Высшая математика для 1 и 2 курса

Распределение Пуассона

Если вероятности возможных значений дискретной случайной ве-

личины ξ вычисляются по формуле Пуассона P (k ) = l k× e−λ , то рас-

n

k!

пределение называется распределением Пуассона. Его числовые характеристики:

M ξ = Dξ = np = λ ; sξ =

np

.

(12.39)

Закон равномерного распределения

Распределение непрерывной случайной величины ξ называется равномерным, если ее плотность вероятности постоянна на промежутке (a; b] , т. е. имеет вид:

0,		x £ a,
p(x) =	1	, a < x £ b,	(12.40)
b - a		x > b.
0,

Интегральная функция распределения имеет вид:

0,

x £ a,

- a

F (x) =

x

, a < x £ b,

(12.41)

b - a

1,

x > b.

Числовые характеристики равномерного распределения:

M

ξ

=

b + a

; D =

(b − a)2

; σ

ξ

=

b −

a

.

(12.42)

2

ξ

12

2

3

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (α; β) будет равна:

p(a < x < b) = β − α .	(12.43)
b - a

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина называется распределенной по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

151

p(x)

0,

x < 0,

= le−λx ,

x ³ 0,

l > 0.

(12.44)

Интегральная функция распределения имеет вид:

0,

x < 0

(12.45)

F (x) =

0

1 - e−λx , x ³

Числовые характеристики:

M

ξ

=

1

; D =

1

; σ

ξ

=

1

(12.46)

λ

λ

ξ

λ2

Вероятность попадания в заданный интервал (α; β) будет равна:

p(a < x < b) = e−λα - e−λβ

(12.47)

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

			p(x) =	1				−	( x−a )2
									2
							e		2σξ	(12.48)
				σξ
					2π
где M	ξ	= a ; D = σ2 .
		ξ	ξ

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (α; β) вычисляется по формуле

p(α < ξ < β) = Φ	β − a
	σ	ξ

α − a

− Φ σ . (12.49)ξ

Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания на величину δ равна;

δ

p(

ξ − M

< δ)= 2Φ

.

(12.50)

ξ

σ

ξ

Здесь Φ(x) =

1

x

2

∫ e

−

t

dt –

функция Лапласа;

F(-x) = -F(x) –

2

2π

0

функция нечетная;

F(0) = 0 ; F(x ³ 5) = 0,5 .

Значения функции F(x)

представлены в табл. П2.

152

Задача 13. Случайная величина ξ – время работы радиолампы – распределена по показательному закону. Среднее время работы лампы 400 часов. Найти вероятность того, что радиолампа проработает не менее 600 часов.

Решение. По условию					M ξ = 400 . Для показательного закона
распределения M	ξ	=	1	= 400 . Следовательно, λ =		1	. Искомую веро-
			λ
					400

ятность p(x ³ 600) будем искать, используя вероятность противоположного события и формулу (12.47):

	−	0	- e	− 600400		= e	−	3	» 0,22 .
		400						2
p(ξ ³ 600) = 1 - p(0 £ ξ < 600) = 1 - e

Задача 14. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10.

Найти:

а) вероятность попадания

случайной

величины в интервал

(20; 50);

ξ − Мξ

< σξ ) .

б) вероятность p(

β = 50;

Решение. а) По

условию

α = 20 ;

a = 30 ; σ = 10 . По фор-

муле (12.49) и табл. П2 получим:

50 − 30

20 − 30

p(20 < ξ < 50) = Φ

− Φ

= Φ(2) − Φ(− 1) = Φ(2) + Φ(1) =

10

10

= 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

б) По формуле (12.50) получим:

p(

x - М

< s

) =

2F

sξ

= 2F(1) = 2

× 0,3413 = 0,6826 .

ξ

ξ

sξ

153

- xmin .

Тема 13. Математическая статистика

13.1. Статистический ряд и его описание

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые, однородные, случайные явления, на основе изучения статистических данных – результатов наблюдений.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений случайной величины ξ.

Выборкой объема n называется множество x1, x2 , ×××, xn наблюдае-

мых значений изучаемой случайной величины, которые соответствуют n независимым испытаниям (опытам).

Размах выборки W – разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки: W = xmax

Статистический ряд – совокупность пар (xi , ni ), i = 1, k , где xi

	− разные элементы выборки,					ni частота появления выборочного зна-
				k
	чения xi . Очевидно, что ∑ni					= n .
			ni	i =1
	Величины ω =			, i =
					1, k	называются относительными частотами
		i	n
	k
	и для них ∑ωi	= 1.

i=1

Обычно статистический ряд записывают в виде табл. 13 1.

								Таблица 13.1
xi		x1			x2		...		xk
ni	n1				n2		...	nk
ωi		n1			n2		...		nk
		n			n				n

При изучении непрерывной случайной величины или при большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы и записывают интервальный статистический ряд (табл. 13.2).

Если все интервалы имеют одинаковую длину h, то h = W . Коли- k

чество интервалов выбирают по формуле

154

		k = 1 + 3,2 lg n .						(13.1)
								Таблица 13.2
Интервал	[ xmin ; x2 )			[x2 ; x3 )			...	[xk ; xmax ]
Середина интервала		x1*			x*2		...		x*k
Частота	n1			n2			...	nk
Относительная		n1			n2		...		nk
частота		n			n				n

Полигоном частот статистического ряда называется ломаная линия с вершинами в точках (xi ; ni ), i = 1, k .

Полигоном относительных частот статистического ряда назы-

			n
вается ломаная линия с вершинами в точках	xi	;	i	, i = 1, k .
			n

Гистограммой относительных частот статистического интер-

вального ряда называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группирования с высотой

прямоугольников ni . Площадь каждого прямоугольника равна ni , а

nh			n
сумма площадей всех прямоугольников равна 1.
Эмпирической функцией распределения F * (x)			называется
функция
F * (x) = ∑	ni	.	(13.2)
xi < x n

Эта функция непрерывна слева, обладает всеми свойствами функции распределения случайной величиныF (x) = P(ξ < x) и является приближенным представлением последней.

13.2. Статистическая оценка параметров распределения

Анализ полигона, гистограммы и эмпирической функции распределения дает возможность сделать предположение о законе распределения изучаемой случайной величины. Данный закон может быть установлен и на основании теоретических предположений.

Затем возникает задача оценки параметров предполагаемого закона распределения по полученной выборке. Оценкой параметра на-

155

зывают функцию от выборки, значение которой является приближенным значением параметра. Оценки параметров подразделяются на точечные и интервальные. Точечные оценки задаются одним числом, а интервальные – границами доверительного интервала. Точечные оценки должны удовлетворять определенным требованиям.

Несмещенной называется статистическая оценка Θ~ , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки, т. е. M (Θ~ ) = Θ .

Эффективной называется статистическая оценка, которая (при данном объеме выборки) имеет минимально возможную дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при n → ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т. е.

P(

~

< ε) → 1.

Θ − Θ

n→∞

Точечной оценкой математического ожидания является выбороч-

ное среднее

1

k

=

∑ xi ni .

(13.3)

x

n i=1

Для интервального статистического ряда (табл. 13.2)

1

k

=

∑ xi ni .

(13.4)

x

n i=1

Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия

в ,

D

которая вычисляется по формуле

k

k

=

1

∑ ni (xi −

)2 =

1

∑ xi2ni

−

2 .

Dв

x

x

n i=1

n i=1

Эта оценка является смещенной. Несмещенной оценкой дисперсии

D является s2 =

n

D . Для статистического ряда выборки объема

ξ

n − 1

в

n она вычисляется по формуле

n

n

s2 =

1

∑(xi −

)2

=

1

∑ xi2 −

n

2.

(13.5)

x

x

n −1

n −1 i=1

n −1 i=1

Для интервального статистического ряда (табл.13.2)

156

s2 =	1 ∑(xi* − x )2 ni =		1 ∑(xi* )2 ni −		n		x 2 .		(13.6)
		k		k
		i=1		i=1
	n − 1		n − 1		n − 1

Оценкой среднеквадратического отклонения служит корень из несмещенной оценки дисперсии, т. е. s.

Доверительным интервалом для параметра Θ называется интервал (α1; α2 ), который покрывает неизвестный параметр Θ с заданной

надежностью γ = 1− α , т. е. P(α1 < Θ < α2 ) = γ . Число γ = 1 − α называется доверительной вероятностью, а значение α – уровнем значимости. На практике обычно используют уровни значимости: 0,1; 0,05;

0,01.

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины ξ при данном уровне

значимости α и известной дисперсии D = σ2

имеет вид

ξ

ξ

σ

ξ

σ

ξ

− tγ

,

+ tγ

,

(13.7)

x

x

n

n

где tγ

определяется из условия

2Φ(tγ )= γ = 1 − α , или

Φ(tγ ) = γ / 2 и

x

t 2

Φ(x) =

1

∫ e−

2 dt − функция Лапласа (табл. П3).

2π

0

При неизвестной дисперсии генеральной совокупности использу-

ется формула

s

s

x − tα; ν

, x + tα; ν

,

(13.8)

n

n

где tα; ν определяется с помощью таблицы значений распределения Стьюдента по данному числу степеней свободы ν = n − 1 и уровню

значимости α (приложение 3). Здесь s − оценка среднеквадратического отклонения (13.4). Отметим, что при объеме выборки n > 30 вместо распределения Стьюдента можно пользоваться нормальным распределением.

Задача 1. Даны результаты наблюдения случайной величины, записанные в следующей таблице

157

Таблица 13.3

36	39	43	45	26	34	50	33	36	57
29	40	31	34	17	47	39	35	41	28
25	30	39	36	49	42	24	27	20	52
36	33	18	32	56	37	40	29	31	46
38	19	28	33	42	26	35	37	34	48
44	22	36	49	30	27	40	32	41	43
45	38	24	37	46	36	29	25	39	52
50	21	38	34	41	47	29	31	28	35
44	55	39	30	27	32	34	40	54	36
25	53	45	33	43	37	26	42	28	51

1)Построить гистограмму относительных частот.

2)Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

3)Определить гипотетическую плотность закона распределения.

4)Вычислить выборочное среднее значение x и несмещенную

оценку дисперсии s2 .

5)Найти доверительный интервал для математического ожидания

сдоверительной вероятностью γ = 0,95.

Решение. Поскольку объем выборки достаточно большой n = 100 , то строим интервальный статистический ряд. Количество интервалов вычисляем по формуле (13.1) k = 1 + 3,2lg100 = 1 + 6,4 = 7,4 Принимаем

k = 7 . Размах выборки W = 57 − 17 = 40 . Длина интервала будет h = 40 . 7

Принимаем h = 6 . Находим количество элементов выборки в каждом интервале и строим интервальный статистический ряд (табл. 13.4)

1) Строим гистограмму относительных частот (значение высот вычислено и записано в четвертой строке табл. 13.4).

158

Таблица 13.4

Интервал						[17 –	[23 –	[29 –	[35 –	[41 –	[47 –	[53 –
[xi-xi+1)						23)	29)	35)	41)	47)	53)	59]
Середина						20	26	32	38	44	50	56
интервала, x
				i
Частота, ni						6	15	22	26	16	10	5
Относительная час-
тота, ωi =			ni			0,06	0,15	0,22	0,26	0,16	0,1	0,05
			n
Высота,		ni				0,01	0,025	0,037	0,043	0,027	0,017	0,008
	hn

ni

hn

0,04

0,03

0,02

0,01

O

17

23

29

35

41

47

53

59

x

Рис. 13.1

2) Запишем эмпирическую функцию распределения F (x) по формуле (13.2):

159

	0,	если	x £ 20,
			20 < x £ 26,
	0,06	если
	0,21	если	26 < x £ 32,
		если	32 < x £ 38,
F	0,43
	(x) =		38 < x £ 44,
	0,69	если
	0,85	если	44 < x £ 50,
			50 < x £ 56,
	0,95	если
		если	x > 56.
	1

Строим график функции распределения (рис. 13.2)

F (x)

1,00

0,43

0,21

0,06

	O								x
	20			26	32	38	45	50
									56
					Рис. 13.2

3) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины. Данный закон содержит два

параметра a и σ : M ξ = a ; Dξ = σ2 .

4) Найдем точечную оценку математического ожидания по фор-

муле (13.4):

x = 1 (20 × 6 + 26 ×15 + 32 × 22 + 38 × 26 + 44 ×16 + 50 ×10 + 56 ×5) = 100

160