Высшая математика для 1 и 2 курса

2

Задачи 61–70 . Найти dy и d y параметрически заданных функ- dx dx2

ций.

61.x =y =

x =

y =

x =

y =

67.x =y =

x =

y =

t	,	x = t 2 ,
e
	62.		1
cos t.		y =		t 3	− t.
			3

	t cos t,		x = t − sin t,
		64.
	t sin t.		y = 1 − cos t.
	2t − t 3 ,		x = 1 − t 2 ,
		66.
	3t 2 .		y = t − t	3 .
					t
	3cos t,		x = cos			,
				2
		68.
	4 sin 2 t.
			y = t − sin t.
	t 3	+ 8t,	x = cos 3t,
		70.
	t 5	+ 2t.	y = sin 3t.

Тема 4. Исследование функций и построение графиков

Задачи 71–80. Исследовать функцию y = f (x) и построить ее график.

71. y =

73. y =

75. y =

77. y =

79. y =

x2

.72. y =

x3 + 4

.

x −

1

x2

x2

+ 3x + 6

.74. y =

x2

− x − 1

.

x + 2

x + 1

x

.76.

y =

x2 + 1

.

x2

−1

1 − x2

2x2

+ x + 1

.78. y =

1

.

x + 1

x2

+1

8

y =

x

. 80.

.

x2

− 4

1 + x2

171

Задачи 81–90 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [a; b].

81. f (x) = 1 x3 − 3 x2 + 2x, [0; 3].

32

82.f (x) = 18x2 + 8x3 − 3x4 , [0; 4].

83.f (x) = x4 − 2x2 , [0; 2].

84.f (x) = x3 −12x, [–1; 3].

85.f (x) = x + 2 [1; 6].

8x

86.f (x) = x + 3 , [–5; –1].

3x

87.f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 2, [–2; 2].

88.f (x) = x3 − 3x2 , [1; 3].

89.f (x) = x4 + 4x, [–2; 2].

90.f (x) = x3 −12x + 7, [0; 3].

Тема 5. Неопределенный интеграл и его вычисление

Задачи 91–100 . Вычислить неопределенные интегралы: а) методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям.

91.

а) ∫

ln x

dx ;б) ∫ (2x2 + x + 1)ex dx.

x

(arctgx)2 dx

x

92.

а) ∫

;б) ∫ (3x + 2)e 2 dx.

1

+ x

2

93.

а) ∫ xex2 dx; б) ∫ (x2 − x + 1) sin xdx.

94. а) ∫

sin xdx

; б)

∫ x2 ln xdx.

2

cos

x

95. а) ∫

xdx

;б)

∫ (3x2 + 2x −1) cos xdx.

x

2

+ 1

172

96.а) ∫ (2x − 3)dx ; б) ∫ (2x + 5)e3 x+1dx.

x2 − 3x + 8

97.а) ∫ sin3 x cos xdx; б) ∫ x ln xdx.

98.а) ∫ xdxln x ; б) ∫ arctg xdx.

99. а) ∫		x4 dx			; б)	∫ (x + 1) cos 2xdx.
	1 + x		5

100. а) ∫ esin x cos xdx; б) ∫ ln xdx. x2

Задачи 101– 110. Вычислить неопределенные интегралы.

101.

∫

3x2 − 2x + 1

;102.

∫

4x + 9

dx .

(x − 1)(x2

+ 1)

dx

(2 − x)(x2 + 4x + 5)

∫

x2 − x + 5

∫

x + 2

103.

(1 − x)(x2

+ 4)

dx ;104.

x (x2 + 2x + 2)

dx .

∫

x2 + 3x − 2

∫

2x + 4

105.

(x − 1)(x2

+ 1)

dx

106.

(x − 2)(x2 + 4)

dx .

∫

x2 − x + 2

∫

2x2 − 4x + 32

107.

(x + 2)(x2

+ 4)

dx ;108.

x (x2 + 16)

dx .

∫

3x2 − 2x + 1

∫

18 − 6x

109.

(x − 1)(x2

+ 1)

dx

;110.

(x + 3)(x2 + 9)

dx .

Задачи 111–120. Вычислить неопределенные интегралы от иррациональных и от тригонометрических функций.

111. а) ∫

dx

; б)

∫ sin3 xdx.

2 x + 1 + 3

(x + 1)

2

112. а) ∫

dx

; б) ∫ sin2 x cos3 xdx.

3x + 2 − 1

113. а) ∫

xdx

; б)

∫

sin3 xdx

.

x − 4

cos x

173

114. а) ∫

dx

; б) ∫ sin2 2xdx.

(x −1)

3

+ 4

4

x −1

115. а) ∫

dx

; б)

∫

cos3

xdx

.

2x +

sin

2

x

x

116. а) ∫ 2x − 1dx ; б) ∫ cos3 xdx. 3 + 2x −1

117. а) ∫ dx ; б) ∫ sin2 3xdx. x(4 + 4 x)

118. а) ∫ dx ; б) ∫ tg3 xdx. x (2 + 3 x)

119. а) ∫ dx ; б) ∫ cos2 5xdx.

4x + 1 − 4 4x + 1

120. а) ∫ dx ; б) ∫ ctg3 xdx. x + 1(1 − 3 x + 1)

Тема 6. Определенный интеграл и его применение

Задачи 121–130 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, и изобразить фигуру на чертеже.

121.	y = x2	− 4x + 4,	y + x = 4 .
122.	y = x2	+ 4x + 5,	y − 2x = 8 .
123.	y = 1 + ex , x + y = 2, x = 2 .
124.	y = −x2 + 4x + 1, y − x − 1 = 0 .

125.4 y = x2 , y2 = 4x .

126.xy = 6, x + y − 7 = 0 .

127.y = x2 − 2x + 1, y = −x2 + 2x + 1.

128.y = ex , y = e− x , x = 1.

129.xy = 4, x = 4, y = 4 .

174

130. y = 16 , y = 17 − x . x

Задачи 131–140 . Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной указанными линиями, вокруг оси Ox (Задачи 131– 136) или вокруг оси Oy (Задачи 137– 140). Изобразить фигуру

на рисунке.

131.y = x2 , x = y 2 .

132.y = 2x − x2 , y = 0 .

133.xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0 .

134. y = 1 + cos x, x = − π , x = π , y = 0 . 2 2

135. y = 1 + sin x, x = 0, x = π, y = 0 .

136. y = 1 + ex , x = 0, x = 1, y = 0.

137. x2 + y 2 = 1.

49

138.y = x2 +1, y = 3, x = 0 .

139.x = 4 y − y2 , x = 0 .

140.y = x3 , y = 1, x = 0 .

Задачи 141–150. Вычислить несобственный интеграл (или доказать его расходимость).

	+∞									1				dx
141.	∫ xe− x2 dx .142. ∫																.
	0									0			1 − x
	+∞	ln xdx							e				dx
143.	∫						.144. ∫								.
	2		x				1				x ln x
	+∞		dx							+∞				dx
145.	∫							.146.			∫						.
				2
	0	9x				+ 1				2			x ln x
	+∞	x2 dx								2				dx
147.	∫								.148.		∫								.
													(x − 1)					2
			x		3	+	1
	0									1

175

+∞			dx	2		dx
149. ∫				.150. ∫					.
		2
			+ 2x + 2			4 − x	2
−1 x				0

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи 151–160. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

151.	xy′ + y = 3 .152. xy′ − y =	x2 − y2	.
153.	(1 + x2 )y′ − 2xy = (1 + x2 ) 2 .154. xy′ − y = y ln					y	.
						x
155.	y′ − y = ex .156. 2x3 y′ = y(2x2 − y 2 ).
157.	y¢ + 2xy = 3x2 × e− x2 .158. 2x2 y′ + x2 + y 2 = 0 .
159.	(x + 1)y′ + y = x3 + x .160. xy′ = y ln			y	.
				x

Задачи 161–170. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка.

161. y′′ + 2 y′ = x2 .162. y′′ = ln x . x

163. y′′ + y′ tg x = sin 2x .164. y′′(1 + y) − 5(y′)2 = 0 . 165. y′′x ln x = y′ .166. yy′′ = (y′)2 .

167. y′′ − y′ctg x = sin x .168. (y − 2)y′′ = 2(y′)2 . 169. xy′′ = y′ .170. y′′ tg x = y′ + 1.

Задачи 171–180. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

171.	y′′ + 4 y = 0, y(0) = 0,	y′(0) = 2 .
172.	y′′ − 6 y′ + 9 y = 0 , y(0) = 1,		y′(0) = 3 .
173.	y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 , y(0) = 1,		y′(0) = −1.
174.	y′′ + 25 y = 0 , y(0) = 1,	y′(0) = 10 .

176

175.	y′′ + y′ − 20 y = 0	, y(0) = 2,		y′(0) = 1.
176.	4 y′′ + 4 y′ + y = 0	, y(0) = 0,		y′(0) = 2 .
177.	y′′ + 6 y′ + 13 y = 0		, y(0) = 1,	y′(0) = −3 .
178.	y′′ + 8 y′ + 16 y = 0		, y(0) = 2,	y′(0) = −1.
179.	y′′ + 2 y′ + 2 y = 0	, y(0) = 3,		y′(0) = 2 .
180.	y′′ + 5 y′ = 0 , y(0) = 7, y′(0) = −20 .

Задачи 181–190. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка.

181.y′′ − 3y′ + 2 y = 4 e3 x .

182.y′′ − 4 y = 8x3 .

183.y′′ + 4 y′ + 13y = (18x + 6) ex .

184.y′′ + 6 y′ + 8y = 7e3 x .

185.y′′ − 2 y′ + y = 4sin 2x − 3cos 2x .

186.y′′ + 2 y′ + 10 y = 18e− x .

187.y′′ − 6 y′ + 9 y = 2 cos x + 14sin x .

188.y′′ − 6 y′ + 5 y = 5x2 − 12x + 7 .

189.y′′ + 3y′ = (4x − 2) e− x .

190.y′′ − 2 y′ + 26 y = 25 cos x + 2 sin x .

Задачи 191–200. Найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

	dx			= −3x − y,
	191. dt
				x(0) = 0, y(0) = 1.
		dy		= x − y,
	dt

177

	dx					= −7x + y,
	192. dt
						x(0) = 0, y(0) = 1.
		dy				= −2x − 5 y,
	dt
	dx					= 2x + y,
	dt
						x(0) = 2, y(0) = −1.
	193.
		dy				= 6x + y,
	dt
	dx					= 3x − y,
	dt
						x(0) = 2, y(0) = 3.
	194.
		dy				= 4x − y,
	dt
	dx					= −x + 8 y,
	dt
						x(0) = −2, y(0) = 2.
	195.
		dy				= x + y,
	dt
	dx					= 2x + y,
	dt
						x(0) = 3, y(0) = 5.
	196.
		dy				= 3x + 4 y,
	dt
	dx					= x − y,
	dt
						x(0) = 4, y(0) = 4.
	197.
		dy				= −4x + y,
	dt
	dx					= x + y,
	dt
						x(0) = 1, y(0) = 2.
	198. dy
						= −2x + 3 y,
	dt

178

	dx			= −3x + 2 y,
	199. dt
					x(0) = 1, y(0) = 2.
	dxy				= −2x + y,
	dt
	dx			= 5x + 3y,
	dt
					x(0) = 1, y(0) = 0.
	200.
		dy		= −3x − y,
	dt

Тема 8. Функции нескольких переменных

Задачи 201–210 . Проверить, удовлетворяет ли заданному уравнению функция u = u(x; y).

201.	x ∂u + y		∂u = 2, если u = ln(x2 + xy + y2 ).
	∂x		∂y
202.	∂2u	= a2	∂2u	, если u = sin(x + ay), a − const.
	∂y2		∂x2

203.

x

∂2u

=

∂u , если u =

x

.

∂x∂y

∂y

y

204.

x

2 ∂2u + y2

∂2u

= 0,

если u = exy .

∂x2

∂y2

∂u

2 ∂u

2 ∂ 2u

y

205.

− y

= 0, если

u = e x .

x

∂y2

∂x

∂x

206.

∂2u

−

∂2u = 0,

если

u = ln(x2

− y2 ) .

∂x2

∂y2

207.

∂u + ∂u = 1, если u = ln(ex + e y ).

∂x

∂y

208.

∂2u

+

∂2u = 0,

если

u = arctg

y

.

∂x2

∂y2

x

209.

∂2u

−

∂2u = 0,

если

u = ln(x2 − y2 ).

∂x2

∂y2

179

210. a2 ∂2u = ∂2u , если u = sin(x − ay). ∂x2 ∂y2

Задачи 211–220 . Исследовать функцию z = z(x; y) на экстремум.

211.z = xy − x2 − 2 y 2 + x + 10 y.

212.z = 3x2 + 3xy + y 2 − 6x − 2 y.

213.z = 3xy − x2 − 4 y2 + 4x − 6 y.

214.z = 3x2 + 5xy + 3y 2 + 4x + 7 y.

215.z = 3xy − x2 − 3y 2 − 6x + 9 y.

216.z = x2 + 3xy + y2 − x − 4 y.

217.z = x2 − xy + y 2 + x + y.

218.z = 3x2 + 5xy + 3y2 + x − y.

219.z = x2 + 2xy − y2 + 6x − 10 y.

220.z = −5x2 − 4xy − y 2 − 4x − 2 y.

Задачи 231–240 . Дана функция z = z(x; y) , точка A(x0 ; y0 ) и вектор a . Найти gradz в точке А и производную функции z в точке А по направлению вектора a .

221.

z = arctg(x2 y) , A ( 2 ; 1),

R

= 3 i

+ 4 j .

a

222.

z = ln(4x 2 + 5 y 2 ) , A(1;1),

R

− 8 j .

a = 15i

y 2

R

223.

z = arcsin

, A(3;1),

a

= 12i − 5 j .

x

R

224.

z = x2

− y 2

, A(5; 4),

= 8i − 15 j .

a

225.

z = 2x2

+ 3xy + 4 y , A(1; 3),

R

= 4i

+ 3 j .

a

R

226.

z = arctg xy

, A(1; 4),

= 5i + 12 j .

a

227.

z = ln(x2 + 2xy + y2 ) , A(1;1),

R

a = 6i + 8 j .

180