- •Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры
- •1.1. Линейная алгебра
- •Определители и их свойства
- •Пример.
- •1.2. Векторная алгебра
- •Скалярные и векторные величины
- •Проекция вектора на ось
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов
- •Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный способ
- •Матричный способ решения систем.
- •Построение обратной матрицы
- •«Элементы линейной и векторной алгебры»
- •Контрольные вопросы к экзамену
Матричный способ решения систем.
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Введем следующие обозначения:
–матрица коэффициентов системы
– столбец неизвестных и столбец свободных членов, соответственно.
Тогда систему можно записать в матричной форме:
Пусть матрица имеет обратную матрицу.
Умножим матричное уравнение на ,получим
.
Заметив, что , получим
-решение матричного уравнения.
Переходя к координатной записи в последнем равенстве, выпишем решение исходной системы уравнений.
Построение обратной матрицы
Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.
Пусть матрица - невырождена, т.е.
Построим союзную матрицу , которая составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы, причём в столбцах матрицызаписываются алгебраические дополнения соответствующих строк этой матрицы.
, где
.
Обратная матрица имеет вид
Решим систему (см. пример 1) матричным способом.
Здесь
Решим матричное уравнение .
Составим обратную матрицу .
Выпишем все алгебраические дополнения для данной матрицы.
Составим матрицу
Решим матричное уравнение
Отсюда получаем решение системы:
Ответ:
Замечание.
Аналогично, матричным способом, можно решать любые системы уравнений снеизвестными, если только определитель системы не равен нулю.
Контрольная работа №1 по теме
«Элементы линейной и векторной алгебры»
Вычислить определитель.
1.1.1. |
|
1.1.2 |
|
1.1.3. |
| |
1.1.4. |
|
1.1.5 |
|
1.1.6. |
| |
1.1.7. |
|
1.1.8 |
|
1.1.9. |
| |
1.1.10. |
|
|
|
|
|
1.2. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными тремя способами: методом Гаусса, по формулам Крамера и матричным способом.
1.2.1. |
1.2.2. | ||
1.2.3. |
1.2.4. | ||
1.2.5. |
1.2.6. | ||
1.2.7. |
1.2.8. | ||
1.2.9. |
1.2.10. |
Вычислить .
1.3.1. | ||
1.3.2. | ||
1.3.3. | ||
1.3.4. | ||
1.3.5. | ||
1.3.6. | ||
1.3.7. | ||
1.3.8. | ||
1.3.9. | ||
1.3.10. |
1.4. Даны векторы ,,,.
Показать, что ,,образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.
Найти: a);
б);
в) ;
г);
д);
е) угол между векторами и.
1.4.1. |
|
|
| |
1.4.2. |
|
|
| |
1.4.3. |
|
|
| |
1.4.4. |
|
|
| |
1.4.5. |
|
|
| |
1.4.6. |
|
|
| |
1.4.7. |
|
|
| |
1.4.8. |
|
|
| |
1.4.9. |
|
|
| |
1.4.10. |
|
|
|
1.5. Даны точки ,,,
Показать, что точки ,,,не лежат в одной плоскости.
Вычислить: а)объем пирамиды ;
б)длину ребра ;
в) площадь грани ;
г)угол между гранями и.
1.5.1. | ||||
1.5.2. | ||||
1.5.3. | ||||
1.5.4. | ||||
1.5.5. | ||||
1.5.6. | ||||
1.5.7. | ||||
1.5.8. | ||||
1.5.9. | ||||
1.5.10. |