МатАнализДифИсчисление

Уравнение прямой, проходящей через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)).

Покажем, что вспомогательная функция H(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, H(x) непрерывна в [a; b], так как представляет собой разность непрерывных функций: функции f(x) и линейной функции. В промежутке (a; b) она имеет конечную производную

H0(x) = f0(x) f(b) f(a): b a

Непосредственный подсчёт показывает, что H(a) = H(b) = 0, следовательно, на концах промежутка H(x) принимает равные значения и к функции H(x) можно применить теорему Ролля, то есть, существует такая точка c : a < c < b, что H0(c) = 0. Это означает:

H0(c) = f0(c)		f(b) f(a)			= 0;	откуда	f0(c) =	f(b) f(a)			:
		b		a				b		a

Теорема доказана.

31

Литература

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1-2.

2.Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1-2.

3.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-2.

4.Finney R.L. Thomas’ Calculus.

5.Привалов И.И. Аналитическая геометрия.

6.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1-2.

32