Высшая математика для 1 и 2 курса

R

R

R

R

V

=

i

j

k

=

y

z

R

x

z

R

x

y

R

x

y

z

a

´ b

1

1

i -

1

1

j +

1

1

k . (1.16)

1

1

1

y2

z 2

x2

z 2

x2

y 2

x2

y2

z2

Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b и c

называется число,

равное векторному произведению

R

´ b , умножен-

a

R R

ному скалярно на вектор c , и обозначается ab c .

Для векторов, записанных в координатной форме, смешанное произведение вычисляется по формуле

R R R

x1

y1

z1

=

x2

y2

z2

.

(1.17)

abc

x3

y3

z3

Из определения скалярного

произведения

R

R

=

R

×

R

× cosj и

a

× b

a

b

формулы (1.15) можно найти косинус угла ϕ между векторами a и b :

R

x1 x2

+ y1 y2

+ z1 z2

cos j =

ab

=

.

(1.18)

R

×

V

a

b

x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22

Поскольку, площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна

R

R

=

R

×

R

sin j,

(1.19)

a

´ b

a

b

то площадь S треугольника, построенного на векторах a , b , вычисляется по формуле

		1		R	R
	S =			a	´ b		.	(1.20)
		2

Наконец, из определения смешанного произведения векторов a ,

b и c вытекает, что объем треугольной пирамиды, построенной на этих векторах, определяется формулой

	V =	1		R R R		.	(1.21)
				abc
		6

21

1.3. Основные сведения из аналитической геометрии

Общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат имеет вид

		Ax + By + C = 0 .			(1.22)
n			Вектор	n = {A; B}
			называется
				нормальным
			вектором	прямой.	Он
			перпендикулярен		прямой
M 0 (x0 ; y0 )	M (x; y)		(рис. 1.4). Уравнение прямой,
			проходящей	через	точку
	Рис. 1.4		M 0 (x0 ; y0 )	перпендикулярно

вектору n = {A; B}, имеет вид
A(x − x0 )+ B(y − y0 ) = 0 ,	(1.23)
Если две прямые заданы уравнениями	A1x + B1 y + C1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 = 0 , то угол ϕ между ними определяется как угол меж-

ду их нормальными векторами n1 = {A1; B1} и n2 = {A2 ; B2 }:

cos j =

n1

×

n2

=

A1 A2

+ B1 B2

.

(1.24)

R

×

R

n1

n2

A2

+ B2

× A2

+ B2

1

1

2

2

cos ϕ = 0,

Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых –

или

A1 A2 + B1 B2 = 0 ,

(1.25)

а условие параллельности имеет вид

A1

=

B1

.

(1.26)

A2

B2

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 ) до прямой (1.22) вычисляется по формуле

d = Ax0 + By0 + C .

A2 + B2

Рассмотрим другие виды уравнений прямой на плоскости.

22

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 ) параллельно вектору s = {m; n}, имеет вид

		x − x0		=		y − y0	.		(1.27)
		m
						n
Вектор s = {m; n} называется направляющим вектором прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки									M1(x1; y1) и
M 2 (x2 ; y2 ) , записывается по формуле
		x − x1		=	y − y1			.	(1.28)
	x2 − x1
						y2 − y1

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла α наклона прямой к оси Ох (рис. 5). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид

y = k x + b .

(1.29)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 ) , записывается по формуле

y

b

α

0

Рис. 1.5

	y - y0 = k(x - x0 ).	(1.30)
Если две прямые заданы уравне-
ниями	y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 , то ус-
ловие перпендикулярности этих пря-
мых имеет вид
x	k1 × k2 = -1,	(1.31)
а условие параллельности:
k1 = k2 .		(1.32)

Рассмотрим далее различные виды прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой в пространстве (рис. 1.6) имеет вид

		s			x − x0	=	y − y0	=	z − z0	,	(1.33)
					m
							n		p
			M (x, y, z)	где M 0 (x0 ; y0 ; z0 )					– точка, ле-
	M 0 (x0 , y0 , z0 )			жащая на прямой, а s = {m; n; p}
				– направляющий					вектор		пря-
		Рис. 1.6
				мой.
											23

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

M1 (x1; y1; z1) и M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) записывается по формуле
	x − x1		=	y − y1	=	z − z1	.	(1.34)
	x2 - x1			y2 - y1
						z2 - z1
Параметрическое уравнения прямой в пространстве имеет вид
x = x0 + mt,
		= y0	+ nt, − ∞ < t < +∞ .					(1.35)
y
		= z0	+ pt,
z

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат имеет вид

n

∙

M((xx;,yy; z, )z)

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

Рис. 1.7

Ax + By + Cz + D = 0 .	(1.36)
Вектор	n = {A; B;C}

называется нормальным

вектором плоскости. Он перпендикулярен плоскости (рис. 1.7). Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно

вектору n = {A; B;C}, имеет вид

A(x − x0 ) + B(y − y0 )+ C(z − z0 ) = 0 .					(1.37)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 (x1; y1; z1) ,
M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) и M 3 (x3; y3; z3 ) , записывается по формуле
	x - x1	y - y1	z - z1
	x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1	= 0 .	(1.38)
	x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1
Если две плоскости заданы		уравнениями		A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , то угол ϕ между ними определяется как угол

V

V

= {A2

; B2 ;C2 }:

между их нормальными векторами n1

= {A1; B1;C1} и n2

cosj =

n1

×

n2

=

A1 A2

+ B1 B2 + C1C2

.

(1.39)

R

×

R

n1

n2

A12 + B12 + C12 × A22 + B22 + C22

24

Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид cos ϕ = 0, или

A1 A2 + B1B2 + С1С2 = 0 ,

(1.40)

а условие параллельности:

A1

=

B1

=

C1

.

(1.41)

A2

B2

C2

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 )

до прямой (1.36) вычисляется по

формуле

d =

Ax0 + By0

+ Cz0 + D

.

(1.42)

A2

+ B2 + C2

Рассмотрим кривые второго порядка.

Линии, задаваемые уравнением второй степени относительно те-

кущих координат х и у, на-

y

зываются кривыми второ-

M (x; y)

го порядка.

Простейшей

R

кривой

второго

порядка

является окружность.

∙

Определение.

Окруж-

M 0 (x0 ; y0 )

ностью

называется

гео-

метрическое

место

точек,

равноудаленных

от

неко-

торой точки,

называемой

0

x

центром

окружности

Рис. 1.8

(рис. 1.8).

Уравнение

окружно-

сти радиуса R с центром в

точке M 0 (x; y0 ) имеет вид

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .

(1.43)

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат записывается формулой:

x2 + y 2 = R 2 .

(1.43)

Параметрическое уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

25

x = R cost,	0 ≤ t ≤ 2π .	(1.44)
y = R sin t,

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости (фокусов эллипса F1 иF2 ), есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Если оси координат по отношению к эллипсу расположить так, как указано на рис. 1.9, то каноническое уравнение эллипса имеет вид

x2

+

y2

= 1.

(1.45)

a2

b2

y

B2 (0; b)

− a

x =

x =

a

ε

ε

A (−a; 0)

F1 (−c; 0)

0

A2 (a; 0)

F2 (c; 0)

x

1

B1 (0; − b)

Рис. 1.9

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вер-

шинами эллипса. Вершины эллипса

имеют координаты А1 (− а; 0 ),

А2 (а; 0 ), B1 (0; − b),

B2 (0; b). Числа a и b называются соответственно

большей и малой полуосями эллипса. Расстояние между фокусами эллипса обозначим через 2с, тогда полуфокусное расстояние с связано с

полуосями соотношением a2 − b2 = c2 .

Число ε = с , где а – большая полуось, называется эксцентриси- a

тетом эллипса. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса вдоль большей полуоси. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянутый эллипс. Для эллипса 0 < ε < 1 (для окружности ε = 0 ).

26

Две прямые x = − aε , x = aε , перпендикулярные большей полуоси,

называются директрисами эллипса.

Параметрическое уравнение эллипса имеет вид

x = a cost,	0 ≤ t ≤ 2π.	(1.46)
y = bsin t,

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости (фокусов гиперболы F1 и F2 ) есть величина

постоянная (меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля). Если оси координат по отношению к гиперболе расположить так, как указано на рис. 1.10, то каноническое уравнение гиперболы имеет

вид

	x2	−	y2	= 1.	(1.47)
	a2		b2

Точки А1(− а; 0 ) и А2 (а; 0 ) пересечения гиперболы с осью Ох на-

x =

− a

y

x =

a

ε

ε

B2

(0; b)

A (−a; 0)

A2 (a; 0)

1

F (−c; 0)

0

F2 (c; 0)

x

1

B1 (0; − b)

Рис. 1.10

зываются вершинами гиперболы. Ось Ох называется действительной осью, а ось Оу мнимой осью. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Расстояние между фокусами гиперболы обозначим через 2с, тогда полуфокусное рас-

стояние с связано с полуосями соотношением с2 − а2 = b2 .

27

Две прямые:

y = −	b	x ,	y =	b	x	(1.48)
	a			a

называются асимптотами гиперболы. К ним приближаются ветви гиперболы при неограниченном удалении от начала координат.

Число ε = с , где а – действительная полуось, называется эксцен- a

триситетом гиперболы. Очевидно, что для гиперболы ε > 1.

Две прямые x = − aε , x = aε , перпендикулярные действительной

полуоси, называются директрисами эллипса.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки F плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (рис. 1.11).

y

x = − p

2

0	p			x
	F		; 0
		2

Рис. 1.11

Каноническое уравнение параболы в выбранной декартовой системе координат имеет вид

y 2 = 2 px ,

(1.49)

где p – расстояние от фокуса до директрисы. В этой же системе координат уравнение директрисы имеет вид

x = −	p	(1.50)

2

28

Эксцентриситет параболы e =1.

Замечание. Эллипс, гипербола и парабола и только эти кривые обладают общим геометрическим свойством – отношение расстояния от любой точки каждой из этих кривых до фокуса к расстоянию от этой точки до ближайшей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету ε .

1.4. Полярная система координат

Если на плоскости заданы фиксированная точка О, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч с выбранной на нем единицей масштаба, называемый полярной осью, то говорят, что на плоскости задана полярная система координат. В этом случае положение любой точки М на плоскости определяется двумя числами r и ϕ , где r – расстояние от точки М до точки О, ϕ – угол, образуемый вектором

OM с положительным направлением полярной оси. Угол ϕ , отсчи-

тываемый от полярной оси до вектора OM в направлении против часовой стрелки, считается положительным, а отсчитываемый в противоположном направлении – отрицательным ( рис. 1.12).

Обычно считают, что 0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤ r < ∞ . Если r = 0 , точка М

y

x

M

M (r; ϕ)

r

y

ϕ

ϕ

	O		O		x
		Рис. 1.12		Рис. 1.13

совпадает с полюсом О и угол ϕ для нее не определен.

Пусть наряду с полярной системой координат на плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат так, что начало координат совпадает с полюсом О, а ось Оx совпадает с полярной осью. Тогда прямоугольные координаты x и y точки М связаны с ее полярными координатами r и ϕ соотношениями (рис. 1.13)

x = r × cos j ; y = r × sin j .

(1.51)

Из (1.51), в частности, вытекает, что

29

x

y

r =

x2 + y 2 ; cos j =

sin j =

;

.

(1.52)

x2

+ y2

x2

+ y 2

Рассмотрим далее применение вышеизложенных теоретических

сведений к решению типовых задач.

Задача 1.

Даны

координаты

вершин

пирамиды A1 A2 A3 A4 :

A1 (3; 3; 9) , A2 (6; 9;1) ,

A3 (1; 7; 3) , A4 (8; 5; 8) .

Найти: 1) длину ребра

A1 A2 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) угол между ребром A1 A4

и гранью A1 A2 A3 ; 4)

площадь грани A1 A2 A3 ;

5) объем пирамиды; 6)

уравнение прямой A1 A2 ; 7) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 8) уравнение

высоты, опущенной из вершины A4

на грань A1 A2 A3 .

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 1.14). По формуле

(1.10) найдем координаты векторов A1 A2 ,

A1 A3 и A1 A4 :

A1 A2 = {6 − 3; 9 − 3;1 − 9}= {3; 6;− 8},

A1 A3 = {1 − 3;7 − 3; 3 − 9}= {− 2; 4; − 6},

A1 A4 = {8 − 3;5 − 3; 8 − 9}= {5; 2;− 1}. 1) Длину ребра A1 A2 найдем по формуле (1.11):

A1 A2 = 32 + 62 + (-8)2 = 109 .

2) Угол ϕ между ребрами

A1 A2 и A1 A4

найдем как угол между

векторами A1 A2 , A1 A4 по формуле (1.18):

cos j =

A1 A2 × A1 A4

=

3 × 5 + 6 × 2 + (-8) × (-1)

=

A1 A2

×

A1 A4

32 + 62 + (- 8)2

×

52 + 22 + (-1)2

=

35

» 0,6121

,

×

109

30

откуда ϕ = arccos 0,6121 ≈ 52º15'

3) Для нахождения угла α между ребром

A1 A4 и гранью

A1 A2 A3

найдем нормальный вектор n ,

перпендикулярный плоскости A1 A2 A3 ,

в качестве которого можно взять векторное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 , вычисляемое по формуле (1.16):

30