Пример №10.
Дано: Е1=100 В, Е2=150 В, E3=60 B, UAD=50 B, UHD=110 B, R1=30 Ом, R2=20 Ом, R3=100 Ом (рис. 11).
Определить: показание амперметра А.
А А В С D E G F H R1 R2 R3
E1
E2
E3
UAD
UHD
I1
IA
I2
Рис. 11.
Решение.
Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками A, B, C, D, E, F, G, H (см. рис. 11).
Как видно из рис. 11 точки A, D, E, H – места соединения трех ветвей, следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки B, C узлами не являются, следовательно, элементы R1, E1, R2 включены последовательно. Точки G, H также узлами не являются, следовательно, элементы E2, R3, Е3 включены последовательно.
Выберем направление неизвестных токов I1, I2, IА произвольным образом (как показано на рис. 11).
Определим силу тока I1 по обобщенному закону Ома для участка цепи AD, т.е. по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС Е1:
-
в данном выражении знак «+» ставится
перед ЭДС и падением напряжения, если
их направления совпадают
с выбранным направлением тока, в противном
случае берется знак «-».
Аналогично определим силу тока I2 для участка цепи DН:
-
знак «-» говорит о том, что мы неправильно
выбрали истинное направление тока I2
(на рис. 11 это направление показано
пунктиром). Истинное
(физическое) направление тока I2
от потенциала Н к потенциалу D
(на
рис. 11 это направление показано сплошной
линией).
Показания амперметра IA определим по первому закону Кирхгофа в узле D для истинных значений и направлений токов:
Следовательно, амперметр А покажет 5 А.
Пример №11.
Дано: Е1=100 В, Е2=150 В, E3=330 B, R1=30 Ом, R2=20 Ом, R3=100 Ом, R4=20 Ом, I1 = 3 A, I2 = 4 A (рис. 12).
Определить: показание амперметра А и вольтметра V, построить потенциальную диаграмму для контура KHFGDCBAK.
А А В С D E G F H R1 R2 R3
E1
E2
E3
UAD
UKD
I1
IA
I2 K R4
V
Рис. 12.
Решение.
Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками A, B, C, D, E, F, G, H, K (см. рис. 12).
Как видно из рис. 12 точки A, D, E, K – места соединения трех и более ветвей, следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки B, C узлами не являются, следовательно, элементы R1, R2, E1 включены последовательно. Точки G, F, H также узлами не являются, следовательно, элементы E2, R3, Е3, R4 включены последовательно.
Запишем первый закон Кирхгофа для узла D:
Следовательно, амперметр А покажет 1 А.
Определим падение напряжения UAD из обобщенного закона Ома для участка цепи AD:
Определим падение напряжения UKD из обобщенного закона Ома для участка цепи KD:
Знак «-» говорит о том, что мы неправильно выбрали истинное направление падения напряжения UKD (на рис. 12 это направление показано пунктиром). Истинное (физическое) направление падения напряжения UDК от потенциала D к потенциалу К (на рис. 12 это направление показано сплошной линией).
Определим
показания вольтметра V
по второму закону Кирхгофа, выбрав обход
контура KHFGDCBAK
против часовой стрелки. Считаем, что
вольтметр V
с участками KD
и DA
как бы создает «замкнутый» контур,
следовательно:
где UAK = UV, поэтому вольтметр покажет 550 В.
Показание вольтметра Vможно также определить через электрические потенциалы:
пусть D=0, тогдаC=D +E1,
B = C + R2 I1 = D + E1 + R2 I1,
A = B + R1 I1 = D + E1 + R2 I1+ R1 I1=0+100+203+303=250 B,
пусть D=0, тогдаG=D –E2,
F = G – R3 I2 = D – E2 – R3 I2,
H = F + E3 = D – E2 – R3 I2 + E3,
K = H – R4 I2 = D – E2 – R3 I2 + E3 – R4 I2 =0–150–1004+330–204=–300 B.
Следовательно, показание вольтметра Vравно:
UAK=A–K= 250– (– 300) = 550 В.
Построение потенциальной диаграммы. Потенциальной диаграммой называется распределение электрических потенциалов вдоль участков цепи замкнутого контура -(R). Выберем положительный обход контура против часовой стрелкиKHFGDCBAK. Для построения потенциальной диаграммы предполагаем, что один из потенциалов (любой) замкнутого контура равен нулю.
Пусть K=0, тогдаH=K +R4I2=0+204=80B,
F=H –E3=80 – 330 = –250B,
G = F + R3 I2 = –250 + 1004 = 150 B,
D = G + E2 = 150 + 150 = 300 B,
С = D + E1 = 300 +100 = 400 B,
B = C + R2 I1 = 400 + 203 = 460 B,
A = B + R1 I1 =460 + 303 = 550 B,
K=A–UAK= 550 – 550 = 0B.
ПРИМЕЧАНИЕ 1. В данных выражениях значение ЭДС Е берется со знаком «+», если обход контура совпадает с направлением Е, так как ток в источнике ЭДС течет от более низкого потенциала к более высокому (от «-» к «+» - это указывается стрелкой внутри источника Е).
В противном случае берется знак «-».
ПРИМЕЧАНИЕ 2. В данных выражениях значение падения напряжения берется со знаком «+», если обход контура направлен против направления тока. В противном случае берется знак «-».
Воспользовавшись найденными числовыми значениями электрических потенциалов построим потенциальную диаграмму (рис 13).
В
600
A
550
460
B
400
C
1
E1
300
D
UAK
V
200
E2
G
150
Н
R
Ом
К
80
К
R3
R2
R1
0
20
120
140
R4
E3
100
50
170
-200
2
-250
F
В,
(-
)
Рис. 13.
ПРИМЕЧАНИЕ 3. Как видно из потенциальной диаграммы величины сопротивлений R4, R3, R2, R1 откладываются не от начала координат, а согласно обходу контура.
Угол наклона 1, 2 кривых (C-A), (К-Н), прямо пропорционален соответственно токам I1 и I2, так как:
tg
1
~
tg
2
~
Так как ток I2 больше I1 следовательно угол 2 больше угла 1.