Методические указания к выполнению и оформлению контрольных заданий
Номер варианта выбирается студентом в соответствии с двумя последними цифрами номера шифра зачетной книжки следующим образом:
|
Две последние цифры номера зачетной книжки студента |
Номер варианта задания |
|
01 – 10 11 – 20 21 – 30 31 - 40 |
1 – 10 11 – 20 1 – 10 11 - 20 |
Например, две последние цифры номера зачетки 09, тогда номер варианта задания – 9; две последние цифры 24, тогда номер варианта задания – 4; две последние цифры 37, тогда номер варианта задания – 17.
Контрольное задание выполняется в виде отдельных трех частей, каждая из которых представляет собой расчетно – графическую работу. Основными целями при выполнении расчетно – графических работ являются: углубленное изучение программного материала по курсу «Сопротивление материалов»; освоение навыков инженерных расчетов и умения пользоваться справочной литературой; выработка умения правильно оформлять техническую документацию.
Расчетно – графические работы выполняются на листах формата А4. Результаты работы оформляются в виде пояснительной записки, включающей: 1)титульный лист с обязательным указанием темы расчетно-графической работы, номера варианта задания, фамилии и инициалов студента, номера группы, фамилии и инициалов преподавателя; 2)расчеты; 3) графические построения; 4) список используемой литературы.
При решении каждой задачи необходимо полностью записать условие с исходными данными и представить расчетную схему или эскиз с указанием всех необходимых для расчета величин. Все вычисления и окончательные результаты должны быть приведены и записаны в системе единиц СИ. Каждый этап работы снабжается заголовком и необходимыми пояснениями.
Работы, оформленные небрежно и без соблюдения предъявляемых к ним требований, не рассматриваются.
Номер варианта зависит от индивидуального номера зачетной книжки студента: 1-ая цифра означает – номер расчетной схемы, вторая – номер числовых данных в таблице №1.
Расчетная работа №1. Построение эпюр силовых факторов. Метод последовательного интегрирования.
Задание. Методом последовательного интегрирования построить эпюры Q и M для консольных балок, изображенных на рис.1, 2. Расчетная схема выбирается в соответствии с номером задания.
Содержание работы:
1.Используя схему нагружения (величину и направление сосредоточенных сил в характерных сечениях и эпюру распределенных нагрузок), по выражению
,
(1)
где
– начальное значение поперечной силы
(константа интегрирования);
–площадь эпюры
распределенной нагрузки,
следуя слева направо, построить эпюру Q.
2.Используя схему нагружения (величину и направление сосредоточенных изгибающих моментов в характерных сечениях), а также достроенную ранее эпюру поперечных сил Q, по выражению
, (2)
где
-
начальное значение изгибающего момента;
-
площадь эпюры поперечных сил на участке
балки от 0 до
,
следуя слева направо, построить эпюру изгибающих моментов M.
3.Используя дифференциальные зависимости
(3)
и особенности эпюр Q и M, произвести контроль правильности построения эпюр внутренних силовых факторов.
Учитывая свойства первой и второй производных функций, анализ которых показывает, убывает или возрастает функция при изменении абсциссы, вогнуто или выпукло ее графическое изображение, а также опыт построения эпюр Q и M, можно с помощью дифференциальных зависимостей установить некоторые особенности эпюр Q и М, общие для всех балок. Эти особенности позволяют производить эффективный контроль правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Указание:
Численные значения размеров и нагрузок для заданного варианта балки взять из таблицы 1. Номер задания из таблицы 1 соответствует последней цифре номера зачетки студента.
Таблица 1
|
№ |
Р, Н |
М, Нм |
q,Н/м |
l,м |
|
1 |
2 |
4 |
5 |
2 |
|
2 |
4 |
2 |
7 |
2 |
|
3 |
6 |
2 |
6 |
2 |
|
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
5 |
7 |
6 |
7 |
2 |
|
6 |
10 |
3 |
10 |
2 |
|
7 |
1 |
1 |
8 |
2 |
|
8 |
3 |
5 |
2 |
2 |
|
9 |
9 |
8 |
9 |
2 |
|
0 |
2 |
10 |
1 |
2 |
1.Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то эпюра поперечной силы прямоугольна, а эпюра изгибающего момента прямолинейна, но, вообще говоря, наклонна.
2.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент - по закону квадратной параболы. При этом:
а) наклон эпюры Q идет в сторону действия распределенной нагрузки, а величина общего падения или возрастания равна равнодействующей равномерно распределенной нагрузки;
б) парабола эпюры М всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.
3.Если на участке имеется распределенная нагрузка, изменяющаяся по линейному закону (эпюра нагрузки - треугольник или трапеция), то поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы, а изгибающий момент - по закону кубической параболы.
4. В сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент достигает экстремального значения.
5.На участке, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает, т.е. слева направо положительные ординаты эпюры увеличиваются, отрицательные - уменьшаются; на тех участках, где поперечная сила отрицательна, изгибающий момент убывает.
6.В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, перпендикулярные к оси:
а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил;
б) на эпюре М будут переломы, (смежные участки эпюры не имеют плавного сопряжения) причем острие перелома направлено против действия силы.
7.В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре М будут скачки на величину этих моментов. На эпюре Q это не отражается.
8.В концевом сечении балки поперечная сила и изгибающий момент равны соответственно приложенным в этом сечении внешним нагрузкам: сосредоточенной силе (активной или реактивной) и моменту сосредоточенной пары (активной или реактивной). Таким образом, если концевая шарнирная опора или конец консоли не загружены внешним моментом, то в них изгибающий момент равен нулю.
9.В сечении, где начинается или кончается распределенная нагрузка (при условии, что в этом сечении не приложена сосредоточенная сила), эпюра М не имеет излома (парабола и прямая в этой точке имеет общую касательную).
Используя дифференциальные зависимости между силовыми факторами и особенности эпюр Q и М, можно предложить второй метод построения этих эпюр - метод последовательного интегрирования.
Проинтегрировав дифференциальные зависимости
,
по длине балки до сечения - xi, получим формулы (1) и (2).
Построение эпюр методом последовательного интегрирования рекомендуется вести в следующем порядке:
1.Определить опорные реакции (для консольных балок их можно не находить, а начинать построение эпюр с незащемленного конца балки).
2.Сделать проверку правильности нахождения реакций, так как от этого зависит правильность построения эпюр.
3.Используя схему нагружения (величину и направления сосредоточенных сил в характерных сечениях и эпюру распределенных нагрузок) по выражению (1) построить эпюру Q.
4.Используя схему нагружения (величину и направление сосредоточенных изгибающих моментов в характерных сечениях), а также построенную ранее эпюру поперечных сил Q ,по выражению (2) построить эпюру изгибающих моментов M. В процессе построения эпюр следует руководствоваться общими свойствами эпюр. При построении эпюры слева направо перед интегралом берется знак плюс, если площадь предыдущей эпюры (при построении эпюры Q это - эпюра распределенной нагрузки q, а при построении эпюры M – это эпюра Q) положительна, и знак минус, если - отрицательна.
5. При построении эпюр применяется текущая система координат, т.е. при переходе от участка к участку начало координат переносится в начало участка.
Пример выполнения задания. Построить эпюры Q и M для консольной балки, схема нагружения показана на рис. 3,а.
Решение. Балку характерными сечениями разбиваем на 4 силовых участка. Реакции в опорном защемлении не определяем, так как эпюры начинаем строить с незащемленного конца.
Сначала строим эпюру поперечных сил.
В начале участка I приложена поперечная сила Р1 =4т, имеющая по правилу знаков при рассмотрении слева направо знак плюс. Поэтому в начале участка I вверх от оси эпюры Q откладываем положительную ординату 4т. По длине участка поперечная сила изменяется линейно и в конце участка достигает значения, определяемого по выражению
.
Перед интегралом взят знак минус, так как распределенная нагрузка на участке имеет отрицательный знак.
В начале участка II к балке приложена сосредоточенная поперечная сила Р=3т, направленная снизу вверх (в положительном направлении при рассмотрении слева направо). Следовательно, ордината поперечной силы в начале участка II отличается от ординаты в конце участка I на величину 3т. Этот скачок откладываем на эпюре Q в начале участка II.
Других поперечных сил в пределах участка II не приложено (распределенная нагрузка отсутствует), т.е. по всей длине участка поперечная сила постоянна и в конце участка
т.
Перерезывающая сила в начале участка III равна перерезывающей силе в конце участка II, так как на стыке этих участков нет сосредоточенной силы и скачок на эпюре Q, отсутствует. В конце участка III
т.
На границе между
участками III
и IV
на эпюре поперечных сил откладываем
скачок в направлении действия и на
величину силы Р3=2т.
Распределенной нагрузки на участке IV
нет, значит, по всей длине участка
поперечная сила постоянна и равна
поперечной силе в начале участка:
т.
Эпюра поперечных сил изображена на рис. 3,б.
Переходим к построению эпюры изгибающих моментов. В начале участка I внешний сосредоточенный изгибающий момент отсутствует, следовательно, в этом сечении ордината на эпюре изгибающих моментов равна нулю.
Рис. 1. Расчетные схемы (варианты № 1-10).
Рис. 2. Расчетные схемы (варианты № 11 – 20).
В пределах участка I изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы выпуклостью вверх (против направления распределенной нагрузки). В конце участка величина изгибающего момента определяется по выражению:
т∙м,
здесь
вычисление интеграла
заменено расчетом площади эпюры
поперечных сил на первом участке.
Перед интегралом берем знак плюс, так как эпюра поперечных сил на участке положительна.
Ввиду отсутствия сосредоточенного изгибающего момента, ордината эпюры М в начале участка II совпадает с ординатой эпюры М в конце участка I. Изгибающий момент на участке II изменяется по линейному закону и в конце участка
т∙м
На границе II и III участков на эпюре М необходимо отложить скачок в отрицательном (при рассмотрении слева направо) направлении и на величину изгибающего момента М=11т∙м, действующего в этом сечении. Таким образом, в начале участка III изгибающий момент равен - 1 т∙м.
Участок III делится поперечной силой на два участка с эпюрами Q. разного знака. Ввиду симметрии эпюры Q на этом участке, легко найти абсциссу точки пересечения эпюры Q с осью (нулевой линией) эпюры. Эта точка удалена от начала координат третьего участка на расстояние в I м (см. рис.3,б). Изгибающий момент
т∙м.
В конце участка III изгибающий момент достигнет величины
т∙м.
В начале следующего IV участка изгибающий момент также равен -1т∙м. По длине участка М изменяется по линейному закону и на его конце
т∙м.
Эпюра изгибающих моментов представлена на рис.3, в.
Рис. 3. Пример выполнения работы 1.
Расчетная работа № 2. Определение нагрузки, действующей на балку, по известной эпюре изгибающих моментов.
Задание. По схемам закрепления балок и эпюрам изгибающих моментов, приведенным на рис.4, 5, построить эпюры поперечных сил и определить нагрузки, действующие на балки.
Содержание работы:
1.Разбить эпюру М на участки.
2.Используя
дифференциальную зависимость
и особенности эпюрМ
и Q,
построить эпюру поперечных сил.
3.Используя
дифференциальные зависимости
,
и
особенности эпюрМ
и Q,
составить расчетную схему нагружения
балки.
4.Проверить правильность нагружения балки составлением уравнений равновесия.
Указание:
Криволинейный участок эпюры М очерчен по квадратной параболе. Используя дифференциальные зависимости и особенности эпюр Q и М, можно решать обратную задачу: по заданной эпюре изгибающих моментов определять схему нагружения балки. Решение этой задачи рассмотрим на примерах.
Численные значения размеров и нагрузок для заданного варианта балки взять из таблицы №1.
Пример 1. По заданной эпюре изгибающих моментов (рис.6,а) построить эпюру поперечных сил и определить силы, действующие на балку.
Решение. Разобьем эпюру М на участки. Границами участков будут места изломов эпюры и скачок на эпюре. Выбранная система координат и участки показаны на рис.6, а.
На всех участках изгибающий момент изменяется по линейному закону. Это означает, что производная от момента по длине каждого участка, представляющая при данном значении аргумента x тангенс угла наклона касательной к графику функции в соответствующей точке с положительным направлением оси x и равная, согласно дифференциальной зависимости, поперечной силе Q, будет постоянной величиной.
Итак, на участке
I функция М1
возрастает от нуля до
,
значит ее производнаяQ.
положительна:
.
На участке II Функция
М2,
также возрастает от
до
,
значит поперечная силаQ2также
положительна:
.
На участке III функция М3 убывает от Ра до -2Ра, а значит, ее производная Q3 отрицательна:
.
Рис. 4. Схемы к расчетной работе № 2 (варианты № 1-10).
Рис. 5. Схемы к расчетной работе № 2 (варианты № 11-20).
На участке IV функция М4 возрастает от -2Ра до нуля, т.е. поперечная сила Q4 положительна:
.
По найденным значениям строим эпюру поперечных сил (рис.6,б). В пределах каждого участка поперечная сила постоянна и, следовательно, балка нагружена сосредоточенными силами. Они приложены в точках А, В, С, Д, Е - этим точкам (сечениям) соответствуют скачки на эпюре Q. и изломы на эпюре М. Кроме того, балка нагружена сосредоточенным моментом в сечении В (здесь эпюра М имеет скачок на величину 0,5Ра+1,5Ра = 2Ра).
Схема нагружения балки показана на рис. 6, в.
а) б) в) М
Рис. 6. Пример 1 выполнения расчетной работы № 2.
Пример 2. По заданной схеме балки и эпюре изгибающих моментов (рис.7,а) определить внешнюю нагрузку и построить эпюру поперечных сил Q .
Решение. Эпюра моментов разбивается на два участка. Сначала рассмотрим консольную часть балки. Изгибающий момент на этом участке изменяется по закону квадратной параболы выпуклостью вверх и при рассмотрении слева направо растет.
Рис. 7. Пример 2 выполнения расчетной работы № 2.
На консольную часть балки действует равномерно распределенная нагрузки, направленная сверху вниз (против выпуклости эпюры М), а эпюра поперечной силы положительна.
Перепад
в ординатах изгибающего момента на
концах участка (
)
равен площади
треугольной эпюры перерезывающей силы.
Обозначим высоту этой эпюры h
, тогда
.
Откудаh =
2qa. В свою
очередь, перепад в ординатах поперечной
силы на концах участка (2qа)
равен площади прямоугольной эпюры
распределенной нагрузки. Длина эпюры
a,
следовательно, высота эпюры равна 2q.
Это и будет интенсивность распределенной
нагрузки на консольной части балки.
В пролете между опорами балки изгибающий момент также изменяется по квадратной параболе с выпуклостью вверх и действует распределенная нагрузка, направленная вниз. Обозначим ее величину через y. Сосредоточенных усилий в пролете между опорами не приложено, так как эпюра М представляет собой единую кривую без переломов. Эпюра Q. в пролете представляет собой наклонную прямую, ординаты которой слева направо уменьшаются. Следовательно, реакции опор направлены вверх.
Для определения величины распределенной нагрузки у составляем уравнение изгибающего момента для сечения, в котором известна величина этого момента. При рассмотрении слева
.
Реакцию RA также можно выразить через неизвестную интенсивность распределенной нагрузки y:
,
откуда
.
Подставляем это выражение в написанное уравнение моментов:
,
или
,
таким образом,
.
Реакция
.
Реакцию RB найдем из уравнения равновесия:
.
откуда, RB=4.5qa. Эпюра поперечных сил изображена на рис.7,б, а схема нагружения на рис.7, в.
Расчетно – графическая работа № 3. Расчет статически определимых балок на прочность по нормальным напряжениям.
Задание. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить величину допускаемой нагрузки, действующей, как показано на рис. 8, 9, на балку из стального двутаврового профиля № 30.
Содержание работы:
Определить реакции опор балки и сделать проверку правильности их определения.
Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Из условия прочности по нормальным напряжениям найти величину допускаемой нагрузки [q].
Указания:
Принять для стали допускаемое напряжение [σ]=160 МПа.
Величины геометрических характеристик двутаврового профиля взять из таблиц сортамента (ГОСТ 8349-72).
Длину участка l принять равной 2 м.
Численные значения размеров и нагрузок для заданного варианта балки взять из таблицы № 1.
Пример. Определить величину допускаемой нагрузки [q], действующей, как показано на рис. 10, а, на балку из двутавра №27, если [σ]=160 МПа.
Решение. Находим реакции опорных закреплений:
,
;
,
;
Реакцию RВ направляем вниз (см. рис. 10, а).
Проверяем правильность определения опорных реакций:
.
Следовательно, реакции вычислены правильно.
Строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, результаты построения представлены на рис. 10 б, в.
Р
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Р
13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
Рис. 10. Пример выполнения расчетной работы № 3.
Из условия прочности по нормальным напряжениям
.
Определяем величину допускаемой нагрузки [q], действующей на балку из двутаврового профиля №27:
,
.
Принимаем
.