Высшая математика для 1 и 2 курса

z = ψ	2 (x; y)
z

			z = ψ1 (x; y)
	O
	a						y
		y = ϕ1 (x)
				D		y = ϕ2
							(x)
b

x	Рис.10.8

В тройном интеграле сначала вычисляют интеграл по переменной z , считая x и y посто-

янными. Таким образом, тройной интеграл сводит к двойному, и затем можно интегрировать по переменной y , считая x

постоянной, наконец интеграл по переменной x . Получившееся число и есть искомый тройной интеграл.

Задача 3. Вычислить ∫∫∫ xdxdydz , где V – область, ограниченная

V

плоскостями x = 1, y = 2x, z = 0 и x + y + z = 4 .

Решение. Область V – это усеченная призма, изображенная на рис. 10.9. Проекция этой призмы на плоскость xОy – это треугольник, изображенный на рис. 10.9. В соответствии с формулой (10.8) получим:

			1	2 x	4− x− y					1	2 x
∫∫∫xdxdydz = ∫ dx ∫ dy						∫ xdz = ∫ dx ∫ (xz									4− x− y			)dy =
														0
V			0	0		0				0	0
1	2 x					1										y 2				2 x
= ∫ dx ∫(x(4 − x) − xy)dy = ∫ x(4										− x)y − x												dx =
0	0					0										2				0
																						1
1		2		1	2			3			8x3							4					8				5
= ∫ (x(4 − x)2x − x2x			)dx	= ∫ (8x		−	4x		)dx =						− x							=			− 1	=		.
0				0							3											0	3				3

121

y

					2
			z = 4 − x − y			y = 2x
					1
						D
		O	y = 2x			1
	1	D		y	O
						x
	x	Рис. 10.9				Рис. 10.10

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла значительно упрощается, если от декартовой системы координат x; y; z перейти

кцилиндрическим координатам r; ϕ; z по формулам:

x= r cosϕ , y = r sin ϕ , z = z (0 ≤ r ≤ +∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, − ∞ < z < +∞) (10.9)

Тройной интеграл преобразуется следующим образом:

∫∫∫ f (x; y; z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ; r sin ϕ; z)rdrdϕ dz .		(10.10)
V	V

Вычисление стоящего в правой части (10.10) интеграла осуществляется путем его преобразования к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Задача 4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y 2 и z = 9 .

Решение. Изобразим тело, ограниченное эллиптическим параболоидом z = x2 + y2 и плоскостью z = 9 , перпендикулярной оси Оz

(рис. 10.11).

Проекция этого тела на плоскость xOy − это круг радиуса R = 3 (рис. 10.12), т. к. линией пересечения данных поверхностей является окружность x2 + y2 = 32 , лежащая в плоскости z = 9 .

122

Учитывая, что уравнение эллиптического параболоида в цилиндрических координатах имеет вид z = r 2 cos2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = r 2 , а уравнение окружности: r = 3 , и полюс находится внутри области D, вычислим объем тела с помощью тройного интеграла в цилиндрических координатах:

							2 π			3	r 2		2 π			3			r	2
V = ∫∫∫1× dxdydz = ∫∫∫rdrdjdz = ∫ dj∫ dr ∫ rdz = ∫ dj∫ (r z																					)dr =
																			0
V		V					0			0	0			0		0
2π	3	2 π		4		3	81		2π		81				81p
	3	r
= ∫ dj∫ r		dr = ∫				dj =				∫ dj =			2p =				(куб. ед.).
			4				4				4					2
0	0	0				0				0

		y
		3
9		D
	z = x2 + y2	O	3
			x
O	y
x Рис. 10.11		Рис. 10.12

10.3. Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл по длине дуги или интеграл 1-го рода от функции z = f (x; y) по кривой L определяется как конечный пре-

дел соответствующей интегральной суммы [2] и обозначается

∫ f (x; y)ds .	(10.12)
L

Если f (x; y) ≡ 1 на кривой L, то интеграл (10.12) численно равен

длине кривой L .

Криволинейные интегралы по координатам или интегралы 2-го рода от функций P(x; y) и Q(x; y) по кривой L также определяются

123

как конечные пределы соответствующих интегральных сумм [2] и обозначаются

∫ P(x; y)dx ;	∫ Q(x; y)dy		(10.13)
L	L
или в общем случае
∫ P(x; y)dx + Q(x; y)dy .			(10.14)
L
Криволинейный интеграл 2-го рода вида (10.14) численно равен
→	→		→
работе, производимой силой F (x; y) = P(x; y)× i		+ Q(x; y)× j при пере-
мещении материальной точки вдоль кривой L.
Если кривая L является графиком функции y = y(x),			a ≤ x ≤ b , то

криволинейные интегралы вычисляются их сведением к определенным интегралам по формулам

∫ f (x; y)ds = ∫b		f (x; y(x))		dx ,
			1 + (y¢(x))2		(10.15)
L	a

∫ P(x; y)dx + Q(x; y)dy = ∫b (P(x; y(x))+ y¢(x)Q(x; y(x)))dx . (10.16)

L a

Если кривая L задана параметрическими уравнениями x = ϕ(t ), y = ψ(t ), α ≤ t ≤ β , то криволинейные интегралы вычисляются сведением к определенным интегралам по формулам

b

∫ f ( x; y )ds = ∫ f (j(t );y(t )) × (j¢(t ))2 + (y¢(t ))2 dt ; (10.17)

L a

∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy =

L

= ∫β (P (j(t ); y(t ))

α

× j¢(t ) + Q (j(t ); y(t )) y¢(t ))dt .

(10.18)

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл ∫ y2ds , где L –

L

часть окружности x = a cos t , y = a sin t , 0 £ t £ π .

2

124

Решение. Т. к. кривая L задана параметрическими уравнениями, то для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги используем формулу (10.17):

π

2

∫ y2ds = ∫(a sin t )2 × (-a sin t )2 + (a cost )2 dt =

L

0

π

π

2

2

= a2 ∫sin2 t ×

sin2 t + cos2 tdt = a3 ∫sin2 tdt =

0

0

π

π

a3 2

(1

- cos 2t ) dt =

a3

1

2

pa3

=

∫

t

-

sin 2t

=

.

2

0

2

2

0

4

Задача 2. Вычислить

работу

А,

производимую

силой

R

R

при перемещении материальной точки вдоль

F (x; y) = (xy - x2 ) i

+ x j

дуги параболы y = 2x2 от точки O(0; 0) до точки B(1; 3) .

Решение. Вычислим работу А с помощью криволинейного интеграла 2-го рода по формуле (10.18), учитывая, что

P(x; y) = xy - x2 , Q(x; y) = x :

	∫				2				1						2					2				2		¢
A =		(xy - x				) dx + xdy =			∫			x × 2x				- x + x (2x									)
																											dx =
	L								0
		1	3				2			x4				x3					1		1				3
	= ∫ (2x			+		3x		)dx = 2					+ 3							=		+1	=				.
		0									4			3					0		2				2

125

Тема 11. Элементы теории поля

11.1. Скалярное поле

При изучении различных физических процессов широко используется понятие скалярного поля. Примерами скалярных полей является поле температур внутри нагретого тела, поле плотной массы и т. д.

Пусть D – некоторая область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в области D задано скалярное поле, если каждой точке М из области D ставится в соответствие некоторое число u = u(M ).

Иначе говоря, скалярное поле задается с помощью числовой функции. Рассмотрим далее основные операции, связанные со скалярными полями.

Градиент скалярного поля

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат с единичными векторами i , j , k , направленны-

ми соответственно вдоль оси Ох, Оу и Oz, и пусть в некоторой области D этого пространства задано скалярное поле с помощью дифференцируемой функции u = u(x; y; z).

Определение. Градиентом скалярного поля u = u(x; y; z) называ-

ется вектор, обозначаемыйgrad u , проекциями которого на оси декар-

товой прямоугольной системы координат являются частные производные функции u = u(x; y; z) по соответствующим переменным, т. е.

gradu =	∂u R	+	∂u R	+	∂u R	(11.1)
	i		j		k .
	¶x		¶y		¶z

Равенство (11.1) часто записывают с помощью символа Ñ, называемого оператором Гамильтона:

R

∂

R

∂

R ∂

Ñ = i

+ j

+ k

.

(11.2)

¶x

¶y

¶z

Используя (11.2), получим

R

∂u

R ∂u

R ∂u

т. е. Ñu = grad u .

(11.3)

Ñu = i

¶x

+ j

¶y

+ k

,

¶z

Производная по направлению

Пусть в области D задано скалярное поле функцией u = u(x; y; z) = u(M ), M 0 – некоторая точка этой области, и некоторый

126

вектор l , задающий направление в точке M 0 . Пусть M 1

– другая точ-

ка области

D, такая,

что

вектор M 0 M1

коллинеарен

вектору l

и

M 0 M1

= ρ .

Определение. Если существует конечный предел

lim

u(M1 ) − u(M 0 )

,

(11.4)

ρ→0

ρ

то он называется производной скалярного поля в точке M 0 по направ-

лению вектора l

и обозначается ∂∂ul . Итак,

∂u = lim

u(M1 ) − u(M 0 )

.

(11.5)

∂ l

ρ→0

ρ

R

R

+ lz k , т.

Если l

= lx i

+ ly j

е. lx ; ly ; lz

– координаты вектора l

в

прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, то

lx

ly

lz

cos α =

R

; cosβ =

R

; cos γ =

R

(11.6)

l

l

l

(здесь

являются

направляющими

косинусами

вектора

l

R

= lx2 + l y2

+ lz2

– длина вектора l ).

l

В этом случае, производная по направлению вычисляется по фор-

муле

∂u = ∂u cos α + ∂u cosβ +

∂u cos γ .

(11.7)

∂ l

∂x

∂y

∂z

Из определения производной вытекает, что она задает скорость

изменения функции u = u(M ) в точке M 0

в направлении вектора l .

Нетрудно показать, что градиент скалярного поля задает направление наибольшего изменения функции u .

Задача 3. Дана функция z = x2 y + yx2 . Найти в точке M		0	(2;1)
R	R
grad z и производную в направлении вектора l = 4i	+ 3 j .

127

Решение.

Так

как

∂z = 2xy + y 2 ,

∂z = x2 + 2xy ,

то

¶x

¶y

∂z(2; 1) = 2 × 2 ×1 +12 = 5 ,

∂z(2; 1) = 22 + 2 × 2 ×1 = 8 .

¶x

¶y

По формуле (7.1), записанной для двумерного случая, получим

R

R

0 ) = 5i + 8 j .

grad z = ∂z i +

∂z j , или grad z(M

¶x

¶y

Вычислим направляющие косинусы вектора l

по формуле (11.6):

cos a =

4

=

4

;

cosb =

3

=

3

.

42 + 32

42 + 32

5

5

По формуле (11.7) получим

∂u(M 0 ) = 5 ×

4

+ 8 ×

3

=

44

= 8,8 .

¶l

5

5

5

11.2. Векторное поле

Наряду со скалярными полями рассматривают векторные поля. Поле скоростей потока жидкости, поле вектора магнитной индукции – это примеры векторных полей.

Если каждой точке М области D ставится в соответствие определенный вектор F = F (M ), то говорят, что в области D задано вектор-

ное поле.

Иначе говоря, векторное поле задается с помощью векторной функции. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная де-

R R

картова система координат с единичными векторами i , j , k , направленными соответственно вдоль оси Ох, Оу и Oz. Тогда векторная функции F = F (x; y; z) записывается в виде:

R	R	+ R(x; y; z) k .	(11.8)
F (x; y; z) = P(x; y; z) i	+ Q(x; y; z) j

Пусть Р, Q и R – дифференцируемые функции своих аргументов. Рассмотрим основные характеристики векторных полей.

Определение. Дивергенцией векторного поля (11.8) в некоторой точке называется число, обозначаемое символом divF и вычисляемое по формуле

128

R	∂Q +	∂R .	(11.9)
divF = ∂P +
¶ x	¶ y	¶ z
Используя оператор Гамильтона выражение (11.9) символически
можно записать следующим образом:
divF = ÑF ,			(11.10)
где ÑF – скалярное произведение оператора Гамильтона на вектор-

ную функцию F . Действительно,								(Pi + Qj + Rk )= ¶P + ¶Q + ¶R .
divF = i		¶	+ j ¶		+ k	¶ ×
R	R		R		R			R R	R
		¶x		¶y					¶x ¶y ¶z
						¶z

Если дивергенция в точке больше нуля, то точка называется источником, если же меньше нуля, то стоком. Значение дивергенции равно мощности источника или стока.

Ротор векторного поля

Определение. Ротором или вихрем векторного поля (11.8) в неко-

торой точке называется вектор, обозначаемый символом числяемый по формуле

R		¶R	-	¶Q R	¶P	-	¶R R		¶Q	-	¶P R
rotF	=			i	+		j	+			k .
		¶y			¶z		¶z		¶x
				¶z							¶y

rotF и вы-

(11.11)

Используя, оператор Гамильтона выражение (11.11) можно записать в виде

				R		R		k
				i		j
	R	R		¶		¶		¶
	rotF	= Ñ´ F =								,	(11.12)
				¶x		¶y		¶z
				P		Q		R
где Ñ ´ F –	векторное произведение оператора Гамильтона на вектор-
ную функцию F .
Ротор	характеризует вращательное (вихревое) свойство вектор-
ного поля.

Дивергенция и ротор векторного поля используются для анализа векторных полей.

В приложениях векторного анализа наиболее часто находят применения некоторые частные виды векторных полей.

129

Определение. Векторное поле F называется соленоидальным

(трубчатым), если

divF = 0 .

(11.13)

Соленоидальные поля не содержат ни источников ни стоков.

Определение. Векторное поле F называется потенциальным (без-

вихревым) в области D, если криволинейный интеграл ∫ (F; Rt)ds (цир-

куляция векторного поля) равен нулю по любой замкнутой кусочногладкой кривой L, расположенной в области D (здесь τ – единичный вектор касательной к кривой L).

Необходимым и достаточным условием потенциальности векторного поля (11.8) в поверхностно-односвязной области D является равенство нулю его ротора во всех точках этой области:

		rotF = 0 .			(11.14)
Для потенциального поля F существует такая скалярная функция
(потенциал) и, что
		F = gradu .			(11.15)
Потенциал векторного поля можно находить по формуле
x		y		z
u(x; y; z) = ∫ P(x; y0 ; z0 )dx + ∫ P(x; y; z0 )dy + ∫ P(x; y; z)dz , (11.16)
x0		y0		z0
где точка M 0 (x0 ; y0 ; z0 )	–	фиксированная точка из области задания
векторного поля. Если точка O(0; 0; 0)			принадлежит области задания
векторного поля, то ее удобно брать в качестве M 0 .
Задача 4. Проверить,		является	ли	векторное	поле
R	R	+ (2z + xy)k	соленоидальным и		потенци-
F = (2x + yz)i + (2 y + xz) j

альным. В случае потенциальности найти его потенциал.

Решение. Для проверки соленоидальности векторного поля F вычислим его дивергенцию по формуле (11.9). Так как в нашем случае

P(x; y; z) = 2x + yz ,			Q(x; y; z) = 2 y + xz ,	R(x; y; z) = 2z + xy , то
∂P =	∂Q =	∂R = 2 и div F = 2 + 2 + 2 = 6 .
¶x	¶y	¶z
Поскольку div F ¹ 0 , то векторное поле				F не является соленои-
дальным.
				130