2. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока методом контурных (фиктивных) токов
Данный метод базируется на законах Кирхгофа и наиболее удобен при расчетах электрических цепей, где число независимых контуров меньше числа электрических узлов.
При решении задач предполагается, что в независимых контурах электрической цепи протекают свои контурные токи, которые будем в дальнейшем обозначать для первого, второго и т.д. контуров соответственно I11, I22 и т.д.
Затем составляются линейные уравнения относительно выбранных неизвестных контурных (фиктивных) токов, согласно второму закону Кирхгофа. Количество составленных независимых линейных уравнений должно соответствовать количеству неизвестных контурных токов. Решая полученную систему уравнений относительно неизвестных контурных токов, определяем неизвестные (реальные) токи I1, I2 и т.д.
Применение метода контурных токов рассмотрим на конкретном числовом примере.
Пример №12.
Дано: Е1=150 В, Е2=50 В, Е3=120 В, Е4=20 В, Е5=150 В, R1=9 Ом, R2=4 Ом, R3=7 Ом, R4=1 Ом, R5=3 Ом, R6=3 Ом, R7=2 Ом. (Рис. 14)
О
E2 R4
R1
Е1 R1 R6 R7
I11
I22
I1
I2
I3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
E3
E5
R2
E4 R3 R5
Рис. 14.
Решение.
Направим произвольным образом реальные неизвестные токи I1, I2, I3. Поскольку в расчетной схеме два независимых контура (1,11,10,2,3,4,5,6,1) и (1,7,8,9,2,10,11,1), то контурных токов должно быть тоже два, соответственно I11, I22. Выберем произвольным образом направление контурных токов, например, по часовой стрелке (см. рис. 14).
Составим два линейных уравнения относительно неизвестных контурных токов I11, I22, используя второй закон Кирхгофа.
Вначале определяем все падения напряжения в первом контуре от протекающего в нем контурного тока I11 со знаком «+»:
а
затем все падения напряжения от контурного
тока I22,
протекающего через участок 2,10,11,1 этого
же контура, но со знаком «-»:
,
так как контурные токиI11
и I22
на резисторах R6
и R7
направлены относительно друг друга в
противоположные стороны.
Таким же образом определяются падения напряжения для второго контура.
Следовательно:
Согласно данному методу величина и направление выбранных контурных токов I11 и I22 соответствует искомым физическим токам соответственно I1 и I2 (см. рис. 14).
Следовательно, I1= I11=-1 А, а I2=I22=5 А.
Знак «-» тока I1 означает, что истинное направление тока должно быть противоположно рассчитанному. На схеме истинное направление тока I1 показано пунктиром.
Ток I3 определим по первому закону Кирхгофа для узла 1:
Правильность проведенных расчетов проверим по балансу мощностей:
Построим потенциальную диаграмму для замкнутого контура 3456178923 .
Пусть потенциал φ3=0, тогда φ4= φ3+R2 ·I1 = 0+4·1=4 В,
φ5= φ4+Е1 = 4+150=154 В,
φ6= φ5+R1 ·I1 = 154+9·1=163 В,
φ1= φ6 – Е2 = 163 – 50=113 В,
φ7= φ1 – R4 ·I2 = 113 – 1·5=108 В,
φ8= φ7 – Е3 = 108 – 120= –12 В,
φ9= φ8 – R5 ·I2 = –12 – 3·5= –27 В,
φ2= φ9+Е4 = –27+20= –7 В,
φ3= φ2+R3 ·I1 = –7+7·1=0 В.
Графически потенциальная диаграмма выглядит следующим образом (рис. 15):
В
163
6
154
5
140
120
1
7
113
100
108
80
60
40
20
R
Ом
4
R2
R3
R4
R5
R1
3
4
3
0
-7
24
17
13
14
4
-12
2
8
-27
9
В,
(-
) 
Рис. 15