Высшая математика для 1 и 2 курса

	Однако, часто при подстановке в f (x)					вместо x предельного зна-
			0			¥		; [0 × ¥] ;	∞	; [¥ - ¥]
	чения x0	получаются выражения вида:				;
									1
			0			¥

и другие, которые называются неопределенностями. Полученные неопределенности нужно «раскрывать» специальными методами, учитывая характер стремления к пределу отдельных функций, составляющих функцию.

Рассмотрим основные приемы раскрытия некоторых видов неопределенностей.

1)При нахождении предела отношения двух многочленов при

x → ∞ , числитель и знаменатель дроби полезно разделить на xn , где n – наивысшая степень этих многочленов.

Задача 1. Вычислить

lim

x2

+ 2x -10

.

x→∞ 3x2 - 5x +1

Решение. Вычислим данный предел:

2

10

x2

+ 2x −10

∞

1 +

−

1 + 0 − 0

1

x

x2

lim

=

= lim

=

=

.

2

1

x→∞ 3x

− 5x + 1

∞

x→∞ 3 −

5

+

3 − 0 + 0 3

x

x2

При решении задачи применили деление числителя и знаменателя

дроби на x2 и использовали соотношения (2.1) – (2.3).

Иногда аналогичный прием можно применить и для дробей, со-

держащих иррациональности.
2) При нахождении предела lim			P(x)		(а – конечное число) отно-
		x→a Q(x)					P(a) = Q(a) = 0 , следует
шения двух многочленов P(x)		и Q(x) , где
сократить дробь один или несколько раз на бином x − a .
Задача 2. Вычислить lim	x2	- 3x + 2
				.
x→2 x2		- 7x +10
Решение. Используя формулу разложения квадратного трехчлена
на множители ax2 + bx2 + c = a(x − x )(x − x						2	) , где x и	x – корни
		1					1	2

квадратного трехчлена, получим

41

	x2 - 3x + 2				0			(x - 2)(x -1)		x -1		2 -1			1
lim				=			= lim		= lim		=			= -		.
		2	- 7x +10									2	- 5		3
x→2 x				0			x→2 (x - 2)(x - 5)		x→2 x - 5

3) При вычислении пределов от выражений, содержащих иррациональность, переводим иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот, используя умножение числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение.

Задача 3. Вычислить lim

1 + x

−

1 − x

.

x

→0

x

Решение

-

0

(

-

)(

+

)

1 + x

1 - x

1 + x

1 - x

1 + x

1 - x

lim

=

= lim

=

x

x( 1 + x +

1 - x )

x→0

0

x→0

= lim	1 + x − (1 − x)								= lim
x→0 x( 1 + x +					1 − x) x→0
	= lim						2
		x→0			1 + x + 1 − x

					2x				=
x(		1 + x +					1 − x )
=		2			= 1.
		+
1				1

В данном случае умножили числитель и знаменатель дроби на величину, сопряженную числителю, далее сократили числитель и знаменатель на х и применили формулы (2.1) и (2.3).

4) При вычислении пределов от тригонометрических функций иногда приходится использовать первый замечательный предел (2.8),

а при раскрытии неопределенностей вида

1∞

–

второй замечатель-

ный предел (2.9).

Задача 4. Вычислить lim

1 − cos 2x

.

x →0

x2

Решение.

1 - cos 2x

0

2sin

2 x

sin x 2

2

lim

=

= lim

= 2lim

= 2 ×1

= 2 .

x

2

x

2

x→0

0

x→0

x→0

x

При решении задачи использовали тригонометрическую фор-

мулу 1 − cos α = 2 sin 2 α , а также (2.4) и (2.8). 2

42

	x + 5						2 x
Задача 5. Вычислить lim							.
					3
x→∞ x +								1 + 5x
Решение. Так как lim	x + 5			= lim							= 1, то в данном случае
x→∞ x + 3					x→∞ 1 +				3
									x
имеем неопределенность вида 1∞					, для раскрытия которой использу-

ем второй замечательный предел (2.9) следующим образом:

x + 5 2 x lim x®¥ x + 3

= lim 1 +

x®¥

x + 5

2 x

2

2 x

= lim

1

+

−1

= lim

1

+

=

x + 3

x

x®¥

x®¥

+ 3

x

+3

2

×2 x

4 x

4

x+

3

lim

lim

2

2

3

x→∞ x+3

x→∞1+

x

4

= e

= e

= e

.

x + 3

При решении задачи использовали (2.9) следующим образом:

			2		x+3				2
		+			2		=	заменаα =			= lim
lim	1
									x + 3
x®¥			x + 3								a®0

использована также и формула (2.7).

Задача 6. Вычислить lim x(ln(x + 2) − ln x).

x®¥

Решение.

lim x(ln(x + 2) - ln x)

= lim x × ln

x + 2

x ®¥

x ®¥

x

2 x

2

x

2

2

2

= lim ln 1

+

= ln lim

1 +

= ln e

x

x ®¥

x

x ®¥

При решении задачи использованы формулы свойства логарифмов.

1

(1 + α)α = e ,

=(¥ × 0) =

=2 × ln e = 2 .

(2.9) и (2.6), а также

2.2. Непрерывность функции

Рассмотрим функцию f (x) определенную в точке x0 и некоторой ее окрестности.

43

Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если:

1)	f (x) определена в точке x0				и некоторой ее окрестности;
2)	lim f (x) = f (x0 ).
	x → x0
Так как lim x = x0 , то второе условие можно записать в виде
	x→x0
		lim f (x) =
				f lim x = f (x0 ).
		x→x0		x→x0
Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и
функции можно переставлять.
Определение.		Если функция			y = f (x) определена в окрестности
точки	x	и	lim f (x) = f (x				− 0) = f (x		)	(аналогично
	0		x→ x0 −0			0		0
lim f (x) = f (x0 + 0) = f (x0 )), то функция							y = f (x)		называется непре-
x→ x0 +0
рывной в точке x0		слева (соответственно справа).
Обычно при исследовании функции на непрерывность использу-
ют следующий критерий.
Критерий. Функция			f (x)	называется непрерывной в точке x0 ,

если выполняются следующие три условия:

1)функция f (x) определена в точке x0 ;

2)существуют односторонние пределы f (x0 − 0) и f (x0 + 0);

3)эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке x0 , т. е. выполняется условие

f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0 ).

(2.10)

При вычислении пределов функций часто используется теорема: «Элементарные функции непрерывны в каждой точке области опре-

деления».

Определение. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a ; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, в точке a непрерывна справа, а в точке b слева.

44

Определение. Точка x0 , называется точкой разрыва, если в этой

точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности.

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если в этой

точке существуют односторонние пределы, они равны между собой, но не равны значению функции в точке x0 , или функция в точке x0 не

определена.

Если в точке устранимого разрыва функцию доопределить или сделать равным односторонним пределам, то функция в этой точке станет непрерывной.

Точка x0 называется точкой конечного разрыва, если в этой точке

существуют односторонние пределы, но они не равны между собой. Точка x0 называется точкой бесконечного разрыва, если хотя бы

один из односторонних пределов равен бесконечности.

Точки устранимого и конечного разрывов называются точками разрыва I (первого) рода.

Если хотя бы один из односторонних пределов f (x0 − 0) или f (x0 + 0) равен бесконечности или не существует, то точки разрыва называют точками разрыва II (второго) рода.

1

Задача 7. Рассмотрим функцию f (x) = 2 x −5 . Заданы два значения аргумента x1 = 3 и x2 = 5 . Требуется: 1) установить, является ли дан-

ная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точках разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж графика.

Решение. 1) Так как

y

1

O		5
	Рис. 2.1

f (x) является элементарной функцией, то

она непрерывна во всех точках (− ∞; 5)U (5; + ∞) в кото-

рых она определена. Следовательно, в точке x1 = 3

функция непрерывна. В точке x2 = 5 функция не опреде-

лена (деление на ноль не оп-

x

ределено). Не выполняется первое условие критерия не-

45

прерывности. Значит, x2 = 5 – точка разрыва функции. 2) Вычислим односторонние пределы в точке x2 = 5 :

f (5 − 0) = lim 2 x −5

= 25−0−5 = 2

−0 = 2−∞

= 1

= 1

= 0 ;

1

1

1

x→5−0

2+∞

+ ∞

= +∞ .

f (5 + 0) = lim 2 x−5 = 25+0−5 = 2+0 = 2+∞

1

1

1

x→5+0

Один из пределов оказался бесконечным,

поэтому x2 = 5 – точка

1

1

бесконечного разрыва. 3) Учитывая, что

lim 2

= 2

= 20

= 1,

строим

x−5

∞

x →∞

эскиз графика функции (рис. 2.1).

Задача 8. Для функции

x2 + 1, если

x ≤ 1,

f (x) =

если 1 < x ≤ 3,

2x,

если

x > 3.

x + 2,

найти точки разрыва, если они существуют, и сделать схематический чертеж графика.

Решение. Поскольку f (x) задана тремя непрерывными элемен-

тарными функциями, то она непрерывна на каждом из интервалов (− ∞; 1), (1; 3) и (3; + ∞). Точками разрыва данной функции могут быть

лишь точки x1 = 1 и x2 = 3 , в которых функция меняет свое аналити-

ческое задание. Проверим в этих точках выполнение условий критерия.

Рассмотрим сначала точку x1 = 1.

1) Функция определена в точке x1 = 1 и ее окрестности, и значение f (1) = 12 + 1 = 2 ;

2) f (1 − 0) = lim f (x) = lim (x2 + 1) = 1 + 1 = 2 ;
x→1−0	x→1−0

f (1 + 0) = lim f (x) = lim (2x) = 2 ×1 = 2 ;
x→1+0	x→1+0
3) f (1 − 0) = f (1 + 0) = f (1) .

Следовательно, в точке x1 = 1 функция f (x) непрерывна. Теперь рассмотрим точку x2 = 3 .

1) функция определена в точке x2 = 3 : и ее окрестности, и значение f (3) = 6 ;

46

2) f (3 - 0)	= lim	f (x) = lim 2x = 2 ×3 = 6 ,
	x→3−0	x→3−0
f (3 + 0) =	lim f (x) = lim (x + 2) = 3 + 2 = 5 ;
x→3+0		x→3+0

3) f (3 - 0) ¹ f (3 + 0).

Не выполняется третье условие критерия непрерывности. Итак, точка x2 = 3 – это точка разрыва функции f (x) . Поскольку односто-

ронние пределы в этой точке конечны, то это точка конечного разрыва. Чертеж графика функции представлен на рис 2.2.

y

7

6

5

4

3

2

1

− 1		0		1	2	3	4	5	x
					Рис. 2.2

47

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

З.1. Производная. Правила вычисления производных. Таблица производных

Пусть функция				y = f (x)	определена на интервале	(a; b) . Аргу-
менту x (a; b)		дадим приращение x . Тогда функция				y = f (x) по-
лучит приращение				y = f (x +	x) − f (x) (рис. 3.1).
		y
	f (x +	x)

f (x)

α

	O		x		x + x		x
		Рис. 3.1
Определение. Производной функции y = f (x)							в точке x называет-

ся предел отношения приращения функции y к приращению аргу-

мента x при x → 0 , обозначаемый одним из символов f ′(x) ,				dy	:
				dx
f ′(x) = lim	f (x +	x) − f (x)	.	(3.1)
x→0		x

Сфизической точки зрения производная определяет мгновенную скорость изменения любого физического параметра, описываемого функцией f (x) , в точке х.

Сгеометрической точки зрения производная f ′(x) равна тангенсу

угла наклона касательной	к графику функции y = f (x) в точке
M (x; f (x)) , т. е. f ′(x) = tg α .
Если производная f ′(x)	существует для всех x (a; b) , то функ-

ция f (x) называется дифференцируемой на интервале (a; b) . Опера-

ция вычисления производной называется дифференцированием.

48

Главная линейная часть приращения функции f (x) в точке x на-

зывается дифференциалом функции. Дифференциал функции	f (x)
обозначается символом df (x) и вычисляется по формуле
df (x) = f ′(x)dx .	(3.2)

При вычислении производных используют правила вычисления производных, таблицу производных, правило вычисления производной сложной функции.

Основные правила нахождения производной: если u = u(x) и

v= v(x) – функции, имеющие производные, c = const , то

1)c′ = 0 ;

2)(u ± v)′ = u′ ± v′ ;

3)(uv)′ = u′v + v′u ;

4)(cu )′ = cu′;

u			′	′	′
			=	u v − v u		(v ¹ 0).
5)
					v2
v

Правило вычисления производной сложной функции состоит в следующем.

Если y = y(u) и u = u(x) , где функции y и u имеют производные,

то

y′x	= yu′ ×u′x	, или	dy	=	dy	×	du	.	(3.3)
			dx		du
							dx

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.

В табл. 3.1 представлены производные основных элементарных функций. Производные остальных функций находятся с помощью правил дифференцирования и вычисления сложной функции.

49

Таблица 3.1

Таблица производных

1. (x)′ = 1

9. (arcsin x)¢ =

1

(

x

< 1)

1 - x2

2. (x n )′

= nx n−1

10. (arccos x)′

= −

1

(

x

< 1)

1 − x 2

3. (

)′

=

1

11. (arctg x)¢ =

1

x

1+ x2

x

2

1 ′

1

¢

1

4.

= -

12.

(arcctg x) = -

+ x

2

x2

x

1

5.

(sin x)′ = cos x

13.

(ax )′ = ax ln a (a > 0, a ¹ 1)

6.

(cos x)′ = -sin x

14.

(e x )′

= e x

7.

(tgx)¢ =

1

15.

(ln x)¢ =

1

(x > 0)

cos2 x

x

8.

(ctgx)¢ = -

1

16.

(log

x)¢ =

1

(x > 0, a > 0, a ¹ 1)

sin2 x

a

x ln a

Задача 1. Найти производные функций:

а)	y = x5 +	1		+ x × arctg x ;		б)	y =	ex	;
								sin x
			x
в)	y = (sin 2x + x3 )5				;	г)	y = ln3 tg 5x .

Решение. Применяя правила вычисления производных и таблицу производных, найдем:

а) y¢ = (x5 )¢ + (x− 12 )′ + (xarctgx)¢ =

= 5x4 -

1

+ x¢arctg x + x ×(arctg x)¢ = 5x4 -

1

+ arctg x +

x

.

3

3

2x

2x

1

+ x2

2

2

б) y¢ =

(ex )′ sin x - ex (sin x)′

=

ex sin x - ex cos x

=

ex (sin x - cos x)

.

sin 2 x

sin 2 x

sin 2 x

50