Высшая математика для 1 и 2 курса

Задача 12. Найти общее решение системы

dx = −3x − y,

dt

dy = x − y.

dt

	Решение. Из 2-го уравнения системы найдем x = y′′ + y и подста-
вим	в	1-е	уравнение,	получим	(y′ + y)′ = −3(y′ + y) − y ,
y′′ + y′ = −3 y′ − 3y − y , т. е. y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 .
	Для решения последнего уравнения составим характеристическое
уравнение λ2 + 4λ + 4 = 0 и решим его: (λ + 2)2 = 0 , λ1, 2 = −2 .
	В соответствии с формулой (7.18) y(t ) = (c					+ c	t) e−2t . Подставив
					1	2

найденную функцию y(t ) в выражение x(t ) = y'(t ) + y(t ), найдем x(t ):

x(t ) = ((c + c t )e			−2t )'+(c + c				t )e−2t	= c		e−2t	− 2(c + c			t)e−2t + (c + c			t )e−2t =
1	2				1	2			2			1	2		1	2
	= (c	2	− 2c − 2c t + c + c						t )e−2t = (c			2	− c − c		t )e−2t .
				1		2	1	2					1	2
x(t ) = (c − c − c t ) e−2t ,									общее решение исходной системы.
Итак, y(t ) =			(c	+ c t ) e−2t				–
			2	1		2
			1		2

101

Тема 8. Функции нескольких переменных

8.1. Частные производные функции двух переменных

Определение. Переменная величина z называется функцией двух переменных величин x и y, если каждой упорядоченной паре (x; y) до-

пустимых значений x и y соответствует единственное значение z. Функция двух переменных обозначается одним из выражений:

z = f ( x; y ) , z = z(x; y) и т. п.

Аналогично определяются функции большего числа переменных. Пусть в некоторой окрестности точки M (x; y) задана функция

z = z(x; y) . Фиксируя переменную у так, что y = const , получим функцию от одной переменной х. Производная этой функции в точке х на-

зывается частной производной функции z(x; y) в точке (x; y)

и обо-

значается

∂z ( x; y)

или z′ . Итак,

∂x

x

∂z ( x; y )

=

dz ( x; y )

.

(8.1)

∂x

dx

y = const

Аналогично

∂z ( x; y )

=

dz ( x; y )

(8.2)

.

∂y

dy

x = const

Поскольку частные производные z′

и z′ в свою очередь являются

x

y

функциями двух переменных, то и от них можно брать частные производные:

∂

∂z

=

∂ 2 z = z′′

,

∂

∂z

=

∂ 2 z

= z′′

,

(8.3)

∂x2

xx

∂x∂y

xy

∂x

∂x

∂y

∂x

∂

∂z

=

∂2 z

= z′′

∂

∂z

=

∂2 z

= z′′ .

,

2

(8.4)

∂y∂x

yx

∂y

∂y

yy

∂x

∂y

∂y

Частные производные (8.3) и (8.4) называются частными производными второго порядка. Взяв от них частные производные, получим частные производные третьего порядка и т. д.

102

Задача 1. Дана функция z = exy . Показать, что она удовлетворяет

уравнению x2 ¶2 z - y2 ¶2 z = 0 .

¶x2 ¶y2

Решение. Вычислим, пользуясь определением, частные производные:

∂z = xy × ¢ = xy

¶x e (xy)x ye ;

∂z = xy × ¢ = xy

¶y e (xy) y xe ;

Следовательно, x2 ¶2 z - ¶x2

валось доказать.

	¶2 z =	¶		(yexy )= yexy × (xy)¢ = y2 exy ;
		¶x
	¶y 2			y
	¶2 z =	¶		(xexy )= xexy × (xy)¢ = x2 exy .
	¶y 2	¶y		y
	y 2 ¶2 z	= x2 y2 exy - y 2 x2 exy = 0 , что и требо-
	¶y2

8.2. Экстремум функции двух переменных

Определение. Точка M 0 (x0 ; y0 ) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = z(x; y) , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство z ( x0 ; y0 ) > z ( x; y ) ( z ( x0 ; y0 ) < z ( x; y ) ).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют. Такие точки называются критическими. Для функции двух

переменных z = z(x; y) критические	точки находятся из системы
уравнений
z¢ ( x; y) = 0,
x	= 0.
z¢ ( x; y)
	(8.4)

y

Условия (8.4) являются необходимыми, но не достаточными условиями существования экстремума. Достаточные условия экстремума для функции z = z(x; y) в критической точке M 0 (x0 ; y0 ) выражаются с

помощью определителя

103

D( x ; y ) =			z¢¢	( x ; y		)
			xx	0	0
0	0		z¢¢	( x ; y )
			x y	0	0

z¢¢xy ( x0 ; y0 )				=
z¢¢	( x ; y	0	)
y y	0

= z¢¢

( x ; y

0

) z¢¢

( x ; y

0

) -

(

z¢¢

( x ; y

0

)

)

2 .

(8.5)

x x

0

y y

0

x y

0

z′′

1)

Если

(x0 ; y0 ) > 0 ,

то

M 0 (x0 ; y0 )

–

точка

экстремума: при

( x ; y

) < 0 –

точка максимума, при z′′

( x ; y

) > 0 –

точка минимума.

x x

0

0

x x

0

0

2) Если

( x0 ; y0 ) < 0 , то в точке M 0 (x0 ; y0 )

нет экстремума.

Задача 8. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 + 9xy .

Решение. Вычислим частные производные первого и второго по-

рядка:

z¢

( x; y ) = 3x2 + 9 y;

z′ ( x; y) = 3y2 + 9x ;

z′′

( x; y ) = 6x ;

x

y

xx

z′′yy ( x; y ) = 6 y; z′′yx ( x; y ) = 9 .

Приравнивая к нулю первые производные, получим систему

уравнений для определения критических точек

3x2 + 9 y = 0,

3y2 + 9x = 0.

Решаем

данную

систему

и

находим

две

критические точки

M1 (0; 0)

и M 2 (−3; − 3) .

Вычисляем значения частных производных

второго порядка и определитель в этих точках.

В точке M

1

(0; 0) получаем:

z′′

(0; 0) = 0 ;

z

′′

(0; 0) = 0 ; z′′ (0; 0) = 9 ;

xx

yy

yx

D(0; 0) =

0 -9

= 0 × 0 - (-9)2 = -81.

-9

0

Т.

к.

в точке M1 (0; 0)

определитель

(0; 0) = −81 < 0 ,

то в силу

достаточных условий заключаем, что в этой точке экстремума нет.

В

точке

M

2

(−3; − 3) :

z′′

(−3; − 3) = −18 ;

z′′ (−3; − 3) = −18;

xx

yy

′′

(−3; − 3) = 9 ; D(-3; - 3) =

-18

9

= (-18)(-18) - 9

2

= 243 .

z yx

9

-18

Т. к.

= 243 > 0 и z

′′ (−3; − 3) = −18 , то в силу достаточных усло-

xx

M 2 (−3; − 3)

вий заключаем, что функция в точке

имеет максимум,

причем max z(x; y) = z(−3; − 3) = 27 .

104

	Тема 9. Ряды
	9.1. Числовые ряды
Пусть задана	бесконечная последовательность	чисел
un , n = 1, 2, 3, K. Выражение
∞	= u1 + u2 + u3 + K + un + K
∑un		(9.1)

n=1

называется числовым рядом. Числа u1 , u2 , K, un , K называют члена-

ми ряда, причем un –	его общим членом.
Конечная сумма
	Sn = u1 + u2 + u3 + K + un ,	(9.2)

слагаемыми которой являются первые n членов ряда (9.1), называется n-й частичной суммой данного ряда.

Определение. Ряд (9.1) называется сходящимся, если существует конечный предел его частичной суммы

lim Sn

= S ,

(9.3)

n→∞

который и называется суммой ряда. В этом случае принимают

∞

S = ∑un .

(9.4)

n=1

В противном случае ряд называется расходящимся.

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд

∞

1

1

1

∑

1

= 1 +

+

+ K +

+ K .

n

2

n

n=0 3

3

3

3

Решение. Составим

n-ю

частичную

сумму

ряда:

S

= 1 +

1

+

1

+ K +

1

. Члены S

являются членами геометрической

n

n

3

32

3n

прогрессии

с

b = 1 и

q =

1

.

Вычислим их

сумму по

формуле

1

3

105

Sn

Sn

=

b1 (1 - qn )

и

найдем

ее

предел.

1 - q

1(1 −

1

)

3

1

3

1

=

3n

=

(1 −

) и lim Sn

= lim

(1 -

) =

3n

1 −

1

2

n→∞

n→∞ 2

3n

3

∞

3

Данный ряд сходится, причем ∑

1

=

.

n

n=0 3

2

Таким образом

3 (1 - 1 ) = 3 .

2 ¥ 2

∞

Полезно иметь ввиду, что ряд ∑ aqn

(a ¹ 0) сходится при

q

< 1 и

расходится при

q

³ 1.

n=0

При изучении сходимости рядов используют необходимый и дос-

таточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда

∞

= 0 .

Если ряд ∑un сходится, то limun

n=1

n→∞

Обратное утверждение неверно.

Замечание. Из необходимого признака сходимости ряда вытекает

достаточное условие расходимости ряда: если limun

¹ 0 или не суще-

∞

n→∞

ствует, то ряд ∑un расходится.

n=1

∞

n

2

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

2

n=1 n

+

1

Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходи-

n2

¥

1

1

мости ряда. Так как lim un

= lim

=

= lim

=

= 1 ¹ 0 ,

1

1 +

0

n→∞

n→∞ n2 + 1

¥

n→∞

1

+

n2

то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно данный ряд расходится.

					∞
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд ∑						1	.
					n=1 n
Решение. Так как limun	= lim	1	=	1	= 0 , то необходимый признак
n→∞	n→∞ n		¥

сходимости выполнен. О сходимости ряда на основании этого призна-

106

ка ничего нельзя сказать. Для изучения его сходимости нужно использовать достаточные признаки сходимости.

Ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным рядом. Рассмотрим далее достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный ряд

∞

∑un

, un

> 0 , n = 1, 2, 3,

K

(9.5)

n=1

и пусть lim

un+1

= l . Тогда, если l < 1, то ряд (9.5) сходится, если l > 1,

n→∞ u

n

то ряд (9.5) расходится.

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, если в un

вхо-

дят выражения an и n!. Если lim

un+1

не существует или же lim

un+1

=1,

n→∞ u

n

n→∞

u

n

то признак Даламбера не позволяет установить сходить ряда (9.5).

∞

2

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд ∑

n

.

n

n=1

3

Решение. Применяем признак Даламбера. Находим предел:

u

n+1

(n +1)2

n2

3n

(n +1)2

1

1

2

1

1

2

lim

= lim

:

=

×

=

× lim 1

+

=

1

+

=

3n+1

¥

n→∞ un

n→∞

3n+1

3n

n2

3 n→∞

n

3

=	1	×1 =	1	.
3			3
Данный предел меньше 1, значит ряд сходится.
Радикальный признак Коши
Пусть дан ряд с положительные членами
∞
∑un , n = 1, 2, 3, K ,					9.6)

n=1

и пусть lim n u = l . Тогда, если l < 1, то ряд (9.6) сходится, если l > 1,

n→∞ n

то ряд (9.6) расходится.

		не существует или же lim n	un	=1
Примечание. Если lim n un					, то
n→∞		n→∞

радикальный признак Коши не позволяет установить, сходится ли исследуемый ряд (9.6).

107

∞

n + 1

n

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n=1

2n + 3

Решение. Этот ряд сходится по радикальному признаку Коши,

т. к. lim n

= lim

n + 1

= lim

1 +

1

+

1 + 0

=

1

< 1.

un

4

n→∞

n→∞ 2n + 3

n→∞ 2 +

3

2 + 0 2

4

Интегральный признак Коши

Если

положительная,

невозрастающая

и

непрерывная

при

∞

x ³ a ³ 1 функция

f (x)

такова, что

f (n) = un , то ряд ∑un и несобст-

n=1

венный интеграл +∞∫ f (x) dx сходятся или расходятся одновременно.

a

∞

1

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n=2

n ln n

Решение. Этот ряд по интегральному признаку Коши расходится,

+∞

dx

т. к. расходится несобственный интеграл ∫

.

2 x ln x

Действительно,

+∞

dx

b

dx

b

d (ln x)

b

∫

= lim

∫

= lim

∫

= limln(ln x)

2 =

2

x ln x

b→+∞

2

x ln x b→+∞

2

ln x

b→+∞

= lim(ln(lnb) − ln(ln 2)) = +∞

b→+∞

Примечание. С помощью интегрального признака Коши можно

∞

1

доказать,

что обобщенный

гармонический

ряд

∑

сходится

при

α

n=1

n

a > 1 и расходится при a £1. Отсюда следует, что гармонический ряд

∞	1
∑		расходится (задача 3).
n=1	n
		Первый признак сравнения
		Рассмотрим два знакоположительных ряда
		∞
		∑un ,	(9.7)
		n=1
		∞
		∑ vn .	(9.8)

n=1

108

Пусть выполняется условие un ≤ vn ( n = 1, 2, 3, K). Тогда, если

сходится ряд (9.8), то сходится и ряд (9.7), если же ряд (9.7) расходится, то расходится и ряд (9.8).

Второй признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел

lim un = A (0 < A < +∞) , то ряды (9.7) и (9.8) сходятся или расходятся
n→∞ v	n
одновременно.
Замечание. При пользовании признаками сравнения во многих

случаях ряды удобно сравнивать с обобщенным гармоническим рядом

∞

1

∑

, который сходится при

α > 1 и расходится при α ≤ 1.

α

n=1

n

∞

1

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

+ n +

n=1 n2

n

∞

1

Решение.

Возьмем для сравнения сходящийся ряд ∑

(этот ряд

2

n=1

n

сходится,

т. к. это обобщенный гармонический ряд с

α = 2 ).

Т. к.

1

<

1

, то по первому признаку сравнения сходится и наш ряд.

n2

+ n +

n

n2

∞

1

Задача 8. Исследовать на сходимость ряд ∑ sin

.

n=1

n

∞

1

Решение. Возьмем для сравнения расходящийся ряд ∑

(этот

n

n=1

ряд расходится, т. к.

это обобщенный гармонический ряд с α =

1

).

sin

0

sin α

2

1

n

lim

=

= 1 (т.

к. lim

= 1 – это первый замечательный пре-

α

n→∞

1

0

n→0

n

дел), следовательно, по второму признаку сравнения расходится и наш ряд.

Рассмотрим знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид

109

	∑∞	(−1)n+1 un = u1 − u2 + u3 − u4 + K,	(9.9)
где un > 0 ,	n=1
	n = 1, 2, 3,	K .
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).
Если члены un ряда монотонно убывают u1 > u2			> u3 > K > un > K
и limun = 0	, то знакочередующийся ряд ∑∞ (−1)n+1 un		сходится, а его
n→∞		n=1

сумма положительна и не превосходит первого члена.

∞ (−1)n

Задача 9. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n=1

n

Решение. Данный ряд является знакочередующимся, поэтому

проверим

выполнение

условий признака

Лейбница. Т. к.

limu

= lim

1

=

1

= 0 , а

1

>

1

> 0 , то оба условия признака Лейбни-

n

∞

n +1

n→∞

n→∞ n

n

ца выполнены. Следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится.

Введем понятие абсолютной и условной сходимости.

∞

Знакопеременный ряд ∑un называется абсолютно сходящимся,

n=1

∞

если ряд ∑ un , составленный из абсолютных величин его членов,

n=1

сходится.

∞

Сходящийся знакопеременный ряд ∑un , не являющийся абсо-

n=1
лютно сходящимся, называется условно сходящимся.
Примером условно сходящегося ряда является ряд ∑∞	(−1)n+1	1	.
n=1		n

Действительно, как показано в задаче 9 этот знакочередующийся ряд по признаку Лейбница сходится. Но ряд, составленный из модулей

∑∞ 1 , является расходящимся гармоническим рядом. Следовательно,

n=1 n

исходный ряд сходится, но не абсолютно, а значит, он является условно сходящимся рядом.

110