groups_lections (Множества и группы)

	A B C P Q	,		A B C P Q	,		A B C P Q	, ( 1. 11 )
e =			f =			g =
	A C B P Q		C B A P Q			B AC P Q

h =		A B C P Q	( 1. 12 )
		.
		A B C Q P

Возникает вопрос, исчерпываются ли десятью операциями (1.8), (1.9), (1.11), (1.12) все возможные преобразования симметрии треугольного диэдра? Это же есть вопрос о том, образуют ли десять указанных преобразований группу, потому что если нет иных, кроме этих десяти преобразований симметрии, то произведение любых преобразований не сможет дать какое-либо преобразование, не принадлежащее указанному множеству. Ответ на поставленный вопрос оказывается отрицательным, так как произведение каждого из поворотов d и d 2 на отражение h в плоскости ABC является преобразованием симметрии, не выявленным нами ранее:

	A BC PQ ABC PQ			ABC PQ		= d h = k , ( 1. 13 )
h d =				=
	A BC Q P B C APQ			B CAQP
h d2	ABC PQ ABC PQ			ABC PQ		= d2h = l. ( 1. 14 )
	=			=
	ABC Q P C AB PQ			C ABQP

Преобразования k и l называются зеркальными поворотами, так как они представляют собой произведение отражения в плоскости (как в зеркале) на поворот вокруг оси. Элемент симметрии фигуры, соответствующий операции зеркального поворота, представляет собой совокупность двух элементов (плоскости и оси), но его называют зеркально-пово- ротной осью и обозначают символом Sn, где n — порядок оси, показывающий, сколько раз рассматриваемый поворот уложится в полном повороте на 360 о. Преобразование k имеет обозначение S3 , а преобразование l можно обозначить симво-

лом S32 , но при этом важно иметь в виду, что операция S32 не является квадратом операции S3 (в частности k 2 ≠ l ), потому

что поворот на минимальный угол выполняется дважды, а отражение в плоскости ABC делается только один раз.

Особый случай зеркально-поворотных осей представляют оси S2 . Если выбрать за начало координат точку пересечения оси и плоскости элемента S2 , то при проведении операции S2 все координаты каждой точки фигуры (обладающей такой симметрией) изменяют свой знак. Это означает, что соединив прямой линией любую точку фигуры с началом координат, найдём на продолжении этой прямой на таком же расстоянии от точки начала симметричную точку той же фигуры. Точку пересечения оси и плоскости элемента S2 называют

центром симметрии или центром инверсии, а саму опера-

цию S2 называют инверсией и обозначают буквой i, чтобы подчеркнуть наглядный смысл операции S2 .

Замечание. Для операций (1.13), (1.14) зеркального поворота каждая составляющая зеркально-поворотной оси является вместе с тем и самостоятельным элементом симметрии треугольного диэдра (поворотная ось С3 и плоскость симметрии ABC ). Но в дальнейшем нам встретятся случаи, когда ни одна из двух составляющих зеркально-поворотной оси Sn (ни плоскость, ни ось) не является по отдельности элементом симметрии фигуры, и только их неразрывное сочетание является элементом симметрии. В таких случаях выполнение одной из операций, входящих в зеркальный поворот, ещё не приводит к совмещению фигуры с самой собой, а лишь сочетание двух операций даёт требуемое совмещение.

§ 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГРУПП.

Из определения групп логически вытекают утверждения, которые для удобства запоминания можно разбить на триаду свойств и триаду следствий. Доказываются эти свойства и следствия на основе триады аксиом (1.2), (1.3), (1.4), что гарантирует справедливость соотношений, выраженных в триадах, для любых групп.

21форумстудентов.рф22

1■. a –1* a = .	Триада свойств.
	( 1. 15 )

Равенство (1.15) отличается от третьей аксиомы (1.4) порядком следования элементов в композиции и означает, что элементом (a –1 ) –1, обратным для элемента a –1, является элемент a. Хотя это представляется очевидным, на очевидность нельзя полагаться, когда речь идёт о наиболее общих соотношениях, которые мы хотим применять к любым группам. Поэтому следует считать, что нет уверенности в справедливости равенства (1.15), пока оно не доказано с полной строгостью в полной общности, и нужно приступить к такому доказательству. Даже если мы отнесёмся к элементу, обратному элементу a –1, как к неизвестному, и обозначим его буквой x, аксиома 3* из определения 1.2 группы гарантирует, что в любой группе есть такой элемент x, удовлетворяющий соотношению (1.4)

a –1* x = .

( 1. 16 )

Справедлива цепочка равенств (обоснования указаны в ней):

a 2 a * (1.16) a * (a –1* x) 1 (a* a–1 ) * x 3 * x.

Подставляя полученное здесь выражение элемента a в композицию a –1* a, получим подтверждение равенства (1.15):

a –1* a = a –1* ( * x)	1	(a –1* ) * x	2	a –1* x (1.16) .
2■. * a = a .				( 1. 17 )

Равенство (1.17) отличается от второй аксиомы (1.3) порядком следования элементов в композиции и потому нуждается в доказательстве, которое можно записать в одной строке,

пользуясь уже доказанным свойством 1■ (1.15):

* a 3 (a* a–1 ) * a 1 a* (a –1* a) 1+ a * 2 a .

3■. Улюбого элемента группы есть только один обратный элемент. Существование хотя бы одного обратного элемента у любого элемента всякой группы обеспечено аксиомой 3* в определении1.2 группы. Чтобы доказать единственность такого обратного элемента, допустим противное, будто у неко-

торого элемента a группы есть в этой группе два различных обратных элемента x и y, удовлетворяющих аксиоме 3*:

a * x = ,	( 1. 18 )
a * y = ,	( 1. 19 )

и обнаружим ложность этого допущения с помощью равенств

		(1.19)		+
y 2	y * (1.18) y * (a * x) 1 (y * a) * x	+	* x 2		x .
		1

Применив здесь ссылку на равенства (1.19) и 1■, учитываем, что буквой y в (1.19) обозначен элемент a–1, обратный элементу a. Теперьоднозначностьсмысласимвола a–1 доказана.

	Триада следствий.
1▼. ε–1 = ε.	( 1. 20 )

Несмотря на кажущуюся очевидность равенства (1.20) оно тоже нуждается в строгом доказательстве, чтобы не возникали сомнения в применимости его к любым группам. Даже не выяснив, что представляет собой элемент, обратный нейтральному, мы знаем, что он существует (на основании аксиомы 3* групп) и что он единственен (по свойству 3■), а это позволяет записать на основании аксиом 2* и 3* два равенства:

ε–1* ε 2 ε–1, ε* ε–1 3 ε.

Так как левые части этих равенств совпадают (на основании свойства 1■ и аксиомы 3*), то совпадают и их правые части

ε–1 = ε.
2▼. В любой группе уравнения
a * x = b ,	( 1. 21 )
y * a = c	( 1. 22 )

однозначно разрешимы относительно элементов x и y. Действительно, вместе с элементом a в группе имеется обратный ему элемент a –1, притом единственный. И так как всякая упорядоченная композиция элементов группы есть элемент той же группы согласно требованию 0* об определённости бинар-

23форумстудентов.рф24

ной операции на группе (см. последний абзац § 2 гл. 1), то группе принадлежит элемент

a–1* b	(1.21)	a–1* (a * x) 1 (a–1* a) * x	1+	ε* x	2+	x ,
и это является решением
		x = a–1* b			( 1. 21 )
уравнения (1.21). Аналогичным образом композиция
c * a–1	(1.22)	(y * a) * a–1 1 y * (a* a–1)	3	y * ε	2	y
даёт решение		y = c* a–1			( 1. 22 )

уравнения (1.22). Частным случаем формул (1.21) – (1.22 ) являются формулы решения матричных уравнений в группе невырожденных матриц одинакового порядка (см. пример V в конце § 3 гл. 1). Заметим, что решения матричных уравнений по тому же принципу с помощью обратной матрицы можно находить и в тех случаях, когда не все матрицы в уравнении являются невырожденными.

3▼. Во всякой группе имеется только один нейтральный элемент. Существование хотя бы одного нейтрального элемента в группе заложено в третью аксиому. Единственность же нейтрального элемента легко доказывается от противного с помощью следствия 2▼. Если допустить существование двух различных нейтральных элементов ε и ε , удовлетворяющих требованию аксиомы 2* в комбинации с любым

элементом a группы
a * = a ,	a * = a ,

тоиз этих равенствнайдёмсогласно(1.21) и(1.21 ) выражения

= a–1* a , = a–1* a ,

доказывающие совпадение (единственность)

= .

Элемент, обратный композиции элементов группы.

Конечно, любая композиция элементов группы равна некоторому одиночному элементу той же группы, для которо-

го можно найти обратный. Но ценна возможность найти элемент, обратный композиции, оперируя именно с входящими в композицию элементами. Легче всего решить такую задачу для композиции двух элементов. Обозначим как неизвестное x, элемент

(a * b) – 1 = x ,

( 1. 23 )

обратный композиции a * b. На основании аксиомы 3* можно представить соотношение (1.23) в виде

(a * b) * x = ,

а затем решать это уравнение, последовательно применяя аксиомы и свойства групп:

		$
(a * b) * x 1	a	* (b * x) = 2 (b * x) = a–1*			2	a–1,
		$	x = b–1* a–1.
Итак:	b * x = a–1 2
		(a * b) – 1 = b–1* a–1.			( 1. 23 )
В справедливости равенства (1.23 ) можно убедиться
непосредственной проверкой:
(a * b) * (b–1* a–1) 1		a * (b * b–1 ) * a–1 3		a * * a–1 = a* a–1 = .

Таким же способом проверяется справедливость обобщённого равенства для любого числа элементов в композиции:

(a * b * …* p * q)– 1 = q–1* p–1 * …* b–1* a–1. ( 1. 24 )

Общее свойство таблиц Кэли конечных групп.

Теорема 1.1. В любом столбце и любой строке таблицы Кэли конечной группы каждый элемент группы встречается один и только один раз.

При перечислении элементов группы обычно ставят на первое место нейтральный элемент: ε= a1 . Группа Gn порядка n состоит из n элементов:

a1 = ε, a2 , a3 , … , an .

В k – ом столбце таблицы Кэли этой группы находятся следующие композиции элементов:

25форумстудентов.рф26

a1 * ak , a2 * ak , … , ai * ak , … , an * ak .

( 1. 25 )

Докажем, что в k – ом столбце таблицы найдётся элемент aj в качестве представителя любого элемента группы Gn (1 j n). Так как ak принадлежит Gn , то и обратный элемент ak1 при-

надлежит Gn (по аксиоме 3*). Композиция элементов aj * ak1 = ai

тоже представляет элемент, принадлежащий группе Gn . Из последнего равенства найдём согласно 2▼ (1.22), (1.22 )

aj = ai * ak ,

и это означает, что элемент aj находится среди композиций (1.25), представляющих элементы из k – ого столбца таблицы Кэли. Итак, мы доказали, что любой из n элементов группы Gn находится в k – ом столбце таблицы Кэли этой группы. Но так как в столбце ровно n клеток, то невозможно, чтобы какой-ли- бо элемент встретился в k–ом столбце более одного раза, ибо в таком случае хотя бы для одного элемента группы не нашлось бы места в k–ом столбце в противоречии с доказанным.

Аналогично доказывается теорема 1.1 для строк таблицы Кэли.

Задание № 1. Доказать теорему 1.1 для строк таблицы Кэли конечной группы.

Задание № 2. Найти все преобразования симметрии правильного треугольника и убедиться с помощью таблицы Кэли в полноте множества этих преобразований.

§ 6. ИЗОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП.

Рассмотрим преобразования симметрии молекулы H2 O, строение которой изображено на рис. 1.3. В конце § 4 после формул (1.19) было сказано, что если геометрическая фигура имеет поворотные оси различных порядков, то ось наибольшего порядка называется главной осью симметрии. Теперь к этому надо добавить, что главную ось симметрии фигуры при-

нято считать осью Z координатной системы OXYZ, связанной с фигурой, а плоскости симметрии, проходящие через главную ось, называть вертикальными плоскостями и помечать нижним символом V. Посравнениюс этимиобщепринятымисоглашениями надо считать второстепенным обстоятельством то, что главная ось на рис. 1.3 изображена не в вертикальном положении, ради удобства зрительного восприятия схемы строения молекулы воды и словесного описания свойств симметрии её, а вертикальная плоскость VXZ , проходящая через оси

Z и X, изображена в горизонтальном положении.

Y

VYZ	VXZ
	O
H	X

H

C2 = Z

Рис. 1.3

Главная ось симметрии молекулы H2O является поворотной осью C2 второго порядка. При повороте молекулы вокруг этой оси происходит обмен местами атомов H водорода как результат обмена местами правой и левой сторон всей фигуры, что в частности заставляет различать правую и левую сторонытакжевшарике, изображающематомкислорода. Признав же существенным обмен правой и левой сторон фигуры в целом, надо признать существенным и обмен местами её верхней и нижней сторон как различение верхней и нижней по-

27форумстудентов.рф28

ловин в шариках, обозначающих атомы кислорода и водорода. В отличие от операции C2 поворота, отражение в плоскости симметрии VYZ заключается только в обмене правой и ле-

вой сторон фигуры, не затрагивающем взаимного положения верха и низа, а отражение в плоскости симметрии VXZ заклю-

чается только в обмене верха и низа, не затрагивающем взаимного положения правой и левой сторон фигуры. Преобразования симметрии молекулы H2O будем обозначать теми же символами, что и указанные здесь элементы симметрии. Добавив к этим трём преобразованиям тождественное преобразование I, убедимся в том, что четыре преобразования

		I, VXZ ,		VYZ , C2					( 1. 26 )
образуют группу симметрии молекулы H2O. Для этого пост-
роим таблицу Кэли, выя-
сняя результат перемно-					I		VXZ	VYZ	C2
жения преобразований по				I	I		VXZ	VYZ	C2
тем указанным выше при-
			VXZ		VXZ		I	C2	VYZ
знакам, которые характе-
			VYZ		VYZ		C2	I	VXZ
ризуют	каждое преобра-
				C2	C2		VYZ	VXZ	I
зование. Например, резу-
льтатом	последователь-					( 1. 27 )
ного выполнения		преоб-
разований C2 VXZ		будет преобразование VYZ . Действительно,
выполняемое в первую очередь отражение VXZ								поменяет мес-

тами верх и низ, а затем поворот C2 вернёт в прежнее положение верх и низ и поменяет местами правое и левое. Результат окажется тем же, как при отражении VYZ : C2 VXZ = VYZ . В таб-

лице (1.27) нетрудно увидеть внешнее формальное сходство с таблицей Кэли (1.6) из § 4 для группы симметрии ромба. Это наводит на мысль построить отображение элементов (1.5), (1.5 ) группы ромба на элементы (1.26) группы (1.27):

f (ε) = I , f (a) = VXZ ,

f (b) = VYZ , f (c) = C2 , ( 1. 28 )

Внеся в (1.27) обозначения (1.28), мы выявим сходство таблиц (1.6) и (1.27) особенно ясно. Рядом с таблицей (1.29), представляющей таблицу (1.27) в обозначениях (1.28), помещена таблица (1.6). Если во всех клетках таблицы (1.29) мысленно отброситьсимвол f отображения(1.28), тополучим полноесо-

ε

a

b

c

f (ε)

f (a)

f (b)

f (c)

ε

ε

a

b

c

f (ε)

f (ε)

f (a)

f (b)

f (c)

a

a

ε

c

b

f (a)

f (a)

f (ε)

f (c)

f (b)

b

b

c

ε

a

f (b)

f (b)

f (c)

f (ε)

f (a)

c

c

b

a

ε

f (c)

f (c)

f (b)

f (a)

f (ε)

( 1. 6 )

( 1. 29 )

впадение с таблицей (1.6). Геометрические фигуры (рис. 1.1) ромба и молекулы H2O (рис.1.3) различны, но алгебраическое сходство таблиц их групп симметрии вскрывает родственность свойственных им преобразований симметрии (как обмена верхней и нижней, правой и левой частей фигуры). Это алгебраическое сходство имеет лаконичное и ёмкое выражение, позволяющее сделать весьма важное обобщение: в таблице (1.29) в клетке, расположенной в столбце f (b) и строке f (a),

находится элемент, равный композиции f (a) * f (b), но этот элемент является образом f (c) элемента с, который в группе

(1.6) является композицией с= a * b. Равенство
f (a) * f (b) = f (a * b) ,	( 1. 30 )

выполняется для любых элементов в таблицах (1.6) и (1.29), и именно в этом коренится причинасовпадения таблицы (1.29) с таблицей (1.6) при отбрасывании символа f отображения группы G4 симметрии ромба на группу G4/ симметрии молеку-

лы H2O. Равенство (1.30) выражает ту особенность соответствия (1.28) между элементами двух групп, устанавливаемого

отображением f (G4) = G4/ , что композиции a * b любых элементов группы G4 соответствует в группе G4/ такой элемент– об-

29форумстудентов.рф30

раз f (a * b), который совпадает с композицией f (a) * f (b) образов элементов a и b. Грубо говоря, при построении композиции элементов в одной группе мы будем получать в другой группе композицию образов тех же элементов. Эту особенность отображения f принято называть сохранением операции, однако важно подчеркнуть, что сохранение операции не следует понимать буквально и может оказаться, что операции умножения элементов в группе– прообразе соответствует операция сложения элементов группы– образа. В последнем случае всё равно будет иметь место алгебраическое сходство групп при выполнении условия (1.30). Это сходство алгебраического строения групп принято обозначать термином изоморфность (одинаковость формы), а отображение одной группы на другую, выявляющее одинаковость их алгебраической структуры, называют изоморфным отображением, или просто изоморфизмом. Понятие изоморфизма применимо не только к конечным группам, но и к группам бесконечным.

Определение 1.8. Изоморфным отображением (изоморфизмом) называется взаимно однозначное

отображение f (G ) = G группы G на группу G , при котором для любых элементов a и b из группы G выполняется условие

f (a) * f (b) = f (a * b) , a, b G .

( 1. 31 )

Определение изоморфизма будет играть очень важную роль и потому для облегчения запоминания его полезно выделить три содержащихся в нём требования:

1)изоморфизм есть отображение на, или сюръекция (см. определение 0.2 в §1 вводной главы);

2)изоморфизм есть взаимно однозначное отображение;

3)при изоморфизме для любых элементов группы выполняется условие (1.31) сохранения операции.

Общие свойства изоморфизмов.

На основании определения 1.8 изоморфных отображений и общих свойств групп можно доказать общие свойства изоморфизмов.

Теоре ма 1. 2 . Если f (G ) = G — изоморфное

отображение группы G на группу G , то справедливы три следующих утверждения.

1) f (ε) = ε

( 1. 32 )

— образ нейтрального элемента ε группы G является нейтральным элементом ε группы G . Действительно, для любого элемента a группы G имеет место цепочка равенств

a = f (a) 2 f (a * ε) (1.31) f (a) * f (ε) = a * f (ε) ,

а равенство a = a * f (ε) означает, что элемент f (ε) играет роль нейтрального элемента ε в группе G . По следствию же 3▼ в любой группе нейтральный элемент единственный.

2) { f (a)}– 1 = (a )–1 = f (a–1)

( 1. 33 )

— обратным для элемента f (a) = a является элемент f (a–1) — образ элемента a – 1. Действительно, в силу доказанного свойства 1) изоморфизмов имеем

ε = f (ε) 3 f (a * a–1) (1.31) f (a) * f (a–1) = a * f (a–1) ,

а равенство ε = a * f (a– 1) означает, что элемент f (a– 1) является обратным для элемента f (a) = a . Единственность же обратного элемента доказана свойством 3■ (см. (1.18), (1.19)).

3) Отображение f –1(G ) = G, обратное изоморфному отображению f (G) = G , также является изоморфным. Соглас-

но определению 1.8 изоморфизмов и определению 0.4 (в § 2

вводной главы) взаимно однозначного отображения (биекции), для отображения f –1, обратного изоморфизму, выполнены два первых требования изоморфизма (отображение на и взаимная однозначность). Поэтому остаётся доказать только

выполнение условия (1.31) сохранения операции для отображения f –1:

f –1(a * b ) = f –1(a ) * f –1(b ) .

( 1. 34 )

Учитывая, что при изоморфизме f (G ) = G равенство (1.31) выполняется для любых элементов a, b G, получим

31форумстудентов.рф32

f –1(a * b ) = f –1{ f (a) * f (b)} (1.31) f –1{ f (a * b)} = ( f –1 f ) (a * b) =

= I (a * b) = a * b = f –1(a ) * f –1(b ) ,

что и требовалось доказать.

§ 7. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ.

Группы, которые могут быть связаны изоморфным отображением, обладают настолько существенным сходством строения, что их можно признать одинаковыми, хотя и с ого-

воркой — одинаковы с точностью до изоморфизма. Конеч-

но, признание такой одинаковости сопряжено с отвлечением от конкретных особенностей групп. Считая одинаковыми с точностью до изоморфизма группу симметрии ромба и группу симметрии молекулы H2O, мы отвлекаемся от геометрических форм этих фигур. Больше того, даже отмеченная выше геометрическая общность этих групп преобразований пространства, заключающаяся в обмене местами правой и левой, верхней и нижней сторон фигур, может утратить своё значение, если мы станем рассматривать группу подстановок (1.5), (1.5 ) множества из четырёх элементов A, B, C, D, отождествлённых чисто условно с точками вершин ромба в начале § 4 гл. 1. Отказавшись от такого отождествления, мы вообще отбросим какую-либо связь с геометрией, сохранив тем не менее таблицу (1.6) как выражение существенной связи между подстановками абстрактного множества. Именно наличие изоморфизма группы симметрии ромба и группы подстановок (1.5), (1.5 ) позволило воспользоваться подстановками для исследования свойств симметрии ромба. В этом параграфе будет показано, как можно выявить все логически возможные типы групп четвёртого порядка, не связывая их с какими-либо конкретными образами, а пользуясь только самыми общими свойствами групп. Группы, построенные с такой степенью отвлечённости, абстрагирования, называются абстрактными группами.

Абстрактная группа первого порядка
состоит из одного единственного элемента, ко-	G1	ε
торый может быть только нейтральным, чтобы не	ε	ε
нарушать требование аксиомы 2* из определения	(1. 35 )
групп. При этом оказываются выполненными и

все остальные требования определения группы (см. §1 и § 2 гл. 1), а таблица Кэли такой абстрактной группы имеет вид (1.35).

	Абстрактная группа второго порядка
	состоит из элементов, один из	которых по не-
			G2	ε	a
	обходимости (по аксиоме 2*)	нейтральный, а
			ε	ε	a
	другой отличен от нейтрального. В силу общего
			a	a	ε
	свойства таблиц Кэли (см. теорему 1.1) есть
	только одна возможность заполнить такую та-		( 1. 36 )
	блицу для группы G2 (см. (1.36)).

Абстрактнаягруппатретьегопорядкасостоитиз эле-

ментов, один из которых по необходимости нейтральный, а второй и третий отличны от нейтрального и друг от друга. Таблица Кэли группы G3 может быть заполнена только одним единственным способом (1.37), так как в

G3	ε	a	b
ε	ε	a	b
a	a	b	ε
b	b	ε	a

	её строке a элемент b может быть поставлен	( 1. 37 )
	только в столбце a, после чего оставшиеся
	клетки заполняются однозначно.
	Для абстрактных групп четвёртого порядка запол-

нение таблиц Кэли уже не будет однозначным, и исследование этой проблемы

ε

a

b

c

представляет теоре-

ε

a

b

c

ε

ε

a

b

c

тический

интерес.

ε

ε

a

b

c

a

a

c

b

Выполним такое ис-

a

a

c

b

следование,

рассма-

b

b

c

b

b

c

тривая с исчерпыва-

c

c

b

c

c

b

ющей систематично-

1-ая заготовка

2-ая заготовка

стью все возможнос-

33форумстудентов.рф34

( 1. 38 )

ти построения таблиц Кэли четвёртого порядка. В силу аксиомы 2* (1.3) и свойства 2■ (1.17) первый столбец и первая строка таблицы заполняются однозначно, ав клеткена пересечениистрокиa истолбцаa можетнаходитьсяодиниз трёх элементов ε, b, c. Поставив для начала в эту клетку нейтральный элемент, получим первую заготовку таблицы, позволяющую заполнить строку a и столбец a единственным способом.

После этого в первой заготовке в клетку на пересечении строки b и столбца b можно поставить один из двух элементов ε, a. Поставив туда ε, получим 2-ую заготовку, после

чего построение та-

I

ε

a

b

c

блицы

завершится

II

ε

a

b

c

ε

ε

a

b

c

единственным воз-

ε

ε

a

b

c

a

a

ε

c

b

можным

способом.

a

a

c

b

b

b

c

ε

a

Обозначим группу с

b

b

c

a

ε

c

c

b

a

ε

такой таблицей сим-

c

c

b

ε

a

волом I в заглавной

клетке. Далее подставим в 1-ой заготовке в клетку на пересечении строки b и столбца b элемент a, после чего построение таблицы тоже завершитсяединственным способом, и группу с такой таблицей мы обозначим символом II. На этом все возможности заполнения первой заготовки таблицы будут исчерпаны.

Следующим шагом будет замена первой заготовки такой таблицей, в которой на пересечении строки a и столбца a стоит элемент

III	ε	a	b	c
ε	ε	a	b	c
a	a	b	c	ε
b	b	c	ε	a
c	c	ε	a	b

IV	ε	a	b	c
ε	ε	a	b	c
a	a	c	ε	b
b	b	ε	c	a
c	c	b	a	ε

b. В этом варианте заполнение строки a и столбца a завершится единственным возможным способом, после чего и для последних четырёх клеток останется только одна возможность заполнения, приводящая к таблице III. Наконец, заменим пер-

вую заготовку такой таблицей, в которой на пересечении строки a и столбца a стоит элемент c. В этом варианте заполнение остальных клеток таблицы тоже завершится единственным способом, давая таблицу IV.

Итак, мы исчерпали все возможности построения таблиц Кэли групп четвёртого порядка, допустимые аксиомами и общими свойствами групп. Это означает на первый взгляд, что возможны только четыре типа таких групп. Однако в действительности число возможностей следует признать меньшим, поскольку таблицами II, III, IV представлены изоморфные группы. Даже при внешнем осмотре видно, что группа с таблицей I выделяется такой особенностью, которой не обладают остальные группы: в ней каждый элемент является обратным самому себе. Для обнаружения же сходства строения оставшихся трёх групп построим изоморфные отображения групп II и IV на группуIII. Начнём с отображения f (II ) = III.

Подсказкой для построения этого отображения послужит то обстоятельство, что при изморфизме нейтральный элемент группы прообразов всегда отображается в нейтральный элемент группы образов (см. (1.32)), а среди остальных элементов в группе II только элемент a обратен самому себе, тогда как в группе III это свойственно элементу b. Следовательно, нужно отобразить a в b. И если дополнить это отображением b в a, то получим взаимный обмен двух элементов. Тогда искомое отображение f (II ) = III выразится подстановкой

a bc

f (II ) = III = b a c .

Однакопокаещёнетуверенностивтом, чтоподстановка(1.38) самапосебеобеспечитизоморфностьотображения. Да, онаобладает двумя первыми признаками изоморфизма групп, отмеченными после формулы (1.31), но будет ли при этом выполняться само равенство (1.31) для любых элементов– прообразов, мы не можем утверждать без соответствующей проверки. Кроме того, нам нужно не всякое изоморфное отображение, а

35форумстудентов.рф36

( 1. 39 )

именно то, которое отобразит таблицу II в таблицу III. Поэтому, выполняя отображение (1,38) мы должны будем расположить элементы– образы в заглавной строке и заглавном столбце в таком же порядке, в каком они расположены в таблице III, а обеспечение условия (1.31) сохранения операции “навязать принудительно”, оправдывая, так сказать, этим поставленную цель получения нужного нам изоморфизма. Если же в результате окажется, что достаточно и самогó преобразования (1.38), то мы ничего не теряем, проверив доказательно этот результат.

Для наглядности выполнения преобразований будем записывать в каждой клетке таблицы (1.39) происхождение элемента – об-

раза в соответствии с подстановкой (1.38). По аксиоме 2* и

	свойству
			ε= f (ε)	a = f (b)	b = f (a)	c = f (c)
	2■ пер-
		ε= f (ε)	ε= f (ε)	a = f (b)	b = f (a)	c = f (c)
	вый сто-
		a = f (b)	a = f (b)	b = f (a)	c = f (c)	ε= f (ε)
	лбец та-
	блицы	b = f (a)	b = f (a)	c = f (c)	ε= f (ε)	a = f (b)
	совпада-	c = f (c)	c = f (c)	ε= f (ε)	a = f (b)	b = f (a)

ет с заглавным

столбцом и первая строка совпадает с заглавной строкой. Но для заполнения остальных клеток таблицы будем сочетать отображение (1.38) с требованием (1.31) сохранения операции. Так, произведение элементов a a = f (b) f (b) должно равняться образу произведения bb, определённому по таблице II: f (bb) = f (a) = b. Аналогично найдём элементы– образы для заполнения остальных клеток:

ab	(1.38)	f (b) f (a)	(1.31)	f (ba)	II	f (c)	(1.38)	c ;
ac	(1.38)	f (b) f (c)	(1.31)	f (bc)	II	f (ε)	(1.38)	ε;
ba	(1.38)	f (a) f (b)	(1.31)	f (ab)	II	f (c)	(1.38)	c ;
bb	(1.38)	f (a) f (a)	(1.31)	f (aa)	II	f (ε)	(1.38)	ε;
bc	(1.38)	f (a) f (c)	(1.31)	f (ac)	II	f (b)	(1.38)	a ;
ca	(1.38)	f (c) f (b)	(1.31)	f (cb)	II	f (ε)	(1.38)	ε;

cb	(1.38)	f (c) f (a)	(1.31)	f (ca)	II	f (b)	(1.38)	a ;
cc	(1.38)	f (c) f (c)	(1.31)	f (cc)	II	f (a)	(1.38)	b .

Теперь построение таблицы (1.39) обосновано с полной строгостью. И легко видеть, что если из всех клеток в (1.39) убрать символы отображения f (ε), f (b), f (a), f (c), то таблица (1.39) совпадёт с таблицей III.

Задание № 3. Построить изоморфное отображение

φ(IV ) = III =		a bc	( 1. 40 )
		b c b

группы с таблицей IV на группу с таблицей III.

Итак, мы доказали на абстрактном уровне, что возможны только два типа принципиально различных групп четвёртого порядка. Абстрактную группу с таблицей I принято обозначать символом G4(1) и называть клейновской группой в

честь математика Клейна (1849-1925). Абстрактную группу с таблицей III обо-

значают

симво-

G4(1)

ε

a

b

c

G4(2)

ε

a

b

c

лом G4(2) . Харак-

ε

ε

a

b

c

ε

ε

a

b

c

терная

особен-

a

a

ε

c

b

a

a

b

c

ε

ность

группы

b

b

c

ε

a

b

b

c

ε

a

G4(2)

заключается

c

c

b

a

ε

c

c

ε

a

b

в её

цикличнос-

( 1. 41 )

( 1. 42 )

ти,

о чём речь

впереди. Какие бы конкретные группы четвёртого порядка ни встретились нам при исследованиях природы и теоретических построениях, они окажутся изоморфными одной из абстрактных групп G4(1) или G4(2) .

Дальнейшее развитие теории групп будет выполняться на основе именно абстрактных групп. И так как речь пойдёт об общих свойствах групп, то зачастую не придётся даже выделять тот или иной тип абстрактных групп, например, не различатьконечныеибесконечныеабстрактныегруппы.

37форумстудентов.рф38

Глава 2.

СТРУКТУРА ГРУПП

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДГРУППЫ. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ ПОДГРУППЫ.

В любой группе порядка выше первого найдётся часть (подмножество) которая удовлетворяет требованиям определения группы и следовательно сама является группой. Во всяком случае в любой группе по определению есть нейтральный элемент, а он сам является группой G1 первого порядка (см. таблицу (1.35)). Конечно, интерес представляют более содержательные случаи, когда подмножество-группа содержит больше одного элемента. Надо обратить внимание на то, что когда речь идёт о подмножестве-группе определённой группы G, то подразумевается, что операция на этом подмножестве, есть операция, определённая на самой группе G.

Определение 2.1. Подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если само подмножество H является группой относительно операции, определённой на группе G.

Обычно в перечень подгрупп группы G включают и саму группу G считая в широком смысле, что подгруппа H не только содержится в группе G (H G), но может и совпадать с группой G (H G).

Примеры.

1) Множество Z целых чисел является подмножеством группы R всех вещественных чисел и образует группу относительно операции сложения (групповой операции на R — см.

§3 гл.1). Поэтому Z — подгруппа группы R.

2)Множество P положительных вещественных чисел тоже является подмножеством множества R всех веществен-

ных чисел и тоже образует группу, но с операцией умножения (в отличие от аддитивной группы R). Поэтому P не является подгруппой группы R, но является подгруппой мультипликативной группы R \ 0 (множества вещественных чисел, из которого исключён ноль — см. §3 гл. 1).

На первый взгляд может показаться, что для ответа на вопрос, является ли некоторое подмножество группыG её подгруппой, нужно убедиться в выполнении для этого подмножества всех четырёх требований определения группы (0* — определённость на данном подмножестве бинарной алгебраической операции и выполнение аксиом 1*, 2*, 3* группы — см. последний абзац в § 2 гл. 1). Однако в действительности достаточно провести проверку только по двум требованиям, поскольку два другие автоматически окажутся выполненными благодаря тому, что рассматривается группа не как обособленный объект, а как часть другой группы.

Теорема 2.1 (о достаточных признаках под-

группы). Для того чтобы подмножество H группы G было подгруппой группы G, достаточно выполнения двух условий:

1)вместе с любыми двумя элементами hi , hk H подмно-

жеству H принадлежит композиция hi * hk этих элементов (это требование 0* из определения группы);

2)вместе с любым элементом h H подмножеству H принадлежит обратный элемент h –1 (это аксиома 3* группы).

Так как аксиома 1* определения группы выполняется для композиций любых элементов группы G, то она заведомо выполняется и для всех тех элементов, которые входят в под-

множество H G. Поэтому не нужно проверять выполнение аксиомы 1* на подмножестве H. Выполнение же аксиомы 2* на подмножестве H G логически вытекает из выполнения обоих достаточных условий, указанных в теореме 2.1. Согласно второму условию вместе с любым элементом h H подмножеству H принадлежит обратный элемент h –1, а согласно

39форумстудентов.рф40