Высшая математика для 1 и 2 курса

2

−

2

+

1

f (x)

x2 − 2x +

x

1

k = lim

= lim

1

= lim

x

x2

= 1;

x→±∞ x

x→±∞ x(x − 2)

x→±∞

2

−

2

x

1

x

b = lim( f (x) - k × x) = lim

x2

- 2x + 1

- x = lim

1

= 0 ,

x→±∞

x→±∞

x - 2

x→±∞ x - 2

то наклонной асимптотой будет прямая y = x .

4.5. Выпуклость и вогнутость графика функции

Определение. График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым в интервале (a; b) , если он расположен ниже лю-

бой своей касательной на этом интервале (рис. 4.2 а).

Определение. График дифференцируемой функции y = f (x) называется вогнутым в интервале (a; b) , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 4.2 б).

y	y

O a b x O a b x

	a	б
		Рис. 4.2

График функции в одних интервалах может быть выпуклым, в других – вогнутым. Например, график функции y = sin x , рассматри-

ваемый в интервале от 0 до 2π , выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в интервале (π; 2π) .

Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий установить, является ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

61

Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f ′′(x) во всех точках интервала (a; b) . Если во всех точках этого интервала f ′′(x) < 0 , то график функции в этом интервале выпуклый, если же f ′′(x) > 0 – вогнутый.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. В этих точках изменяется направление вогнутости графика функции.

В точке перегиба M 0 (x0 ; y0 ) вторая производная f ′′(x0 ) равна нулю или не существует.

Задача 4. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию f (x) = x3 − 3x .

Решение.		Находим	вторую	производную:		f ′(x) = 3x2 − 3,
f ′′(x) = 6x . Приравниваем			f ′′(x) к нулю:		6x = 0 , откуда x = 0 . Видим,
что если	x < 0 ,	то f ′′(x) = 6x < 0 , а если			x > 0 , то	f ′′(x) = 6x > 0 , за-
ключаем, что в интервале (−∞,0 )				график выпуклый, а в интервале
(0, + ∞ ) –	вогнутый. При x = 0			функция имеет		точку перегиба
(рис. 4.3).

y

O

x

Рис. 4.3

4.6. Общая схема исследования функции и построения графика

При исследовании функций и построении их графиков полезно придерживаться следующей схемы:

62

1) найти область определения функции и интервалы непрерывно-

сти;

2)если есть точки разрыва, найти односторонние пределы функции в этих точках и изобразить на чертеже поведение функции в каждой точке разрыва;

3)исследовать функцию на четность и нечетность, периодич-

ность;

4)найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, если они есть;

5)найти интервалы монотонности функции и точки экстремума;

6)найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

7)найти точки пересечения графика функции с координатными осями (если это возможно) и построить график, с учетом полученных результатов.

Задача 5. Исследовать функцию	y =	x2		и построить ее график.
		x2 −1

Решение

1)Функция не определена при x1 = −1 и x2 = 1, поэтому область определения функции D(y) = (− ∞, − 1) U (− 1, 1) U (1, + ∞).

2)Т. к. в точках x1 = 1 и x2 = −1 функция не определена, то это

точки разрыва функции. Исследуем поведение функции в окрестности этих точек. Для этого вычислим односторонние пределы:

y(1 + 0) = lim

x2

= lim

x2

=

1

=

1

= +∞ .

− 1

(x + 1)(x − 1)

+ 0

− 1)

2(+

0)

x→1+0 x2

x→ 1+0

2(1

Вычисленный односторонний предел оказался бесконечным, поэтому прямая x = 1 будет вертикальной асимптотой графика функции.

y(1 − 0) = lim

x2

=

1

=

1

= −∞.

(x + 1)(x − 1)

− 0

− 1)

2(−

0)

x→1−0

2(1

Вычислим односторонние пределы функции в точке x2 = −1:

	y(−1 + 0) = lim	x2		=	1		=	1		= −∞ ;
		(x + 1)(x − 1)			− 2(− 1 + 0 + 1)			− 2(+ 0)
	x→−1+0

63

	y(-1 - 0) = lim	x2		=	1	=	1	= +¥ .
		(x + 1) (x -1)			- 2(-1 - 0 + 1)		- 2(- 0)
	x→−1−0

Односторонние пределы и в точке x = −1 оказались бесконечными, поэтому прямая x = −1 будет вертикальной асимптотой графика функции.

3) Поскольку y(- x) =	(- x)2	=	x2		= y(x), то функция четная.
	(- x)2 -1 x2 -1

4) Т. к. односторонние пределы функции в точках x1 = −1 и x2 = 1, то прямые x1 = −1 и x2 = 1 будут вертикальными асимптотами графика

функции.

y = k x + b

Для нахождения наклонной асимптоты (4.1)

графика

функции

вычислим

два

предела (4.3):

k = lim

f (x)

и

b = lim ( f (x) − k x):

x→ ∞

x

x→∞

x2

¥

1

1

k = lim

=

= lim

=

= 0 ;

1

x→∞ x(x2 -1)

¥

x→∞ x(1 -

)

¥

2

x

x2

x2

1

1

2

- 0

= lim

2

= lim

1 =

=1.

b = lim

× x

x→ ∞ x

-

1

x→∞ x

-1

x→∞ 1

-

1 -

0

x2

Значит,

прямая

y = 0 × x + 1,

т.

е.

y = 1

–

это

горизонтальная

асимптота графика функции и при х®+¥, и при х® –

¥.

5) Вычислим

производную, найдем критические точки,

интерва-

лы монотонности и точки экстремума:

′

x

2

= 2x(x

2

-1)- x

2

× 2x = - 2x

;

y¢ =

(x2 -1)2

(x2 -1)2

x2 -1

y¢ =

− 2x

= 0, x = 0 .

(x2 -1)2

В точках x1 = −1 и x2 = 1 производная не существует.

64

Составим таблицу изменений знака производной y′ (табл. 4.1).

Таблица 4.1

x

(– ∞; –1)

–1

(–1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; + ∞)

y′

+

не сущ.

+

0

–

не сущ.

–

y

возр.

экстр.

возр.

макс.

убыв.

экстр.

убыв.

нет

ymin

= 0

нет

Т. к. y′ > 0 при x (− ∞; − 1) U (− 1;0), то на этих интервалах функ-

ция возрастает.

При x (0; 1) U (1; + ∞)

производная

y′ < 0 , следова-

тельно, на этих интервалах функция убывает.

Поскольку

′

= 0 – единственная критическая точка

y (0) = 0 , то x

функции, а т. к. y′ меняет знак в точке 0 с «+» на «–»,

то x = 0 – точ-

ка максимума функции, причем y(0) = 0 .

y

				4
				3
				2
				1
			− 2 −1		0
− 4		− 3		1									2	3	4	x
							−1
						− 2

Рис. 4.4

6) Интервалы выпуклости и вогнутости найдем по знаку производной второго порядка y′′ . Найдем вторую производную и возмож-

ные точки перегиба:

	- 2x	′		1× (x2 -1)2 - x × 2(x2 -1)2x			2(1 + 3x2 )
y¢¢ =			= -2			=			.
	2			4			(x2	3
	(x2 -1)				(x2 -1)			-1)

65

В точках x1 = −1 и x2 = 1 вторая производная не существует. Составим таблицу изменений знака y′′ (табл. 4.2).

						Таблица 4.2
х	(– ¥; –1)	–1		(–1; 1)	1	(1; + ¥)
y′′	+	не сущ.		–	не сущ.	+
у	È (вогн.)	не сущ.		Ç (выпукл.)	не сущ.	È (вогн.)
Итак, на интервалах (– ∞; –1)			и (1; +∞) график функции вогнутый,

ана интервале (–1; 1) – выпуклый. Точек перегиба нет.

7)Учитывая, что y(0) = 0, строим график (рис. 4.4).

Задача 6. Исследовать функцию y = xe− x и построить ее график.

Решение

1)Область определения функции – вся числовая прямая, т. е.

D( y) = R .

2)Данная функция является элементарной функцией, определенной на всей числовой оси, значит, точек разрыва, а следовательно и вертикальных асимптот нет.

3)Т. к. y(- x) ¹ y(x) и y(- x) ¹ -y(x), то y(x) – ни четная, ни

нечетная функция.

4) Исследуем наличие наклонной асимптоты при x → +∞ . Т. к.

k = lim

f (x)

= lim

xe− x

= lim

1

=

1

= 0 :

x

→ + ∞ x

x

→ + ∞ x

x

→ + ∞ e

x

+ ∞

b = lim ( f (x) − k x) = lim

x

= ∞

= lim

x′

= lim

1

=

1

= 0 ,

(e x )′

e

x

∞

e

x

+ ∞

x→+ ∞

x→+ ∞

x→+ ∞

x→+ ∞

то прямая у = 0 – горизонтальная асимптота графика функции при

x → +∞ (являющаяся		частным			случаем		наклонной асимптоты при
x → +∞ ).
Исследуем наличие наклонной асимптоты при x → −∞ . Т. к.
k = lim	f (x)			= lim	xe− x	= lim	1	= e+∞ = +∞ ,
		x			x
x→ − ∞				x→ − ∞		x→ − ∞ e x

то при x → −∞ наклонной асимптоты нет.

66

5) Вычислим производную, найдем критические точки, интервалы монотонности и точки экстремума:

y¢ = (xe−x )′ =1×e−x - x ×e−x = (1- x)e−x : y′ = (1 − x)e− x = 0 x = 1.

Составим таблицу изменений знака производной y′ (табл. 4.3).

								Таблица 4.3
x		(– ∞; –1)				1		(1; +∞)
y′		+				0		–
				максимум
y		возрастает		y		= e−1		убывает
					max
Т. к.	y′ > 0 при x < 1 и y′ < 0 при x > 1, то функция при x < 1
возрастает, а при x > 1 убывает. Т. к.				y′(1) = 0 , то x = 1 –				единственная

критическая точка функции. Поскольку в критической точке функция меняет знак с «+» на «–», то x = 1 – точка максимума функции и

y(1) = e−1 = 1 . e

6) Интервалы выпуклости и вогнутости найдем по знаку производной второго порядка y′′ . Найдем вторую производную и возмож-

ные точки перегиба:

y′′ = ((1− x) e−x )′ = −e−x − (1− x) e−x = (x − 2) e−x ; y′′ = (x − 2) = 0 x = 2 .

Составим таблицу изменений знака y′′ (табл. 4.4).

						Таблица 4.4
	х	(– ¥; 2)		2		(2; + ¥)
	y′′	–		0		+
	у	Ç (выпукл.)		2 × e−2		È (вогн.)
	Т. к. y′′ > 0 при x > 2 и y′′ < 0 при x < 2 , то при x > 2 график
функции вогнутый, а при x < 0 –			выпуклый.		Т. к. в точке x = 2 y′′
меняет знак, то точка M (2; 2a−2 ) –			точка перегиба графика функции.

67

7) Учитывая, что y(0) = 0 , строим график функции (рис. 4.5).

y

	e−1	M
	e−2

− 0 2 x

−

Рис. 4.5

68

Тема 5. Неопределенный интеграл

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F (x) называется первообразной для за-

′
данной функции f (x), если F (x) = f (x).
Определение. Множество всех первообразных для функции f (x)
называется неопределенным интегралом от функции	f (x) и обозна-
чается ∫ f (x)dx .
Итак, если F ′(x) = f (x) , то
∫ f (x) dx = F(x) + C .	(5.1)

При вычислении неопределенных интегралов используют свойства интегралов, таблицу неопределенных интегралов, различные методы интегрирования, а также тождественные преобразования подынтегральной функции.

Свойства неопределенных интегралов.

1.∫ dF (x) = F (x) + C.

2.∫( f ( x) ± g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx.

3.	∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx, где k = const.
4.	∫ f (ax + b)dx =	1	F (ax + b) + C .
		a

Таблица неопределенных интегралов.

α+1

1. ∫ xα dx = αx + 1 + C, (n ¹ -1).

2. ∫ dxx = ln x + C. 3. ∫ ex dx = ex + C.

4. ∫ a x dx = a x + C. lna

69

5.∫sin xdx = −cos x + C.

6.∫ cos xdx = sin x + C.

7. ∫

dx

= tgx + C.

cos

2

x

8. ∫

dx

= −ctgx + C.

sin

2

x

9. ∫

dx

= arcsin

x

+ C.

a

2

− x

2

a

10 ∫

dx

=

1

arctg

x

+ C.

a

2

2

+ x

a

a

11. ∫

dx

=

1

x − a

+ C.

ln

x

2

2

x + a

− a

2a

dx

12. ∫

= ln

x +

x 2 ± a 2

x 2

± a 2

1

Задача

1. Вычислить ∫ 4x3

-

2

x

+ C.

		2				1
+				-
		+ x	2			25 + x	2		dx .
9

Решение. Используя свойства и таблицу неопределенных интегралов, получим:

		3		1			2				1
	4x		-			+			-
∫				x	2		9 + x	2			25 + x	2	dx =

= 4∫ x3 dx −∫ x−2 dx +2∫

dx

− ∫

dx

=

2

+ x

2

3

5

2

+ x

2

x3+1

- 2 + 1

2

x

= 4 ×

-

+

arctg

- ln

x +

25 + x

2

+ C =

x−2+1

3 + 1

3

3

= x4

+

1

+

2

x

− ln

x +

+ C .

arctg

25 + x2

x

3

3

70