МатАнализДифИсчисление

St

Лекция № 7. Понятие производной

Сформулируем одно из основных понятий математики производную. Оно было введено только в XVII столетии, благодаря усилиям Ферма, Ньютона и его учителя, Исаака Барроу (1630 1677) и Лейбница.

Рассмотрим задачу вычисления скорости изменения какой либо величины S(t), меняющейся с течением времени. Именно с этой точки зрения и подошёл Ньютон к дифференциальному исчислению. Переменные величины он называл "флюэнтами время t, положение движущейся частицы S(t) и т. д., а скорость v(t) "флюксиями". Его трактат называется "Метод флюксий и бесконечных рядов"(вышел он уже после смерти автора, в 1736 году). Есть русский перевод "Математические работы Ньютона"(1937).

Перейдём к самой сути производной и начнём с простого наблюдения, связанного с движением автомобиля. Расстояние, которое проходит машина за времяt = t2 t1 обозначим S = S(t2) S(t1). Средняя скорость движения Sср = ; но если мы нуждаемся в определении моментальной скорости движущегося автомобиля, то естественно брать t как можно "меньше". Скорость, которую показывает спидометр и есть эта моментальная скорость.

Отвлечёмся от частного примера и рассмотрим функцию f(x), определённую в промежутке [a; b]. Обозначим через x приращение аргумента x = x2 x1, то есть x2 = x1 + x. А через y приращение функции y = f(x2) f(x1) = f(x1 + x) f(x1).

Определение. Производной функции y = f(x) в точке x1 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента приx ! 0, если этот предел существует. Обозначим производную f(x) в точке x1

символом f0(x1).
(7:1)	f0(x1) = lim			y	=	lim	f(x1 + x) f(x)			;
		x!0		x		x!0	x
Пример. Найти производную x2
lim	(x + x)2 x2	= lim	6x2 + 2 x x + ( x)2 6x2					=	lim (2x + x) = 2x
x!0	x	x!1				x			x!0

Предельный процесс, с помощью которого получена производная, называется дифференцированиемфункции f(x). Этот процесс есть такая операция, которая

21

по определённому правилу сопоставляет данную функцию f(x) с некоторой другой функцией f0(x). В нашем примере (x2)0 = 2x. Слово дифференцирование объясняется тем обстоятельством, что f0(x) есть предел разности (di erentia)

f(x2)

f(x1), делённой на разность x2

x1 формула (7.1). Для производной

dy

df(x)

от функции y = f(x) существуют еще обозначения Лейбница dx

или

;

dx

Ньютон использовал бы y (буквы с точками наверху!).

Таблица производных основных функций

1:

y = c

y0

= 0

6:

y = cosx

y0

=

sin x

y = x

y0 = x 1

y0

1

2:

7:

y = tg x

=

cos2 x

3:

y = ax

y0

= ax ln a

8:

y = ctg x

y0

=

1

sin2 x

y = ex

y0 = ex

9:

y = arcsin x

y0

=

1

p1 x2

loge

4:

y = log

x

y0

=

a

10:

y = arccos x

y0

=

1

a

1x

p1 x2

y0

y0

1

y = ln x

= x

11:

y = arctg x

1+x2

1

5:

y = sin x

y0

= cos x

12:

y = arcctg x

y0 =

1+x2

Будьте внимательны: в книге

Демидович Б. Сборник задач для втузов,

1

"Астрель" , 2004 в X формуле на с. 41 допущена опечатка: (arctg x)0

=

!

1+x2

Приведём здесь же основные правила нахождения производной

1: c0 = 0

2: (u + v)0 = u0 + v0

3: (cu)0 = cu0

4: (u

v)0

= u0v + uv0

5: (

u

)0

=

vu0

v0u

.

v

2

v

Геометрический смысл производной. Производная функции f(x) в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной l, проведённой в точке M0(x0; f(x0)) графика функции y = f(x).

Действительно, так как касательная l к кривой y = f(x) является предельным положением секущей l0, когда точка M1 вдоль по кривой y = f(x) стре-

мится к точке M0, а это происходит тогда, когда x ! 0. Тогда
tg = lim tg =		lim	y		f0(x) = f0	(x	):
x!0	1	x!0		= nпо определению	o	0
			x

Тангенс угла наклона k = tg в аналитической геометрии называют угловым коэффициентом касательной, проведённой в точке M0(x0; f(x0)).

В отличие от Ньютона, который пришёл к понятию производной исходя из потребностей физических задач вычисления скорости, ускорения и т. п., Ферма интересовался вопросами определения точек экстремума (максимума и минимума) функции. В этих точках, как нетрудно заметить, касательная (если она

22

существует) параллельна оси ox и, следовательно, тангенс угла наклона равен нулю. Как уже было отмечено, это равносильно равенству нулю производных в этих точках.

23

Лекция № 8. Что такое дифференциал?

Дифференциал (от латинского di erentia разность) является одним из важнейших понятий не только дифференциального исчисления, но и всей математики. Поэтому мы особенно тщательно и аккуратно изучим это понятие.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 : [x0; x0 + ] , где > 0 и имеет конечную производную f0(x0) < 1. Наша задача проанализировать структуру приращения функции y = f(x0) = f(x0+ x) f(x0). По определению производной, отношение приращения y, к приращению аргумента x: xy стремится к числу f0(x0) при x ! 0, то есть

lim y = f0(x0):

x!0 x

Это означает, что при x ! 0 xy отличается от f0(x0) на бесконечно малую величину, которую обозначим через ( x):

y	= f0(x0) + ( x) ( x 6= 0);	(8:1)
x

где ( x) ! 0 при x ! 0 . (Разумеется, f0(x0) не зависит от того, как стремится x к 0!). Перепишем последнее соотношение (8.1) следующим образом:

y = f0(x0) x + ( x) x:

(8:10)

Первое слагаемое f0(x0) x линейная функция от приращения x и она

x : f0(x0) 6x = f0

(x

) =

f0

(x

) = 0

того же порядка, что и

6x

0

число

, если число

0

6 .

Второе слагаемое

( x)

x

выражение

более высокого порядка, чем x,

n

o

то есть

( x) 6 x

= ( x);

6 x

которая следуя определению производной стремится к нулю: lim ( x) = 0.

x!0

Эти рассуждения наводят на фундаментальное наблюдение: если f0(x0) 6= 0 для приращения функции y главная часть, это линейная функция от приращения аргумента f0(x0) x, которая эквивалентна приращению функции y (приx ! 0), то есть

	y		( x)
		= 1 +		:	(8:2)
	f0(x0) x		f0(x0)
Таким образом пришли к следующему определению.					f0(x0) x в формуле
Определение 1. Линейную функцию аргумента x :

(8:10) называют дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 и обозначают как df(x) или короче dy:

dy = f0(x0) x:

(8:3)

Следует также добавить

Определение 2. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если приращение функции f(x0) можно представить в виде (8:10).

24

Осталось проанализировать дифференциал независимой переменной x: её дифференциал называют "приращение x":

def	(8:3 )
dx = x:

Если договориться и отождествить дифференциал независимой переменной x с дифференциалом функции y = x, то соотношение (8:3 ) можно доказать: dx = x0x x = 1 x = x! Поэтому, в соответствии с (8.3)

dy = f0(x0)dx

или
			dy	= f0(x0):
			dx
Например:
d(sin x) = cos x dx					o
n
Предостережение: после производной не забывайте писать					dx!
или	d sin x	= cos x:
	dx

После проведённого анализа становится понятным почему в приращении функции y выделили слагаемое f0(x0) x = f0(x0)dx и назвали дифференциалом dy. Ввиду важности понятия дифференциала перечислим его свойства:

1.Дифференциал dy = f0(x0) x линейно зависит от малого приращения аргумента x. Многие окружающие нас процессы ведут себя именно так они линейно зависят от малых изменений аргумента (см. пример). Это явление и учитывает понятие дифференциала, чем, в значительной степени, объясняется успех дифференциального исчисления. dy линейная функция x!, а y, вообще говоря, нелинейная функция!

2.Дифференциал dy = f0(x0) x эквивалентен приращению y, формула

(8.2) (f0(x0) 6= 0).

3. Заменяя приращение функции y на дифференциал dy абсолютная погрешность R( x) = y dy = ( x) x , бесконечно малая более высокого

порядка, чем x : R( x) = ( x 6x ! 0. Этот факт символически записывается

x 6x

как R( x) = o( x) , читается R( x) равна o маленькой от x при x ! 0 и

означает, как уже было сказано

R( x)

! 0, когда x ! 0.

x

4. Относительная погрешность

R( x)

также стремится к нулю. Действитель-

но,

dy

y dy

( x) 6 x

R( x)

=

=

!

0;

если

x

!

0:

f0(x0) x

x

dy

6

5. Вне зависимости от того, является ли аргумент x независимой переменной или, в свою очередь, зависит от другой переменной x = x(t), форма записи дифференциала не меняется. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. Действительно, пусть с помощью функции y = f(x) и x = '(t) составлена сложная функция y = f('(t)). Предположим, что существуют производные yx0 и x0t. Тогда производная сложной функции yt0 = fx0 (x) x0t(t)

25

	dy = f0	(x)		x0	(t) dt =	n	x0	o
и	x			t		но	t		, форма записи осталась

неизменной!

Для полноты понятия дифференциала следует ответить на вопрос нельзя ли представить приращение функции как

y = A x + ( x) x;

где A отлично от f0(x0), то есть дифференцируемость понимать шире, не обязательно только тогда, когда A = f0(x0)?

Теорема. Предположим, что у функции f(x) в точке x0 существует конечная производная f0(x0). Равенство y = A x+о( x) (при x ! 0) имеет место тогда и только тогда, когда A = f0(x0). Следовательно, в выражении dy = A dx обязательно A = f0(x0) (если производная существует) и

	dy		= f0(x0) = lim	y
	dx			x
			x!0

отношение дифференциалов точно равно пределу отношения приращений, когда эти последние стремятся к нулю!

Сформулированная теорема позволяет нам отождествлять понятие дифференцируемости функции в данной точке x0 с понятием существования у функции производной в этой же точке x0. В дальнейшем договоримся по указанной причине операцию нахождения производной называть дифференцированием.

Геометрический смысл дифференциала.

Пусть M(x; y) произвольная точка на касательной L, проведённой в точке M0 = M0(x0y0) к кривой y = f(x). Уравнение касательной в точке M0это уравнение прямой, проходящей в точке M0 с угловым коэффициентом f0(x0) yкас y0 = f0(x0)(x x0), но последнее соотношение равно dy, по определению дифференциала и получаем

dy = yкас y0:

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведённой к кривой y = f(x) в точке x0.

Дифференциал как источник приближения.

Третье свойство о замене приращения y на дифференциале dy с "малой потерей":

R( x) = y dy = ( x) x

(8:4)

26

наводит на мысль использовать дифференциал как источник приближения. На основании (8.4) имеем

y = f(x0 + x) f(x0) dy = f0(x0) x:

знак "приближённо равняется"(не путать со знаком эквивалентности

" ".

Следовательно, соотношение f(x0 + x) f(x0) + f0(x0) x, или f(x) f(x0) + f0(x0)(x x0), где x = x0 + x, может служить для приближённых вычислений функции f(x).

Определение. Если функция имеет производную в точке x0 f0(x0), то вы-

ражение

L(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0)

называют линейной аппроксимацией (приближением)функции f(x) L(x). (Читается: f(x) приближённо равняется L(x)).

Геометрически L(x) это уравнение касательной, проведённой к кривой f(x) в точке (x0; y0)

p

Пример 1. Найти линейную аппроксимацию f(x) = 1 + x в точке x0 = 0.

Решение. Имеем:

f(0) = 1;

1

1

x=0=

1

f0(0) = 2

(1 + x)1=2

2

x

L(x) = f(0) + f0(0)(x 0) = 1 +

:

Следовательно, p

2

L(x) = 1 + x2 . Используем эту формулу для вычис-

1 + x

ления p

= p

.

1; 2

1 + 0; 2

Аппроксимация L(x)

Вычисления с помощью калькулятора

j ВПК L(x)j

p

= p

= 1 + 02;2

< 10 2

1; 2

1+ 0; 2

= 1; 1

1; 0954

6

0;6 6

p1; 05 = 1 +

05

1; 02469

< 10 3

2 = 1; 1025

p

= 1 + 0;0052 = 1; 0025

1; 002496

< 10 5

1; 005

Формула Пуазёйля.

Пример 2. Объём крови, текущей по артерии при постоянном давлении за единицу времени равен v = kr4, r радиус артерии, а k некоторая постоянная. Радиус артерии изменился с 10 мм до 10,1 мм. Как изменился текущий

27

объём крови dv при таком изменении радиуса r; сравнить истинным изменением

v.

Решение. Истинное изменение

v = k[(10; 1)4 104] = k[10406; 0401 10000] = 406; 01 k:

Приближённое изменение объёма dv = k4r3dr. Принимая во внимание, что dr =

r = 0; 1 получаем:

dv = 4k 103 0; 1 = 400k:

Следовательно, погрешность равна:

v dv = k[406; 01 400] = 6; 01k:

Вычислим относительное изменение объёма dvv в зависимости относительного изменения радиуса drr . Имеем:

	dv	=	4 6kr3dr	= 4	dr	:
	v		6kr4		r

Это означает, что при 10% изменений радиуса на 40% меняется объём поступления крови!

28

Лекция № 9. Основные теоремы дифференциального исчисления

Знание производной некоторой функции даёт возможность делать заключения о поведении самой функции.

Теорема Ферма.5 Пусть f(x) определена в некотором промежутке X и во внутренней точке c этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) зна-

чение. Если в этой точке существует конечная производная f0(c), то необходимо f0(c) = 0.

Доказательство. По определению

f0(c) = lim

f(x) f(c)

:

x!c

x c

Если

x > c

f(x) f(c)

0;

lim +

f(x) f(c)

= f0(c)

0:

x

c

x

c

x

c

!

Если

x < c

f(x) f(c)

0;

lim

f(x) f(c)

= f0(c)

0:

x

c

x

!

c

x

c

Следовательно, f0(c) = 0.

Теорема Ролля.6

Пусть функция f(x) 1) непрерывна на [a; b]; 2) имеет производную на интер-

вале (a; b) и принимает равные значения на концах отрезка f(a) = f(b). Тогда между a и b найдётся точка c (a < c < b), что f0(c) = 0.

5Ферма Пьер (1601 1665) французский математик

6Ролль Мишель (1652-1719) французский математик

29

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, если функция f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a; b], то функция f(x) принимает как своё наибольшее значение M, так и своё наименьшее значение m .

Возможны два случая:

1.M = m, тогда f(x) = const для любого x 2 [a; b] и в качестве c можно выбрать любую точку интервала [ab] и, следовательно, f0(c) = 0.

2.Осталось рассмотреть случай m < M. Оба эти значения функция f(x) принимает на отрезке [a; b]. Поскольку по условию теоремы f(a) = f(b), хотя бы одно из значений m или M не принимается на концах интервала. Следовательно, или m или M достигаются в некоторой точке c между a и b. В таком случае,

по теорем Ферма если функция достигает экстремального значения внутри промежутка и имеет конечную производную f0(c), то необходимо f0(c) = 0,

ч.т.д.

На геометрическом языке теорема означает следующее: у графика непрерывной на [a; b] и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует такая, по крайней мере, одна точка, с координатами (c; f(c)), в которой касательная к кривой f(x) параллельна оси Ox.

Теорема Лагранжа7 о конечных приращениях.

Теорема. Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a; b]; 2)существует конечная производная f0(x), по крайней мере, в открытом промежутке (a; b). Тогда между a и b найдётся такая точка c: a < c < b, что для неё выполняется равенство

f(b) f(a) = f0(c): b a

Доказательство. Проведём через точку (a; f(a)) пучок прямых. Соответствующее уравнение y f(a) k(x a) = 0. Выберем угловой коэффициент

k = f(b) f(a): b a

Следовательно,

H(x) = f(x) f(a) f(b) f(a(x a) = 0: b a

7Лагранж Жозеф Луи (1736 1813) французский математик

30