10. Сложные проценты

С экономической точки зрения процент представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы. Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при измененной -сложные процентные ставки.

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет сложных процентов. Сущность расчета заключается в том, что проценты начисленные за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. При этом происходит капитализация процентов по мере их начисления и база, с которой начисляются проценты, постоянно возрастает. Сложные проценты широко применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год.

Например, инвестированный 1 рубль при ставке 20% даст 1,20 рубля (1 рубль инвестированный + 20 копеек процентов); второй год 1,44 рубля (к 1 рублю инвестиций добавляются 40 копеек как проценты по основной сумме и 4 копейки как проценты на проценты за первый год), третий год 1,728 рублей (к 1 рублю инвестиций добавляются 60 копеек как проценты по основной сумме и 12,8 копеек как проценты на проценты за два года) и т.д. В данном примере величина 1,20 рублей является будущей стоимостью величины 1 рубль, инвестированного сроком на 1 год при процентной ставке 20%.

Метод наращения сложных процентов. Сложные проценты - проценты, полученные на начисленные (реинвестированные) проценты. Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях, со сроком проведения более одного года. При этом база для исчисление процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов, т.е. она увеличивается с каждым периодом начисления. Наращенная сумма с процентами в конце срока операции составит: FV=PV(1+r)T(степень), где PV – нынешняя стоимость капитала, r – годовая ставка процента, Т - продолжительность финансовой операции, лет.

Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки, либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). Например, чтобы заинтересовать инвесторов заемщик может предложить выплату дохода по схеме начисления сложных процентов несколько раз в год. В этом случае наращенную сумму определяют: FV=PV(1+r/m)Tm, где r – годовая ставка сложных процентов, m – количество начислений процентов за год.

Дисконтирование по сложным процентам. Формулу для определения современной величины по сложным процентам можно легко вывести формулы сложных процентов делением его обеих частей на величину (1 + r) ⁿ. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим PV_n = FV_n / (1 + r)ⁿ

Пример. Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила величину 100 ед. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых. Аналитическое решение задачи будет иметь следующий вид PV = 100,00 / (1 + 0,08)³ = 79,38 ед.

Если начисление процентов осуществляется m раз в году, соотношение будет иметь вид PV _{n, m} = FV_n (1 + r / m)^mn.

Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей.