МатАнализДифИсчисление

Лекция № 1. Множества и действия над ними

Что такое множество? Понятие класса или множества объектов одно из фундаментальных. Множество определяется некоторым свойством, которым должен обладать или не обладать рассматриваемый объект. Так если мы рассматриваем целые числа свойство заключается в том, что числа чётные, то соответствующее множество A состоит из всех чётных чисел и записывается как A = f2; 4; 6; : : : g. Основатель теории множеств Георг Кантор1 образно описывал множества следующими словами: "Множество есть многое, мыслимое нами как единое".

Пустое множество не содержит ни единого элемента.

Говорят, что множество A есть подмножество множества B, короче, "A входит в B" , или "B содержит A" , если во множестве A нет такого элемента, который не был бы также во множестве B. Этому соотношению соответствует запись A B, или B A. Например, множество A = f1; 2; g есть подмножество множества B = f1; 2; 5g.

Соотношение A B не исключает соотношения B A. Если имеет место и то и другое, то мы пишем

A = B

(1:1)

Это означает, что каждый элемент A есть одновременно элемент B и обратно. Таким образом множества A и B содержат одни и те же элементы.

Соотношение A B между множествами во многом напоминает соотношение a b между числами. В частности, если A B и B C, то A C. По этой причине соотношение A B иногда называют отношением порядка. Главное отличие рассматриваемого соотношения от соотношения a b между числами заключается в том, что между всякими двум заданными действительными числами a и b осуществляются соотношения a b или b a, тогда как для соотношения A B между множествами аналогичное утверждение не верно. Например, пусть A = f1; 3; 5g и B = f3; 5; 7g. Не имеет места ни соотношение A B, ни соотношение B A. По этой причине говорят, что подмножества A; B; C; : : : некоторого множества являются частично упорядоченными, тогда как действительные числа a; b; c; : : : образуют вполне упорядоченную совокупность.

Определим две операции над множествами, похожие на свойства сложения и умножения чисел, но по своему внутреннему содержанию совершенно отличные от арифметических действий.

Определение 1. Объединением (суммой) множеств A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся или в A, или в B (включая и те элементы, которые содержатся и в A и в B. Это множество обозначается A [ B.

Определение 2. Под пересечением или произведением множеств A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся и в A, и в B. Это множество обозначается A \ B.

Пример. A = f1; 2; 5g, B = f2; 5; 6g, тогда A [B = f1; 2; 5; 6g, A \B = f2; 5g.

1Кантор Георг (1845 1918) немецкий математик, разработал теорию множеств

1

Эти операции иллюстрируются приведёнными рисунками, называемыми диаграммами Эйлера–Венна,2 как множества точек, находящихся в заштрихованных областях.

Что такое функция?

Функция одно из основных первичных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других.

Предварительно приведем несколько примеров.

1. Площадь круга Q есть функция от радиуса r формулой

Q = r2:

Напомним, что здесь постоянная величина, обозначающая отношение длины окружности к диаметру.

2. Пройденный путь S свободно падающей материальной точки (в отсутствии сопротивления) за время t сек вычисляется по формуле

S = gt2 ;

2

где g=9,81 м/сек2 ускорение силы тяжести. Путь S является функцией от времени t.

Отвлечёмся теперь, как обычно, от физического смысла рассматриваемых величин и сформулируем, что означают слова "задана функция".

Пусть заданы непустые множества X и Y и переменные x и y. x 2 X и, соответственно, y 2 Y .

Говорят, что задана функция, определённая на множестве X, со значениями в множестве Y , если в силу некоторого закона f, каждому элементу x 2 X соответствует элемент y 2 Y , или, что тоже самое, задано отображение множеств X на множество Y . Множество X называется областью определения функции, а множество Y множеством значений функций.

Для записи функциональной зависимости приняты следующие обозначения:

f

x ! y, x ! y, x ! f(x) или y = f(x). Последняя форма записи удобна при проведении тождественных алгебраических преобразований. При этом употребляются следующие термины x независимая переменная или аргумент, а yзависимая переменная функция.

2Эйлер Леонард (1707 1783) математик, физик. Швейцарец по происхождению, большую часть жизни провёл в Петербурге .

Венн Джон (1834 1923) английский логик и математик

2

В дальнейшем, говоря о функции, если не оговорено противное, мы будем подразумевать однозначную функцию, где каждому значению x из X ставится

всоответствие одно определенное значение y из Y ! Проиллюстрируем приведенное рассуждение.

На этом рисунке установлена функциональная зависимость между X1 и Y1.

При этом отображении нет функциональной зависимости, так как элементу x1 соответствуют два элемента – y1 и y2.

При задании функции существенны следующие моменты. Во-первых, установление закона соответствия между значениями переменных x и y, который составляет сущность понятия функциональной зависимости. Этот закон может быть весьма разнообразной природы. Проще всего это соответствие задаётся с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего на операции над переменной x и постоянными числами для получения y. Именно аналитическим способом была задана функциональная зависимость в приведённых примерах 1 и 2.

Однако было бы ошибочно думать, что это единственный способ, которым может быть задана функция. В следующих примерах функция задаётся просто с помощью описания соответствия. Таковы, например:

1) функция E(x) – наибольшее целое число, не превосходящее x (E есть первая буква французского слова "entier" , обозначающего "целый")

E(7) = 7 E(7; 5) = 7; E( 2; 7) = 3 и т.д.

3

2) функция Дирихле3

1; если x рациональное число

0; если x иррациональное число

3)

8

1; если x > 0

<

0; если x = 0

: 1; если x < 0:

Примером задания функциональной зависимости может служить также графическое изображение функции

Функцию можно задать также с помощью таблицы. Для некоторых значений переменной x указать соответствующие значения переменной y. Примерами такого задания функций являются таблицы тригонометрических функций.

Наконец, следует обратить внимание на область изменения аргумента X. Её p

называют областью определения функции. Например, функция y = x определена при x 0.

Контрольные вопросы

1.Перечислить существенные моменты при задании функции.

2.Что такое область определения функции?

3.Приведите примеры закона соответствия при задании функциональной зависимости.

4.Является ли следующее правило соответствия задания функциональной зависимостью?

а)

x1 x2 x2

y1 y2 y2

б)

x1 x1

y1 y2

3Дирихле Лежан (1805–1859) немецкий математик

4

Лекция № 2. Теория пределов

Ближайшая цель изучить фундаментальное понятие анализа предел. Предварительно поясним, что такое последовательность.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда 1; 2; : : : ; n : : :

поставлено в соответствие вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1; x2; : : : ; xn; : : : называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Иногда говорят, что функция натурального аргумента является последовательностью.

Примеры.

1.xn = ( 1)n, то есть 1; 1; 1; 1; : : :

2.xn = 3, то есть 3; 3; : : : ; 3; : : :

3.xn = n1 , то есть 1; 12 ; : : : ; n1 ; : : :

Последняя последовательность примечательна тем, что она "стремится к 0". Этот факт запишем следующим образом

lim xn = lim		1		= 0
n!1	n!1 n

(lim есть сокращение латинского слова limes, означающего "предел"). Случай, когда переменная стремится к нулю представляет собой особый ин-

терес и будем называть такие переменные бесконечно малыми величинами. Таким образом, имеем

Определение 2. Переменная xn, имеющая своим пределом нуль, называется

бесконечно малой величиной (б.м.в.)

lim xn = 0:

n!1

Придадим точный смысл этой символической записи

Определение 2’. Переменная xn называется бесконечно малой величиной, если она для достаточно больших номеров n становится и остается по абсолютной величине меньше сколь угодно малого наперёд заданного числа " > 0, то есть 8" > 0; 9N, что все значения xn, у которых номер n > N удовлетворяют неравенству jxnj < ".

Пример. Переменная xn = n12 б.м.в. Действительно, переменная пробегает последовательность значений

			1;	1	;	1	; : : :
				4		9
		1					1
	Величина		< ", лишь только n > N" = E(p						), то есть в качестве N" можно,
		n2
								"

например, взять наибольшее целое число, содержащееся в 1 .

p

"

Бесконечно большая величина. Обратная величина 1 бесконечно ма-

xn

лой xn называется бесконечно большой. Это означает, что переменная yn = 1

xn

является бесконечно большой, если она для достаточно больших значений n становится и остаётся по абсолютной величине б´ольше сколь угодно большого наперёд заданного числа M > 0

jynj > M

5

для n > NM , обозначают lim yn = 1, (если yn > 0).

n!1

Пример. Переменная e = n2 является бесконечно большой при n ! 1,

n p

так как n2 > M для всех n > E( M).

Предел последовательности: lim xn = a. Число a называется пределом

n!1

переменной xn, если последняя отличается от a сколь годно мало: n = jxn aj < ", начиная с некоторого номера n, то есть величина n является бесконечно малой!

Вспоминая определение бесконечно малой величины приведём далее длинное, строгое и исчерпывающее определение предела.

Определение 3. Число a называется пределом переменной xn, если для любого положительного числа " > 0, сколь бы мало оно ни было, существует такой номер N, что все значения xn, у которых номер n > N, удовлетворяют

неравенству	n = xn			a	< "	.
	1+j	n		j			1+n	1	< " для всех n > N =	1
Пример.nlim!1 n			= 1, так как j				n	1j = n		" .

6

Лекция № 3. Предел функции

Цель этого раздела установить основное понятие математического анализапредела функции f(x) при стремлении x к a. Обозначают этот факт так:

lim f(x) = A:

x!a

Впервые точный смыл этому понятию был дан французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789 1857) в его книге "Алгебраический анализ".

Определение. (О. Коши). Функция f(x) имеет пределом число A при стремлении x к a, если для каждого сколь угодно малого наперёд заданного положительного числа " > 0 найдётся такое число > 0, что jf(x) Aj < ", лишь только jx aj < . 8" > 0; 9 > 0, что (8x 2 X; x 6= x0jx x0j < ) : jf(x) Aj < ".

Пример 1. Рассмотрим поведение функции f(x) = (x2 1) вблизи точки

x 1

x = 1. Определена для 8 действительного x 6= 0; Функция y = f(x) = x + 1 определена для 8x.

y = f(x) = x2 1

x 1

y = fx) = x + 1

Значенияx	f(x) =	x2 1	x 6= 1
		x 1
0; 9	1; 9
1; 1	2; 1
0; 99	1; 99
1; 01	2; 01
0; 999	1; 999
1; 001	2; 001
0; 999999	1; 999999
1; 000001	2; 000001

Заключаем, что f(x) приближается к 2, когда x приближается к 1 и пишем

lim f(x) = 2	или lim	x2 1	= 2:
x!1	x!1 x 1

7

Установим следующий важный результат:
Утверждение.			sin x
	lim				= 1		(3:1)
	x!0			x
Заметим, что непосредственный подсчёт даёт неопределённость						0	, (так как
sin x ! 0 при x ! 0).						0
Предварительно докажем вспомогательное неравенство
cos x <	sin x			< 1; (x 6= 0)
		x

Прежде, чем доказать это неравенство напомним, что по определению радиан-

^

ного измерения угла, величина угла x равняется отношению длины дуги AB и

^^

R: x = ABR , то есть AB = xR. С этой целью рассмотрим сектор AOB, хорду AB и перпендикуляр AC к отрезку OA = R. Имеем

S(4AOB) < S(сектора AOB) < S(4AOC):

(3:2)

S(сектора AOB) =

1 ^

1

R2x

AB

R =

2

2

1

1

1

S(4AOB) =

OA h =

OA R sin x =

R R sin x:

2

2

2

Из 4AOC имеем

CA

CA

и CA = R tg x:

tg x =

=

R

OA

Следовательно,

OA CA

R tg x

S(

4

AOC) =

=

:

2

2

Подставляя в (3.2) получаем:

R2

R2

R2 tg x

или

sin x <

x <

sin x < x < tg x:

2

2

2

В предположении, что 0 < x < =2 разделим sin x на каждый из членов

последнего неравенства

1 <

x

<

1

или

cos x <

sin x

< 1:

cos x

x

sin x

Следовательно, при 0 < x =2

1

sin x

< 1 cos x = 2 sin2

x

< 2 sin

x

< 2

x

= x; то есть

0 < 1

sin x

< x:

x

2

2

2

x

8

Отсюда вытекает неравенство

	sin x	1	< jxj:
	x

Для произвольно заданного числа " > 0 достаточно выбрать = min( ; 2 ). Получаем

sin x

x

1 < jxj < < ":

Утверждение (3.1) доказано.

С помощью

этого предел вычисляются следую-

щие пределы:

lim tg x = lim

sin x

1

=

1;

lim

arcsin x

x = sin y

= lim y = 1

(3:3)

x!0

x

x!0

=

x

cos x

nобозначим

o

x!0

x

y!0 sin y

Заметим, что ни одна из рассматриваемых здесь функций не определена при x = 0. Однако это не мешает говорить об их пределах при x ! 0, ибо в определении предела значение x = 0 не рассматривается!

Важность этого результата (3.1) заключается не только в том, что он даёт возможность вычислить пределы (3.3), но и в том, что доказывается красивый и совсем не очевидный факт: sin x и x стремятся к 0 с одинаковой скоростью! В таком случае говорят, что sin x и x эквивалентные бесконечно малые величины при x ! 0! Это обозначают следующим образом: sin x x. Подчеркнём, что

это означает

lim sin x = 1:

x!0 x

Следует обратить внимание, что x обязательно должно стремиться к нулю! Дадим еще одно определение предела функции по Гейне (Генрих Гейне (1821

1881) немецкий математик) равносильное определению Коши. Определение. (Г. Гейне). Число A называется пределом функции f(x) в

точке x = x0 (или при x ! x0), если для любой сходящейся к x0 последовательности x1; x2; : : : ; xn; : : : значений аргумента x отличных от x0, соответствующая последовательность f(x1); f(x2); : : : ; f(xn); : : : значений функции сходится к числу A.

Пример 1. На основании этого определения (на языке последовательности) покажем, что sin x не имеет предела при x ! 1. Рассмотрим две последова-

тельности:
n2n		o	и	n2n +		o; (n = 1; 2; 3; : : : ); значения	x ! 1;
	2				2

отвечают последовательности значений функции, стремящейся к различным пределам

			! 1 и
sin(2n		) = 1			sin(2n +		) = 1	! 1:
	2					2
Аналогично и функция				1
			lim sin
				x
			x!0

9

предела не имеет. График этой функции выглядит следующим образом:

Эта функция sin x1 производит бесконечное множество колебаний, которые умещаются в конечном промежутке, сгущаясь к нулю.

Пример 2. Рассмотрим функцию x sin x1 , которая отличается множителем x от только что изученной функции sin x1 . Но в этом случае

lim x sin 1 = 0

x!0 x

так как jx sin x1 j jxj.

10