эллипса. a и b полуоси. F1(¡c; 0) и F2(c; 0) фокусы эллипса, c2 = a2 ¡ b2:

Исследование формы эллипса по его уравнению.

xa22 + yb22 = 1

1.¡a · x · a; jxj · a; jyj · b:

2.График эллипса симметричен относительно осей координат и имеет центр симметрии в начале координат.

3.Эллипс имеет следующие вершины (§a; 0) и (0; §b)

q

4. y = b 1 ¡ xa22 (I четверть)

y0 =	¡b a2x2		2
	q

21¡a2x

=	¡	bx		; 0	·	x	·	a: y0	< 0 убывание.(рис.22)
			2
a2q1¡xa2

5. y00 < 0 выпуклость вверх.

30

Рис. 22:

Теорема (Фокальное свойство эллипса). Точка плоскости принадлежит эллипсу , сумма расстояний от этой точки до двух фокусов (F ) есть величина постоянная (= 2a) и большая чем расстояние между фокусами.

¤ ())

M(x0; y0) 2 эллипсу. Доказать: сумма расстояний = 2a:

jF1Mj = (x0

2

2

jF2Mj = (x0 ¡ c)

2

2

+ c) + y0

+ y02:

2

2

(

+

) +

p

2

y2

2

pтак

как:

x

y

F M =

(

x

0

+

c

+

=

+

b2

=

1

=

j

1

j

p

)

0

a2

j

b

c

( x + a) =

qx

+ a :

q2

x

c 2

b2(1

x02

) =

a2¡b2 x2

+ 2x

c + c2

+ b2 =

jтак как:

a2

=

0

2

¡ a

c

a

0

0

j =

c

2

jc

+

c a

0

a

;

c

x

ja

0

x

a

F M

j =pja

x

0

ja

0

+

a

j = a

0

+

всегда положительна.

jc

2

¡ c j

ja

x

0 ¡

a

= a

¡ a

x0:

j

c

+ a + a ¡

c

jF1Mj + jF2Mj = a x0

a x0 = 2a:

(()

p

p

( + ) +

= 2

(

) +

(

4a

Дано: jF1Mj+ jF2Mj = 2a: )

(x + c)2 + y2

+

(x ¡ c)2 + y2 = 2a )

p(x c)2

+ y2

+ (x ¡ c)2p+ y2

) xc = a2

¡ a (x ¡ c)2 + y2

)

x c

2

y2

a

¡

x

¡

c

2

y2

)

x + c)2

+ y2

= 4a2

¡

a

p(

x

¡c)2

+ y2

= a2

¡

xc

)

p

¡

pa2((x

¡

c)2 + y2) = a4

2a2xc + x2c2

)2

a2x2

2a2xc + a2c2

+ a2y2 =

4

2

2

2

2

2 ¡

2

2

2

2

¡ a

4¡

a

¡ 2a

xc + x

c

) x

(a

¡ c ) + a c

2

+ a 2y

= 0 )

x2b2 ¡ a2b2 + a2y2 = 0 (: a2b2) )

x

+

y

= 1: ¥

a2

b2

31

Эксцентриситет эллипса

Определение. Эксцентриситет это отношение фокусного расстояния (2c) к большой оси эллипса (2a):

Обозначается: " = 22ac = ac (характеризует степень сжатости) 0 < " <

1.

"= 0 ) c = 0 ) a = b Эллипс становиться окружностью.

"= 1 ) c = a ) Эллипс вырождается в большую ось.

Замечание. Эллипс можно рассматривать как окружность сжатую в своему диаметру.

Определение. Директрисами эллипса называются прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и находящиеся на расстоянии a" от центра эллипса. (рис.23)

Рис. 23:

Теорема (Дирректориальное свойство эллипса). Точка плоскости принадлежит эллипсу , отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей дирректрисы постоянно и равно эксцентриситету эллипса.

¤ (рис.24)c ()) M(x0; y0)c

2 эллипсу.

jF2Mj = ja x0 ¡ aj = a ¡ a x0

jMDj =

a

¡ x0 )

jF2Mj

=

aa¡"x0

"(a¡"x0)

= ":

"

jMDj

"

¡x0 =

a¡"x0

(x0

c) + y0

= " ("2

p0

+

"

)

(() jF2Mj = "jMDj2)

(x0 ¡ c)2 + y02

= "(a" ¡ x0) )

¡

2

2

2

a

¡2

x2

2ax0

)

x

2

x c

c

2

y

2

2

2

¡ 2

+

+

¡

a

+ "

x

¡2

2

a"x

0 = 0 )

0

02

0

2

0

x02

¡

x02 ac2

+ y02 = a2

¡

c2

2)

a a¡2c

x02 + y02 = b2

2

2

ab2 x02 + y02 = b2 (: b2) )

x0

+

y0

= 1: ¥

a2

b2

32

Рис. 24:

Определение. Секущей к множеству точек плоскости называется прямая, содержащая две точки данного множества.

Определение. Касательной к множеству точек плоскости называется предельное положение секущей, когда одна точка сечения стремится к другой.

Теорема. В любой точке эллипса можно провести касательную, уравнение которой имеет вид: xxa20 + yyb20 = 1; M(x0; y0) точка касания.

¤ (рис.25) M0(x0; y0); M1(x1; y1)

e(x0

¡

x1; y0

¡

¢(y0

+y1)

¡

x1)(y0

2

¡

2

xa22 + yb22 =1

¡

x1)

¢

y1)¡¡¡¡¡¡!((x0

+ y1); y0

y1)¡¡¡¡¡¡¡!((x0

¢

1

2

b2x2

2

b2x2

2

2

(x1

¡

x0)

¡

0

¡

1

¡

b

¡

2

¡

¡

(y0 + y1); b

b

+

)¡!((x0

x1)(y0 + y1); a2

(x1

x0))¡¡¡¡¡¡!(

y0

a2

a2

2

M0

2

2

=M1

y1

; ab2 (x1 + x0))¡¡¡¡¡!(¡2 2y0; ab2 2x0)!¡ (¡y0; ab2 x0)

)

a

b

½

y = y0

+ ab2 x0t( y0)

) a

2

a

0 0

x = x0

y0t(

b2 x0)

2

x2

y2

+

¡

2

¢a

xx02b +yy0

= b

2 x2+y2

Так как

0

+

0

= 1;

2

2

то:

¢

xx0b2

+ yy0

= b

2

или

xx0

yy0

a2

a2 + b2

= 1: ¥

Правило:

Отражение луча от криволинейного зеркала.

Луч отражается по касательной, проведенной в точке касания.

33

Рис. 25:

Теорема (Оптическое свойство эллипса). Луч света, выпущенный из одного фокуса эллипса проходит через другой.

¤ (рис.26)

Рис. 26:

Проведем в точке падения касательную. M(x0; y0)

xx0

+

yy0

= 1

a2

b2

\AMF1 = \F2MB

¡¡!

= (

0

¡

0)

F

M

x

c; y

1

x0

y0

¡!

= (

;

a

2

b

nx

2 )

34

ex = (

y0

;

x0

)

касательный вектор.

¡!

b

¡

a

(ex;¡¡¡!

y0

x0y0

x0y0

y0c

x0y0

= j ¡!

1

j

=

(x0

c)

¡

=

j

¡ b

¡

j

=

cos \AMF1

M)

b

2

¡

a

2

b

2

a

F

2

2

2

2

x

¡¡¡!

ex

¡¡¡!

j

x

¡¡¡!

j

j¡!jj 1

M

j

j¡!jj 1

j¡!jj 1

M

e

F

F M

e

F

a x0y0¡b x0y0

y0c

c2

a2

c2

a2

2

j

a2b2

¡

b2

j

=

a2b2 jx0y0¡

c

y0j

=

a2b2 jy0jjx0¡

c

j

=

c

jy0j

:

x

¡¡¡!

x

¡¡¡!

ex

¡¡¡!

a2b2 ex

"

j

j

j

j

¡!

j¡!jj 1

M

j¡!jj 1

M

j¡!jj

1

M

j

e

F

e

F

F

cos \F2MB =?(упражнение). ¥

Гипербола

Определение. Гипербола это множество точек в плоскости, коор-

динаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению: xa22 ¡ yb22 = 1

2a действительная ось гиперболы, 2b мнимая ось гиперболы. F1(¡c; 0) и F2(c; 0) фокусы гиперболы, c2 = a2 + b2:

Исследование формы гиперболы по её уравнению.

1.jxj · a:

2.Оси координат являются осями симметрии гиперболы. Начало координат является центром симметрии гиперболы.

3.(§a; 0) вершины гиперболы.

q

4. y = b 1 + xa22 ; y0 > 0; y00 < 0 (для первой четверти.) x ! §1

y ! ab x

y = §ab x асимптоты гиперболы. (рис.27)

Теорема (Фокальное свойство гиперболы). Точка в плоскости принадлежит гиперболе , абсолютная разность расстояний от этой точки до двух фокусов (F ) есть величина постоянная и равная 2a.

¤ ())

j так

как:

2

¡

2

jF1Mj

=

(x + c)2 + y2

=

xa2

yb2

= 1

j =

c

2

b

2 x2

x

2

xc

c

2

b2

x

2

¡

b

2

(a2

1) =

+ a2

=

q

(x + p) +

¡

q

+ 2 +

q

a2+b2

x

2

+ 2xc + c

2

b

2

так

a

2

=

c

2

b

2

=

2

=

как:

a

¡

jc

¡

j

c2

c

+ aj:

qa2 x2 + 2xc + a2p(a x0 + a)2 = ja x0

35

Рис. 27:

c

a

;

Аналогично: jF2Mcj = ja x0 ¡ cj

jF1Mj ¡ jF2Mj = ja x0 + aj ¡ ja x0 ¡ aj = 2a:

(()

)

Дано: jF1Mj + jF2Mj = 2a: ) p

(x + c)2 + y2

¡ p

(x ¡ c)2 + y2

= §2a

4

p(

) + + (

)

p

=

(

) +

(x + c)2

+ y2

= §2a + (x ¡ c)2

+ y2

) (x + c)2

+ y2

= 4a2 §

ap (x¡ c)2 + y2

= xc

¡a2

2 + y2

)

a2

§

p

¡

)

a x c

2

y2

x

c

xc

a x

c

2

y2

§

a

2

¡

2

y

2

a

4¡ )2

2

c

2

x

2

c

2

a

2

2

2

2

y

2

a

4

x c

) +

) =

¡2

a xc

+

x

)

(

¡

) ¡

a c

¡

a

¡

= 0

p(( ¡

) x2b2 ¡ a2y2 = a2b2 )

x2

¡

y2

= 1: ¥

a2

b2

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется число " = c

:

a

" =

c2

a2+b2

=

b2

: Чем ближе " к единице, тем ближе

a2 =

a2

1 + a2

действительной оси.

ветви к q

q

q

Замечание. Чем больше "; тем ближе ветви к мнимой оси (OY ) (ветви расширяются).

Определение. Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные действительной оси (OX) гиперболы и находящиеся на расстоянии a" от начала координат. (рис.28)

36

Рис. 28:

Теорема (Дирректориальное свойство гиперболы). Точка плоскости принадлежит гиперболе , отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету гиперболы.

¤Полностью повторяет доказательство директориального свойства эллипса.¥

Теорема (Уравнение касательной гиперболы). В любой точке гипер-

болы можно провести касательную, уравнение которой имеет вид: xxa20 ¡ yyb20 = 1; M(x0; y0) точка касания.

¤ M0(x0; y0); M1(x1; y1)

Направляющий вектор секущей:(x1

¡

x0; y1

¡

¢(y1+y0)

¡

x0)(y1 +

y0)¡¡¡¡¡¡!((x1

x2

y2

2

¡

2 a2

¡ b2 =1

¡

¢

b2x12

¡

2

¡

b2x02

2

b2

y0); y1

y0)¡¡¡¡¡¡¡!((x1

x0)

(y1 + y0);

b

+b

)!¡ (y1

+y0

; a2 (x1 +

a2

a2

M0

2

=M1

x0))¡¡¡¡¡!(y0; ab2 x0) направляющий вектор касательной.

x = x0 + y0t

r(t) = ½+ y = y0 + ab22 x0t

Параметрическое уравнение касательной.

¥

Упражнение. Вывести общее уравнение касательной.

Теорема (Оптическое свойство гиперболы). Луч света, выпущенный из одного фокуса гиперболы после отражения от гиперболы идет по прямой, проходящей через другой фокус гиперболы.

37

¤ (рис.29)

Рис. 29:

Аналогично доказательству оптического свойства эллипса с учетом директориального свойства гиперболы. ¥

Парабола

Определение. Парабола это множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению: y2 = 2px; где p > 0 действительное число. F (p; 0) фокус параболы.

Исследование формы параболы по её уравнению.

1. x ¸ 0:

2. Ось абсцисс является осью симметрии параболы.

3. ¡1 < y < +1; (0; 0) точка пересечения с осями, вершина параболы.

4. y = p2px функция возрастающая, так как: y0 = p2p ¸ 0: y00 < 0

2px

) график функции является выпуклым вверх. (рис.30)

Система координат, в которой уравнение параболы имеет вид: y2 = = px; называется канонической.

38

Рис. 30:

Определение. Директрисой (единственное число) параболы называется прямая, перпендикулярная оси параболы и находящаяся на расстоянии p2 от вершины параболы и не пересекающая параболу.

Теорема (Фокально-директориальное свойство параболы). Точка плоскости принадлежит параболе , расстояние от этой точки до фокуса равно расстоянию до директрисы.

¤ (рис.31)

Рис. 31:

Эксцентриситет параболы принимают равным единице

39