МатАнализДифИсчисление

Лекция № 4. Число e

Используем предельный переход для определения нового, до сих пор не встречавшегося нам числа

	1				n
	= n!1 1 + n
e	lim				(4:1)

Это число оказывается не является корнем никакого алгебраического уравнения с целым коэффициентом. Такие числа называются трансцендентными числами (Шарль Эрмит, 1873). Число e играет в математическом анализе исключительно важную роль, в частности оно является основанием натурального логарифма ln x = logxe .

Перейдём к вопросу существования предела (4.1). Оно основывается на простом утверждении, принадлежащем немецкому математику Карлу Теодору Вильгельму Вейерштрассу (1815 1897).

Теорема. (Вейерштрасса). Пусть последовательность fxng

1.возрастает x1 < x2 < < xn < : : :

2.и она ограничена сверху: xn const; = 1; 2; : : : . Тогда последовательность xn имеет конечный предел

lim xn < 1

n!1

Утверждение. Последовательность xn =						1 + 1		n
								имеет конечный предел,
который обозначают буквой e						n
	= n!1	1				n
		n
e	lim	1 +				:

Доказательство будет основываться на проверке условий 1 и 2 теоремы Вейерштрасса. Но предварительно напомним формулу бинома Ньютона:

(a + b)n = an + Cn1an 1b + Cn2an 2b2 + Cn3an 3b3 + + Cnkan kbk + + bn

где Cnk биномиальные коэффициенты, которые вычисляются следующим об-

разом

n!

Ck

=

;

n

k!(n k)!

через n!

(n факториал) обозначаем произведение натуральных чисел от 1 до

n, то есть n! = 1 n.

1) По формуле бинома Ньютона имеем

n

2

3

xn = 1 +

1

= 1n + C11n 1 1

+ C21n 2

1

+C3

1n 3 1

+ +

n

n

n

n

n

n

n

1)(n

k

n k

1

k

1

n

1

n(n

1)

1 n(n

2)

1

+ C 1

n

+

+

= 1+ n

1

6n

+

+

+ : : :

n

2!

n

2

1 2 3

n

3

n

6

n

k+1)

1

n(n

1)

:::

(n

n+1)

1

n(n 1) ::: (

+

1 2 ::: k

nk

+

1 2 ::: n

nn

=

= 2 +

1

1 n1 +

1

1 n1 1 n2 + +

2!

3!

+ k1! 1 n1 : : : 1 kn1 + + n1! 1 n1

: : : 1 nn 1

:

(4:2)

11

Так как

1

1

< 1

1

;

1

2

< 1

2

; : : : ; 1

k 1

< 1

k 1

; : : : ;

n

n

n + 1

n + 1

n + 1

n

то для

1

k 1

1

1

1

n

xn+1 = 2 +

1

1

1

+

1

1

1

1

2

+ : : :

2!

n+1

3!

n+1

n+1

+

1

: : : 1 n+1

+ +

1

: : : 1

k!

n+1

(n+1)!

n+1

n+1

справедливо неравенство xn < xn+1, то есть выполняется первое условие теоремы Вейерштрасса.

2) Покажем, что xn < 3. Действительно,

n

xn = 11 + n1 1

= 2 +

1

1 nn1 1 +

1

1 n1

1 n2 + : : :

2!

3!

+

1 n

: : : 1

n

<

n!

n 1o

n

1

1

1

каждую скобку заменяем на б´ольшую величину: 1

1

1

n!1

n

1

1

1

< 2 +

2!

+

3!

+

+

< n! = 1

2

3

: : :

n > 2

< 2 + 2 + 22 + + 2n 1 но 2 + 22 + + 2n 1

= =по формуле суммы геометрической прогрессии= =
								n
	1	1			1		1	= 1o< 3
=	2		2n 1		2	<	2
		1 21					1 21

o

иn1! < 2n1 1

=

выполняется второе условие теоремы Вейерштрасса. Таким образом, приходим

n

к заключению, что	lim	1 + 1	существует, он конечен и, следуя Эйлеру, его
	n!1	n
обозначают буквой e.
Интересно обратить внимание, что
	1	1		2		2			100
		3				1
x1 = 1 + 1		= 2; x2 = 1 + 1				2; 25;
	n
x3 = 1 3		= 2; 37; : : : ; x100 = 1 +							= 2; 7; : : : ;
							100

хотя и сходится к числу e, но медленно и пользоваться им для вычисления e невыгодно! Первые шесть знаков его разложения в десятичную дробь :

e = 2; 718282:

Первоначально [см. (4.1)] число e было определено как предел натурального аргумента. Без доказательства приведём более общий результат

1

lim(1 + x)x = e

x!0

Экспоненциальная функция y = ekx, где k 6= 0, часто используется как модель экспоненциального роста (или наоборот убывания) популяции; в финансовой математике для вычисления накопленной суммы Bn в течение n лет

12

при непрерывном начислении процентов с годовой процентной ставкой r c помощью формулы Bn = B0ern. В физике для моделирования радиоактивного распада и т.д.

Приведём пример вычисления предела с помощью формулы (4.1):

lim

5

n= lim

1

n5 5

=

e5

n!1 1 + n

n!1 1 + n=5

x = 1

lim

x

= lim

1

= lim

1

:

x

x

n!1

n!1

n!1

1 + x

1 + x1

1 + x1

e

13

Лекция № 5. Понятие непрерывности функции

При изучении предела функции lim f(x) = A особый интерес представляет

x!x0

тот случай, когда этот предел A существует и равен значению функции в этой точке f(x0), то есть

lim f(x) = f(x0):

(5:1)

x!x0

Обозначим x x0 = x (то есть x = x0 + x);

а

f(x0 + x) f(x0) = y,

тогда условие (5.1) можно переписать как

lim

(f(x)

f(x

)) = lim (f(x

0

+ x)

(f(x

)) =

lim y = 0:

x=(x

x0) 0

0

x

!

0

0

x

!

0

!

Это означает, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции.

Дадим точное определение непрерывности функции.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 (включая и саму точку x0) и предел функции и её значение в этой точке равны, то есть

lim f(x) = f(x0):	(5:2)
x!x0

Следовательно, для непрерывных функций это соотношение можно переписать

lim f(x) = f( lim x);		так как lim x = x0:
x!x0	x!x0	x!x0

Иначе говоря, для непрерывных функций можно поменять местами знак функции и знак предела!

Примеры.

1. Функция y = jxj непрерывна для любого значения x (включая 0).

14

2. Функция y = x + 2 непрерывна в точке x = 0.

3. Функция

	3	для	x = 0
y =	x + 1	для	x 6= 0

терпит разрыв в точке x = 0 и станет непрерывной, если принять f(0) = 1, то

есть разрыв можно устранить положив lim f(x) = f(0) = 1!!!

x!0

Прежде чем рассмотреть другие примеры введём следующее понятие односторонних пределов.

Определение 2. Если функция f(x) стремится пределу A1 при x ! a при x, стремящимся к некоторому числу a так, что x принимает только значения

меньше a: x < a, то пишут lim f(x) = A1 и называют пределом функции

x!a 0

f(x) в точке a слева:

lim f(x) = lim f(x) = A1:

x!0; x<a x!a 0

Если x принимает только значения б´ольшие, чем a, то пишут lim f(x) = A2

x!a+0

и называют A2 пределом функции в точке a справа:

lim	f(x) = lim f(x) = A2:
x!a; x>a	x!a+0

Можно доказать, что если предел справа и предел слева существуют и равны

A1 = A2 = A, то A = lim f(x).

x!a

15

Основываясь на понятии односторонних пределов проведём классификацию разрывов.

Определение 3. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), ес-

ли f(x) в точке x0 не является непрерывной, то есть lim f(x) 6= f(x0). Это

означает:

x!x0

1)что если при x = x0 функция f(x0) не определена или

2)не существует предел lim f(x), или

x!x0

3) lim f(x) 6= f(x0) при произвольном стремлении x ! x0, хотя выражения

x!x0

lim f(x) и f(x0) и существуют.

x!x0

Пример 1. Пусть

			0	при	< 0
		f(x) =	1	при	x 0;
lim	f(x) = f(0)	имеет разрыв
x!0; x<0	6

Определение 4. Точка x0 называется точкой разрыва I рода функции f(x), если в этой точке существуют конечные предел справа, предел слева и не все три числ´а f(x0 + 0); f(x0 0) и f(x0) равны.

Точки разрыва I рода подразделяются на

1) точки скачка, когда предел слева и предел справа не равны f(x0 + 0) 6= f(x0 0). Величина f(x0 + 0) f(x0 0) называется скачком функции. В последнем примере функция

	0	при	< 0
f(x) =	1	при	x 0;

терпит разрыв I первого рода: в точке x0 = 0 она имеет скачок f(0 + 0) = 1 = f(0) 6= f(0 0) = 0;

2) устранимые точки разрыва, когда предел слева f(x0 0) равен пределу

справа f(x0 0) = f(x0 + 0) 6= f(x0).

Пример 2. Пусть f(x) = jxxj. При x < 0 имеем jxxj = 1, а при x > 0 jxxj = 1, а при x = 0 функция f(0) не определена. f(0 + 0) f(0 0) = 1 ( 1). Разрыв

16

I рода.

Пример 3. Функция f(x) = sinx x в точке x = 0 имеет устранимый разрыв. Положив f(0) 1 разрыв можно устранить

	lim	sin x	= 1 а в точке f(0) не определён:
		x
	x!0

Определение 5. Точка x0 называется точкой разрыва II рода, если в этой точке функция f(x) не имеет, по крайней мере, один из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры.

1 .

lim

1

=

1

;

lim

1

=

1

:

Разрыв II рода.

x

x

!

0+ x

x 0

!

2 .

lim	1	= 1	;	lim	1		= 1	:	Разрыв II рода.
x!0+ x2				x!0 2

3 .

	lim	sin		1	;	lim	sin	1	не существует:
			x					x
	x!0+					x!0

17

Лекция № 6. Две основные теоремы о непрерывных функциях

Функции непрерывные на отрезке обладают рядом свойств, которые хотя и очевидны и находят применение как в самой математике, так и в её приложениях, но вместе с тем, эти очевидные утверждения могут и должны быть строго доказаны.

Одним из первых, кто ввёл в математический анализ понятие строгости, был Больцано 4(1817), а вслед за ним и Коши (1821).

Теорема (Больцано). Пусть функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a; b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между a и b необходимо найдётся точка c, в которой функция обращается в нуль: f(c) = 0 (a < c < b).

Доказательство теоремы основывается на лемме о вложенных промежутках: Лемма о вложенных промежутках. Пусть имеется бесконечная после-

довательность вложенных один в другой промежутков

[a1; b1] [a2; b2] [an; bn]; : : :

(6:1)

так, что каждый последующий содержится в предыдущем, причём длины этих промежутков стремятся к нулю с возрастанием n:

lim (bn an) = 0: (6:2)

n!1

Тогда концы an и bn промежутков (с разных сторон) стремятся к общему пределу c = lim an = lim bn.

Действительно, при всех значения n bn b1, так как промежутки вложены, условие (6.1), то an < b1. Возрастающая переменная an ограничена сверху и по

теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел lim an = c. Аналогично для

n!1

убывающей последовательности bn будем иметь bn > an a1, так что bn тоже

имеет предел lim bn = c0. По условию (6.2) леммы имеем

n!1

c0 c = lim (bn an) = 0;

n!1

следовательно, c0 = c, ч.т.д.

Доказательство теоремы Больцано. Пусть f(a) < 0 и f(b) > 0.						Разделим
2	.		a+b		2
промежуток [a; b] пополам точкой a+b		Может случиться, что f			a+b	= 0, то-
гда теорема доказана. Предположим, что f			2	6= 0, тогда на концах одного

4Больцано Бернард (1781 1848) чешский математик, католический священник

18

из промежутков [a; a+2 b ] или [a+2 b ; b] функция f(x) будет принимать значения разных знаков. Обозначив этот промежуток через [a1; b1] имеем f(a1) < 0. Продолжим эту процедуру для n-го промежутка [an; bn], причём

f(an) < 0 и f(bn) > 0			(6:3)
при этом длина его равна
bn an =	b a	:	(6:4)
	2n

Построенная последовательность промежутков удовлетворяет условию лем-

мы вложенных промежутков ибо ввиду (6.4) lim (bn an) = 0 поэтому обе пе-

n!1

ременные стремятся к общему пределу lim an = lim bn = c, который очевидно

n!1 n!1

принадлежит к [a; b]. Учитывая, что f(x) непрерывна функция (в частности и в точке x = c)

nlim f(an) = f(c) 0 и	nlim f(bn) = f(c) 0
!1	!1

получаем f(c) = 0, ч.т.д.

Замечание 1. Требование непрерывности в теореме Больцано существенно, так как функция, имеющая разрыв хотя бы в одной точке может перейти от отрицательного значения к положительному и обращаясь в нуль. Например:

y(x) = E(x)	1	y(0) = 0	1			y(1) = 1	1	=	1	:
	2		2				2		2

Замечание 2. Оказывается, разрывная функция, переходя от одного своего значения к другому, может хоть раз принимать в качестве значения каждое промежуточное число. Например, функция y = f(x) = sin x1 (x 6= 0): f(0) = 0 в любом промежутке, содержащем точку разрыва x = 0, принимает все вообще возможные для неё значения от -1 до 1. Напомним, что функция y = sin x1 в точке x = 0 имеет разрыв II рода, так как не существует вовсе предела этой функции в точке 0 ни справа, ни слева.

Замечание 3. Мы установили таким образом важное свойство функции f(x) ,непрерывной в промежутке: переходя от одного своего значения к другому, функция хоть раз принимает в качестве своего значения каждое промежуточное число.

Следует подчеркнуть, что указанное свойство есть следствие непрерывности и обратное неверно, как было продемонстрировано в замечании 2 на примере функции y = sin x1 !

19

Функция непрерывна

Функция хоть раз принимает в качестве значения каждое промежуточное число

Другой существенный и интуитивно ясный факт экстремальных значений непрерывной функции был сформулирован К. Вейерштрассом.

Теорема (Вейерштрасса). Если функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a; b], то она достигает в этом промежутке своих максимального и минимального значений m f(x) M. Геометрически это означает, что график непрерывной функции f(x) должен иметь, по крайней мере, одну наивысшую и одну наинизшую точки.

Замечание. Требование непрерывности функции и замкнутости интервала по существу. Рассмотрим функцию y = x, если 0 x 1 и y = 0, если x = 1. y не имеет максимума на [0; 1], так как в точке x = 1 терпит разрыв!

Доказательство теоремы Вейерштрасса проводится почти так же, как и теоремы Больцано и это доказательство приводить не будем.

20