GeomCh

()2 )												p
y	= 2px; jP M0j = x0 +											2		q
= xj	+ pj			q		0 ¡									0 ¡ 0					p
								2					0					4			0	2
j 0	2 j							p		2			2			2		p2				p	2
F M0 = (x									)		+ y			= x			px +		+ 2px0 = (x +				) =
(()		p	2	= (x0			¡	p	2			2		¥
(x0 +		2 )						2 ) + y0

Уравнение касательной

В любой точке параболы можно провести касательную. Её уравнение

имеет вид: p(x ¡ x0) = y0(y ¡ y0); где (x0; y0) точка касания. ¤ (рис.32)

Рис. 32:

(x1

¡

x0; y1

¡

¢(y1+y0)

¡

2

¡

2 y2=2px

¡

x0)

¢

(y1 +

y0)¡¡¡¡¡¡!((x1

x0)(y1 + y0); y1

y0)¡¡¡¡¡!((x1

1

y0); 2p(x1

¡

x1¡x0

x0!x1;y0!y1

; p) направляющий вектор

x0))¡¡¡¡!(y1 + y0; 2p)¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡!(y0

x¡x0

=

y¡y0

¥

касательной.

y0

p

Теорема (Оптическое свойство параболы). Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от нее проходит по прямой, параллельной оси параболы.

¤ (рис.33)

Для доказательства теоремы достаточно показать, что: \BMC =

\AMF:

40

Рис. 33:

cos \AMF =

jy0(x0¡p2 )+py0j

jy0jj(x0+ p2 )j

j

y0

j

jx0+ p2 jp

=

jx0+ p2 jp

=

p

y02+p2

y02+p2

y02+p2

cos \BMC =?.

1) )

!¡ = (1

0) ) cos \

= py02

+p2 ¥

y = y0; ¡!

= (0

n

;

e

;

BMC

jy0j

Классификация кривых второго порядка

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему уравнению:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0; a211 + a222 + a233 6= 0:

Параллельный перенос

Осуществим параллельный перенос путем переноса начала координат в точку с координатами (x1; y1): Систему координат XOY (поменяли) !

X0O0Y 0:

x = x0 + x1; y = y0 + y1

a11(x0 +x1)2 +2a12(x0 +x1)(y0 +y1)+a22(y0 +y1)2 +2a13(x0 +x1)+2a23(y0 +

y1) + a33 = 0 )

a11x02 + 2a12x0y0 + a22y02 + 2(a11x1 + a12y1 + a13)x0 + 2(a12x1 + a22y1 + a23)y0 + a11x21 + 2a12x1y1 + a22y12 + 2a13x1 + 2a23y1 + a33 = 0

41

Рассмотрим СЛУ:
a11x1 + a12y1 = ¡a13	Система может:
½ a21x1 + a22y1 = ¡a23

1.иметь единственное решение (такие кривые центральные или кривые с единственным центром).

2.иметь бесконечное число решений (кривые с бесконечным числом центров).

3.не иметь решений (кривые без центра).

Замечание. Центр кривой второго порядка это в точности центр симметрии.

Пример. x2 = 1 ) x = §1 (рис.34)

Рис. 34:

Классификация кривых с единственным центром

½ a21x1

+ a22y1

= ¡a23

Из системы уравнений:

a11x1

+ a12y1

= ¡a13

¡a13 a12

a12 a13

a23

a22

a22 a23

±x

x1 =

¡

=

=

a11

a12

±

±

a21

a22

42

a11

¡a13

a11

a13

a21

a23

¡

a21

a23

±y

y1 =

¡

=

=

±

±

±

Рассмотрим свободный коэффициент нашей кривой (в системе

X0O0Y 0)

a11x21 + 2a12x1y1 + a22y12 + 2a13x1 + 2a23y1 + a33 = 0

(a11x1 + a12y1 + a13)x1 + (a21x1 + a22y1 + a23)y1 + a12x1 + a23y1 + a33 = 0

a13x1 + a23y1 + a33 = a13	±x	±y	+ a33 =	a13±x+a23±y+a33	±	=	¢
	±	+ a23 ±		±			±
Уравнение кривой второго порядка принимает вид: a11x02							+ 2a12x0y0 +

a22y02 + ¢± = 0:

Осуществим поворот системы координат на угол ® (против часовой

стрелки вокруг начала):

OXY ! O0X0Y 0 ! O0XY

x0

= X cos(®) ¡ Y sin(®)

y0

= Y cos(®) + X sin(®)

2

a

12(

X

®

) ¡

Y

sin(

® Y

cos(

®

) +

a11(X cos(®) ¡ Y sin(®))

+ 22

¢ cos(

))(

X sin(®)) + a22(Y cos(®) + X sin(®))

+

±

= 0

Найдем коэффициент при смешанном произведении XY :

2

2

¡2a11 cos(®) sin(®) + 2a12 cos

(®) ¡ 2a12 sin2

(®) + 2a22 cos(®) sin(®) = 0:

Разделим обе части равенства на "

2 cos (®)".

2

¡

a12 tan

(®) + (a22 ¡ a11) tan(®) ¡ a12 = 0

Данное уравнение относительно tan(®) имеет два действительных корня (при чем различных).

D = (a22 ¡a11)2 +4a212 > 0 (D =6 0 ) из того, что ± =6 0) ) существует такой угол ®; на который можно повернуть систему координат и при

этом коэффициент при xy становится равным 0.

Имеем: в системе координат O0XY наше уравнение примет вид:

¸1X2 + ¸2Y 2 + ¢± = 0 Осуществим поворот на угол ¡® (вернемся в

старую систему координат):

x = x0 cos(®) + y0 sin(®)

y = y0 cos(®) ¡ x0 sin(®)

(y0

cos(®)

x0 sin(®))2

+

¢

= 0

¸

(x0 cos(®) + y0 sin(®))2 + ¸

¡

1

cos2(®) + ¸

2

2

¸

±

(¸

sin

(®))x02 + 2(¸ cos(®) sin(®)

¡

cos(®) sin(®))x0y0 +

12

2

¢

1

2

(¸1 sin

(®) + ¸2 cos2(®))y02 +

± = 0:

a11 = ¸1 cos2(®) + ¸2 sin2(®)

< a22

= ¸1 sin2(®) + ¸2 cos2(®)

система 1)

8 a12

= cos(®) sin(®)(¸1

¡ ¸2)

:

43

a11 + a22 = ¸1 + ¸2

±

=

¯

a11

a12

¯ =

¸12 cos2(®) sin2(®) + ¸1

¸2 cos4(®) + ¸1¸2 sin4(®) +

a21

a22

2

2

¯

2

(®)

¯

2

2

2

4

4

(®))

¸2 cos

(®)¯sin

¯(¸1

¡

¸2)

cos

(®) sin

(®) = ¸1¸2(cos

(®) + sin

¡

2¯

2 ¡¯

2

2

(®))

2

= ¸1¸2

2¸1¸2 cos (®) sin (®) = ¸1¸2(cos

(®) + sin

¸1 и ¸2 являются корнями следующего уравнения:

¸2 ¡ ½¸ + ± = 0; где ½ = a11 + a22 след кривой второго порядка. Первое уравнение системы 1) умножим на cos(®) и прибавим ко вто-

рому, умноженному на sin(®):		¸2 sin2(®) cos(®) + (¸1 ¡
a11 cos(®)2 + a12 sin(®) = ¸1 cos3(®) +
¸2) cos(®) sin (®)
a11 cos(®) + a12 sin(®) = ¸1 cos(®)(cos2(®) + sin2(®))
a11 cos(®) + a12 sin(®) = ¸1 cos(®)
a12 tan(®) = ¸1 ¡ a11
tan(®) = ¸1¡a11 :
a12
Возможны следующие варианты: ± = ¸1	¸2	; ½ = ¸1 + ¸2

1.± > 0; ½ ¢ ¢ < 0

Так как ± > 0; то ¸1 и ¸2 имеют один и тот же знак. ) ½ имеет тот же знак, что и ¸1 и ¸2: Поскольку ½ ¢ ¢ меньше нуля, то ¢ имеет противоположный знак по отношению к ½; а значит и по отношению к ¸1 и ¸2 :

	x2		+		y2		= 1:
	¡¢
					¡¢
±¸1			±¸2
¡¢ > 0;						¡¢ > 0:
±¸1						±¸2

Так как ¢ и ¸1; ¸2 разных знаков да ещё есть “-” перед дробью, то наше уравнение принимает вид:

xa22 + yb22 = 1 эллипс.

2. ± > 0; ½ ¢ ¢ > 0:

± > 0; то у ¢; ½; ¸1; ¸2 знаки совпадают. Так как ½ ¢ ¢ > 0; то ½ и ¢ имеют одинаковый знак.

¡¢ < 0;						¡¢ < 0:
±¸1						±¸2
	x2		+		y2		= 1: Имеем:
¢				¢
	¡				¡
±¸1			±¸2

xa22 + yb22 = ¡1 мнимый эллипс.

44

3.± > 0; ¢ = 0 ) ¸1 и ¸2 положительны.

¸1x2 + ¸2y2 = 0 ) xa22 + yb22 = 0 две мнимые пересекающиеся прямые.

4.± < 0; ¢ = 0 ) ¸1 и ¸2 противоположных знаков.

Уравнение придет к виду: xa22 ¡ yb22 = 0 или (xa ¡ yb )(xa + yb ) = 0 две пересекающиеся прямые.

5.± < 0; ¢ 6= 0:

Так как ± < 0; то ¸1 и ¸2 противоположны по знаку. Без ограничения общности, можно заключить, что знаки ¢ и ¸1 совпадают.

	x2		+		y2			= 1: Имеем:
¢				¢
	¡				¡
±¸1				±¸2
¡¢						¡¢
±¸1			> 0;			±¸2 < 0: )
	x2		¡		y2			= 1:
¢					¢
	±¸¡ 1
				±¸2

xa22 ¡ yb22 = 1 гипербола.

Классификация кривых второго порядка, имеющих бесконечное число центров

± = ±x = ±y = 0 ) ¢ = 0:

Выполним поворот на угол ®; при котором коэффициент при xy (a12) превращается в ноль.

Наше уравнение примет вид:

¸½1X2 + ¸2Y 2 + 2b1X + 2b2Y + a33 = 0 b1 = a12 cos(®) + a23 sin(®)

b1 = ¡a12 sin(®) + a23 cos(®)

± = ¸1¸2 = 0; ) ¸1 = 0 или ¸2 = 0; так как если ¸1 = ¸2 = 0; то

кривая превращается в прямую.

¸2Y2

+ 2b1X + 2b2Y + a33 = 0

6

)

¯

b

b

a

¯

¡

¯

0

0

b1

¯ = b12¸2 = 0: Так как ¸2 = 0

¢ =

0

¸2

b2

b1 = 0:

¯

¯

¯

1

2

33

¯

Уравнение¯

примет¯ вид:

¸2Y2

¯+ 2b2Y + a33 =¯

0

b22

2

¡

b22

¸2(Y2 +

) + a33

= 0

¸2

¸2

45

Выполним параллельный перенос:

x0

= X

y0

= Y +

b2

¸2

Тогда наше уравнение примет вид:

b22

¸

y02 + c = 0

или

y02 =

¡

c

;

где

c = a

33

¡

:

¸2

¸2

2

Возможны следующие варианты:

1. ¡	c	> 0; y; c; ¸2 имеют различные знаки, то уравнение описывает
	¸2

параллельные прямые.

2. c = 0 ) y02 = 0 две совпадающие прямые.

3. ¡¸c < 0 две мнимые параллельные прямые.

2

Классификация кривых второго порядка, не имеющих центров

± = 0; ±x 6= 0; ±y 6= 0 ) ¢ 6= 0:

Выполним поворот на угол ®; при котором коэффициент при xy (a12)

превращается в ноль.

Наше уравнение примет вид:

¸1X2 + ¸2Y 2 + 2b1X + 2b2Y + a33 = 0

b1 = a12 cos(®) + a23 sin(®)

½ b1 =

a12 sin(®) + a23 cos(®)

2¡

± = ¡b1¸2 6= 0; b1 6= 0:

Уравнение примет вид:

¸2Y22 + 2b1X + 2b2Y + a33 = 0

b22

2

b22

¸2(Y2 +

) + 2b1X + a33

= 0

¸2

¸2

b22

2

a33¡

b22

¸2(Y2 +

) + 2b1(X + 2b1

¡

= 0

¸2

2b1¸2

Выполним параллельный перенос:

x0 = X + a33

¡

b22

2b1

2b1¸2

y0 = Y +

b2

¸2

Тогда наше уравнение примет вид:

P =

b1

¸

y02 + 2b

x0

= 0

или

y02 = 2P x0;

где

¡

парабола.

2

1

¸2

Пример. Определить тип кривой второго порядка. ¢; ±; ½ это то, что нужно найти.

x2 + 4xy + 5y2 ¡ 4x + 6y + 2 = 0: (x + 2y ¡ 2)2 + y2 + 14y ¡ 2 = 0

(x + 2y ¡ 2)2 + (y + 7)2 ¡ 51 = 0 эллипс.

46

x2 + 4xy2

+ 4y2 ¡ 2x ¡ 4y ¡ 3 = 0

(x + 2y) ¡ 2(x + 2y) ¡ 3 = 0 )

z2 ¡ 2z ¡ 3 = 0 ) z1;2 =

2§2 4

z1 = 3; z2 = ¡1

x + 2y = 3

½ x + 2y = ¡1

две параллельные прямые.

Определить каноническое уравнение и каноническую систему коор-

динат кривой второго порядка.

9x2 ¡ 16y2 ¡ 6x + 8y ¡ 144 = 0

¯ = 12

¯

¯

¢ =

¯

0 ¡16 4

144

¯

= 3

¯

0 ¡16 4

145

0 ¡4 1

=

¯

9

3

4

¯

¯

0

4

¯

¯

0 4

145

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¡

¡

¯

¯

¡

¯

¯

¡

¯

3

¯0

1

¯

¯

¯

¯

¯

12

¯

0

¯

¡4

¡

¯

= 12

2¯

2

¯

¯

¯

¯

1

12

¯

¡

¡

¯

¯

¯

¯

0

0

144

¯

¢

¯

¯

9

0

¯

¯

¡3

2

2

¯± =

0

16

=¯

¢ 4 = ¡144; ½ = ¡7:

¯

¡

¯

¡

1

¯

¯

+ a23

= 0

½

½ y1

=

1

½ a12x1

+ a22y1

16y1 + 4 = 0

4

a11¯ x1

+ a12y¯1

+ a13

= 0

9x1

3 = 0

x1

=

3

2

2+ ± = 0 ¸

2

+ 7¸ ¡ 14 = 0 ¸1;2 =

¡7§25

= ¡16 ¸2 = 9

x 2¡ ½¸

2

¸1

X

+

Y

= 1:

¡¢

¡¢

±¸1

±¸2

В случае гиперболы в качестве ¸1 нужно брать положительный ко-

рень.

В случае эллипса в качестве ¸1 выбираем наименьший по модулю

корень.

X2

¡

Y 2

= 1 Каноническое уравнение гиперболы. (рис.35)

42

32

tan(®) =

¸1¡a11 = 0

b x:

a12

y =

2x

2

§a

2

+ 8x ¡ 2y + 9 = 0

¡ 4xy + 5y

¯

¡

1

¡

¯

¡

¯

2 5

¯

¯

4

9

¯

2

2

¢ =

¯

2

¡2

4

1

¯

= 12 ± =

¯

¡

¯

= 6 ½ = 7

¡

¡

2 5

¯

¯

¸2

¯7¸ + 6 = 0 ¸

1

=¯

1 ¸

2

= 6

¯

¯

¯

¯

½

¡2x¯1 ¡ 2y1 + 4 = 0¯

x1 = ¡3

¡

2x1 + 5y1

¡

1 = 0

½ y1

= 1

x2

½¸

±

¡

X2¡

Y 2+

= 0

+

= 1:

¡¢

¡¢

±¸1

±¸2

47

Рис. 35:

X22 + 113Y 2 = 1 Каноническое уравнение эллипса. (рис.36)

Рис. 36:

tan(®) = 1¡¡22 = 12

5Поверхности второго порядка

Определение. Поверхность второго порядка множество точек пространства (R3;) координаты которых удовлетворяют уравнению:

48

xa22 + yb22

a11x2 +2a12xy+a22y2 +2a13xz+2a23yz+a33z2 +2a14x+2a24y+a34z+a44 = 0 (a211 + a212 + a222 + a213 + a223 + a233 =6 0)

Классификация поверхностей второго порядка

1. Эллипсоид: xa22 + yb22 + zc22 = 1 x = d jdj < a

yb22 + zc22 = 1 ¡ ad22 ; где 1 ¡ ad22 положительное число.

x2 + z2 = 1 Уравнение эллипса. jxj · a; jyj · b; jzj · c; ax + by +

a2d02 c2d02

cz + d = 0 (рис.37)

Рис. 37:

2.Мнимый эллипсоид: xa22 + yb22 + zc22 = ¡1

3.Однополостный гиперболоид: xa22 + yb22 ¡ zc22 = 1

= 1 + zc22 : Если z = const; то в сечении эллипс. (рис.38)

4.Двухполостный гиперболоид: xa22 + yb22 ¡ zc22 = ¡1 jzj > c xa22 + yb22 = ¡1 + zc22 (рис.39)

5.Конус: xa22 + yb22 ¡ zc22 = 0 (рис.40)

6.Мнимый конус: xa22 + yb22 + zc22 = 0

49