сопроматчасть1

МА	A			q=20кН/м			М=16кНм
		В	С			D	а
		II	z2	I	z1
RА		P=18кНz3

а=1м	b=1.4м	2а=2м
40		40
22
Qу
кН

Мх,
кН×м	80	б
102
		24
		16

Рис. 5.3

а=1,0 м, b=1,4 м, Р=18 кН, q=20 кH/м, М=16 кH×м, R=210 МПа

1. Составить уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам и построить их эпюры.

Запишем уравнения статики и определим опорные реакции:

åM A = 0 : - M A + P × a - q × 2 × a × (b + 2 × a) + M = 0;

M A = -102 [к H × м];

å PY = 0 : RA + P - q × 2× a = 0; RA = 22 [к H].

Проверка: å MB = 0: - M A× - RA × a - q × 2 × a × (a + b) + M = 0 .

Выражения для внутренних усилий Qу, Мх получим с помощью метода сечений. Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения. При этом поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, т.е.

91

стремится сдвинуть левую отсеченную часть балки относительно правой вверх.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсеченной части. Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся в верхней части сечения балки.

На рис. 5.3, а показаны выделенные участки балки. Запишем

для каждого из них выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

1. 0 £ z1 £ 2,0 м
QY = qz1 = 20z1 ; QY (0) = 0;					QY (2) = 40 [к H].
M	X	= M − qz2	= 16 −10z2	; M		X	(0) =16 [к H × м];
		1	1
M X (2) = 40 [к H × м].

2. 0 £ z2 £ 1,4 м

QY = q × 2a = 40 [к H];

M X = M - q × 2a × (z2 + a) = -24 - 40z2 [к H × м]; M X (0) = -24 [к H × м]; M X (1,4) = -80 [к H × м] .

3. 1,4 £ z3 £ 2,4 м

QY = q × 2a - P = 22 [к H].

M X = M - q × 2a × (z3 + a) + P × (z3 - b) = -49,2 - 22z3 ; M X (1,4) = -80 [к H × м] ;

M X (2,4) = -102 [к H × м].

Построение эпюр Qу, Мх проводится по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат эпюры Qy откладываются выше оси, отрицательные – ниже.

Положительные значения ординат эпюры Мх откладываются ниже оси, отрицательные – выше. На первом участке поперечная сила линейно зависит от координаты, возрастая от нуля в начале участка до 40kH в конце. Эпюра Qу на этом участке ограничена отрезком прямой, проходящей через указанные значения. Изгибающий

момент имеет на данном участке уравнение квадратной параболы с вершиной в сечении z1=0, т.е. там, где равна нулю поперечная сила, являющаяся производной от Мх по координате z. Эпюра

изгибающего момента ограничена	кривой	второго	порядка,
проходящей через точки с координатами 16 кH×м и –24 кH×м,
соответственно на правой и левой	границах	участка.	Парабола

92

имеет выпуклость, направленную в сторону распределенной нагрузки.

На втором и третьем участках поперечная сила имеет постоянные значения, соответственно 40 кH и 22 кH. Изгибающий момент меняется по линейному закону – эпюра Мх ограничена на участках отрезками прямых, проходящих через точки с ординатами –24 кH×м, –80 кH×м на втором, и –80 кH×м, –102 кH×м на третьем участках. Результаты построения эпюр Qу, Мх приведены на рис. 5.3 а, б.

Наиболее опасным является сечение А, в котором

изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения

M X = 102 к H × м.

2.Произвести проверку с помощью дифференциальных зависимостей.

Построению эпюры проводится на основе известных

дифференциальных зависимостей между Qу, Мх и интенсивностью распределенной нагрузки q (5.1).

В нашем случае на первый участок действует распределенная нагрузка q = const, следовательно, поперечная сила должна быть

линейной функцией координаты z1, а изгибающий момент меняться по закону квадратной параболы. Эпюра изгибающих моментов не

имеет экстремумов, поскольку эпюра ее производной - Qу не пересекает ось. Второй и третий участки свободны от

распределенной нагрузки, т.е. производная функции Qу тождественно равна нулю, следовательно, сама поперечная сила должна быть постоянна в границах каждого участка, а эпюра изгибающего момента описывается прямой наклонной линией.

В тех сечениях, где балка нагружена сосредоточенными

внешними силами, на эпюре Qу должно скачком меняться значение ординаты на величину этой силы с учетом ее направления. В нашем

случае это происходит в сечении А, где возникает реакция RА, и в сечении В, где приложена нагрузка Р. На эпюре Мх аналогичные скачки имеют место в сечениях А и D, где действует сосредоточенные внешние моменты. Анализируя все перечисленное, делаем вывод о правильности построения эпюр.

3.Подобрать размеры указанных выше сечений из условия прочности по нормальным напряжениям.

Из условия прочности при изгибе		σ		=			M X		max	£ R
				max			WX

определим требуемое значение момента сопротивления сечения балки:

W		³	M X	max	=	102 ×103	= 486×10−6	м3	= 486 см3 .
	X
			R			210×106

93

Определим размеры указанных сечений, обеспечивающие прочность балки.

1) Подбираем по ГОСТ 8239-72 номер двутавра, момент сопротивления которого наиболее близок к расчетному. В данном случае подходит двутавр № 30а, у которого Wx=518 см3, площадь

сечения А=49 см2.

Определим наибольшее значение возникающих при этом

напряжений:
	s			=	102 ×103	=137,3 ×106 Па = 137,3МПа < R .
			max		743 ×10−6

2)Определяем размеры прямоугольного сечения с

отношением сторон h/b = 1,8.

WX	=	bh2	=	b × (1,8b)2	= 0,54b3 ;
	6		6

0,54b3 ³ 486 ×10−6 м3 ;

b ³ 3 486 ×10−6 = 0,0965м . 0,54

Окончательно выбирает размер по ГОСТ 6636-69: b=100 мм, h= 180 мм, А=bh=180 см2.

Вычислим наибольшее напряжение:

		smax =			102 ×103		=189 ×106 Па =189 МПа < R .
					0,54 × (0,10)3
	3) Определим размер квадратного сечения.
		a3		a3		³ 486 ×10−6	м3;	a ³ 3		= 0,143 м .
WX	=		;						6 × 486 ×10−6
				6
	6
	Окончательно: а = 150						мм, А = a2 = 225 см2.

Определим наибольшее напряжение:

94

smax =

102 ×103 × 6

= 181×106 Па =181МПа < R .

0,153

4) Определим размеры круглого сечения.

WX

= pd3

;

pd 3

= 486 ×10−6 м3 ;

32

32

d ³ 3

32 × 486 ×10−6

= 0,170м .

3,14

Принимаем по ГОСТу d=180мм, площадь сечения

А =

π d 2

= 254 cм2 .

4

Определим наибольшее напряжение:

s

=

102 ×103

=179 ×106 Па = 179 МПа < R .

max

3,14

× (0,18)3

32

5) Определим размеры кольцевого сечения с отношением

внутреннего и внешнего диаметров a =

d

= 0,8 .

D

WX

= pD3

(1- a4);

pD3

(1 - a4 ) ³ 486 ×10−6 м3 ;

32

32

D ³

32 × 486 ×10−6

3

3,14 × (1 - 0,84 ) = 0,203м .

Принимаем D=225 мм, d=180 мм.

Площадь сечения А =			π D2	(1−α 2 ) = 143cм2 .
		4
Вычислим наибольшее напряжение:
smax =		102 ×103			= 155 ×106 Па = 155МПа < R
	3,14	× (0,225)3 × (1 - 0,84 )
	32

4. Оценить рациональность подобранных сечений.

95

§

двутавр: w =

Wx

=

518

=1,47 ,

x

А3

493

§

прямоугольник:

540

= 0,224 ,

1803

562,5

§

квадрат:

= 0,167 ,

2253

§

круг:

572

= 0,141,

2543

660

§

кольцевое сечение:

= 0,386 .

3

143

Как видим, наиболее рациональными при изгибе являются тонкостенные сечения: двутавр, кольцевое сечение.

5. Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении (для двутавра, кольца).

Напряжения в опасном сечении меняются по линейному закону:

s = M X × y ,

J X

достигая максимума в наиболее удаленных от оси точках.

На рис.5.4 показаны эпюры напряжений для указанных сечений.

s, МПа	s, МПа
197

155

155

197

Рис.5.4

96

5.4 Пример расчета на прочность двутавровой балки
Для заданной стальной балки из условия прочности
подобрать номер двутавра по ГОСТ 8239-72 и произвести полную
проверку прочности.
	М=20кНм q=200кН/м					Р=150кН
						а
	a=0,4м			l=2,4м	b=0,6м
			М
А				q	RB	Р
					В
		С				D б
						z3
RA	z1	I		II	III
		z2				150
Qy,кН	194,2
	z0					в
					285,8
					90
Мх,кН×м						г
	61,7	81,7	114,3
				Рис. 5.5
а=0,4м, b=0,6м, l=2,4м, Р=150кH, q=200кH/м, М=20кH×м,R=210MПа
Rcp=126 МПа.
	1. Составить уравнение поперечных сил и изгибающих
моментов по участкам и построить их эпюры.
Запишем уравнения статики и определим опорные реакции,
показанные на рис. 5.5, б.

	å M A = 0: - q ×	12		- M + RB ×1- P ×(1+ b) = 0 ; RB = 435,8к H ;
			2
	å MB = 0: - RA ×1+ q ×				12		- M - P ×b = 0 ; RA = 194,2 к H .
						2

Реакции получились положительные, это означает, что их направление выбрано верно. Для проверки спроектируем все силы на вертикальную ось:

97

åPY = RA - q ×1+ RB - P = 194,2 - 200× 2,4 + 435,8 -150 = 0 .

Выделим и обозначим участки балки так, как это показано на рис. 5.5, б. Используя уже известный метод сечений, для каждого участка запишем выражения поперечной силы Qу и изгибающего момента Мх и вычислим их значения в характерных сечениях.

1. 0 £ z1 £ 0,4 м

QY = RA - q × z1 = 194,2 - 200z1;QY (0) = 194,2 кH;

QY (0,4) = 114,2

кH.

z2

M

X

= R

A

× z - q

1

= 194,2z -100z2

; M

X

(0) = 0;

1

2

1

1

M X (0,4) = 61,7

кH×м.

2. 0,4 £ z2 £ 2,4 м

QY = RA - q × z2 = 194,2 - 200z2 ;QY (0,4) -114,2кH; QY (2,4) = -285,8кH.

Значения поперечной силы на левой и правой границах участка имеют разные знаки, следовательно, имеется такое значение координаты z0, при котором Qу обращается в нуль, а момент Мх имеет экстремум. Найдем величину z0:

RA - q × z0 = 194,2 - 200z0 = 0 , z0 = 0,971 м;

z2 2

M X = M + RA × z2 - q × 22 = 20 +194,2z2 -100z2 .

M X (0,4) = 81,7 кH×м; M X (2,4) = -90,0 кH×м;

M X (0,971) = M Xmax = 114,3 кH×м.

3. 0 £ z3 £ 0,6 м QY = P = 150 кH;

M X = -P × z3 = -150z3 ; M X (0) = 0; M X (0,6) = -90 кH×м.

По вычисленным значениям Qу, Мх построим их эпюры. При этом будем учитывать вид этих функций, а также

дифференциальные зависимости между ними и интенсивностью

98

распределенной нагрузки q. Результат построения показан на рис.

5.5в, г.

2.Определить положение опасных сечений и показать опасные точки на чертеже балки.

К опасным, прежде всего, относится сечение, в котором

изгибающий момент принимает наибольшее по модулю значение

M X max , т.е. сечение, расположенное на расстоянии z0 от левого

торца балки. Кроме того, опасным может оказаться сечение В, в котором наибольшего значения достигает поперечная сила. К тому же, в данном сечении действует изгибающий момент, лишь немного уступающий максимальному. В первом сечении опасными будут точки, наиболее удаленные от оси – на рис. 5.6, а они помечены цифрой 1. В этих точках нормальные напряжения достигают наибольшей величины. В сечении В имеется два типа опасных точек. В точках на оси сечения, помеченных на рисунке цифрой 2, наибольшего значения достигают касательные напряжения, что может привести к разрушению срезом. В опасных точках третьего типа (см. рис. 5.6, а) ни нормальные, ни касательные напряжения не являются максимальными, однако их совместное действие может оказаться опасным.

3. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение.

Определим минимальную величину момента сопротивления из указанного условия прочности в опасном сечении:

σ

max

=

M X

max

£ R ,

W

X

³

M X

max

=

114,3×103

= 544×10−6 [м3 ].

WX

R

210×106

Наилучшим образом подходит двутавр №33 с моментом сопротивления Wх=597 см3, моментом инерции Jх=9840 см4, статическим моментом половины сечения Sх=339 см3 и толщиной стенки d=7,0 мм.

4. Произвести проверку прочности по максимальным касательным напряжениям и при необходимости усилить сечение.

Поперечная сила достигает наибольшего значения

Qy max = 285,8 кH над правой опорой (сечение В). Найти максимальное касательное напряжение:

τ		=		Qy	× SX	=	285,8×103 ×339×10	−6	=141×106 Пa > R =126 МПа .
					max
	max						9840×10−8 ×7,0 ×10−3
					J X d				cp

99

Условие прочности не выполняется, следовательно, необходимо увеличить номер двутавра. Для следующего по ГОСТу

двутавра №36 Wх=734 см3, Jх=13380 см4, SX =423 см3, d=7,5 мм.

Вновь вычислим наибольшее касательное напряжение:

tmax	=	235,8	×103 × 423 ×10−6	= 120,5 ×106 Пa < Rcp .
			×10−8 × 7,5 ×10−3
	13380

Условие прочности по максимальным касательным напряжениям выполняется.

5. С учетом совместного действия нормальных и касательных напряжений, используя четвертую теорию прочности, проверить прочность балки и при необходимости подобрать новое сечение.

Вычислить нормальное и касательное напряжения в сечении В в точках, помеченных на рис. 5.6, а цифрой 3.

	Расстояние				от этих		точек	до оси		у ( 3 ) = h /2 - t = 1 8 0 -
1 2 , 3 = 1 6 7 , 7 мм. Здесь h							– высота сечения, t			– толщина полки.
Нормальное напряжение:
	s(3) =		M X		× y(3) =		90 ×103		× 0,1677 = 113×106		Па.
			J X		13380 ×10−8
	Касательное				напряжение			можно найти по			формуле:
	Q Sотс
t(3) =	Y Y	.
	J X d
	Здесь SXотс			- статический момент части сечения, отсеченной

горизонтальной плоскостью, проходящей через точку 3. Эту часть

сечения можно без большой погрешности считать прямоугольником размерами b×t, где t – уже упоминавшаяся толщина полки, а b=155 мм – ширина полки указанного двутавра. Вычислим статический момент отсеченной части сечения, как

произведение ее площади Аотс на расстояние от оси х до центра тяжести прямоугольника.

yC = h2 - 2t =174 мм.

отс		æ h			t	ö	−6	é	3 ù
SX	= Аотс	× yC = b ×t ×ç		-		÷ = 300×10		ëм	û .
			2		2
		è				ø

100