сопроматчасть1

Dl

=

N

1

×l

=

169,1×103 ×1

= 7,04 ×10−4 м = 0.70мм.

1

E

× A

2 ×1011 ×12 ×10−4

1

1

l2

=

12 +12 =1,41м, l3 =

1,52 +12

=1,8м.

Dl2

=

N2

×l2

=

320×103 ×1,41

=14,8×10

−4

м =1.48 мм.

E × A2

2×1011 ×15,2×10−4

Dl

3

=

N3 ×l3

=

720 ×103 ×1,8

= 18,4 ×10−4 м. = 1.84мм.

2 ×1011 ×35,2 ×10−4

E × A

3

4. Определяем перемещение точки C.

Задачу об определении перемещений точек системы можно решать различными способами. Один из них базируется на плане перемещений. Построение плана перемещений является сложным этапом решения, так как для каждой стержневой системы он индивидуален, требует от исполнителя воображения и

внимательного учета особенностей закрепления элементов системы.

Если система содержит жесткие элементы, то построение

плана перемещений начинают с показа предполагаемого положения их после деформации упругих стержней (положение A1E1B1 и C1D на рис.2.11).Концы деформируемых стержней приводят в положение после их деформации, раскладывая

действительное перемещение их концов по направлениям вдоль и поперек стержня (см. перемещение точки G вG1 и Q2 в Q1 на рис.2.11). Такой прием позволяет выразить перемещение точек через деформации стержней.

По плану перемещений устанавливаем связь между известными деформациями стержней и искомым перемещением. Так, исходя из подобия треугольников CC1D и QQ1D, находим

β

G

G2 G1

α

α

Рис.2.11

31

								CC = QQ ×									CD			= QQ ×2,5 .
																	QD
											1				1				1
	QQ = QQ + Q Q					= EE +						Dl3			= EE + 18,41×10−4						= EE + 33,47×10−4	м,
												sin β
	1	2		1		2			1								1		0,55		1
												EE1 = Dl1 + E1E2 .
		Из подобия треугольников A1G2G1 и A1E2 E1 :
						E E					= G G					A× E				= 0,57 ×G G	.
										2					2 A× F
						1					1								1 2
		G G	2	=	Dl2		- Dl				=		14,8×10−4							- 7,04×10−4 = 13,8×10−4 м.
		1			sin α					1	0,71
						E E		2		=13,8×10−4 ×0,57 = 7,86×10−4 м.
						1

EE1 = 7,04×10−4 + 7,86×10−4 =14,91×10−4 м.

QQ1 =14,91×10−4 + 33,47×10−4 = 48,38×10−4 м.

Таким образом: СС1 = 48,38×10−4 × 2,5 = 120×10−4 м = 1,2 см.

Наиболее простым и универсальным способом определения перемещений точек стержневой системы является метод Мора, доказательство которого будет проведено позже. Согласно методу

Мора перемещение любой точки системы равно

D = ån ò Ni × N i dz,

1 li Ei ×Ai

где n – число стержней; Ni - нормальная сила в i- том стержне, возникающая от действия внешней нагрузки; Ni - нормальная

сила в i – том стержне от силы равной единице, приложенной в точке определения перемещения в направлении перемещения; Ai -

площадь i-того стержня; li - длина i – того стержня; Ei - модуль

упругости i – того стержня.

Методика определения перемещения заданной точки стержневой системы состоит в следующем.

1.Определяют нормальные силы Ni в стержнях от нагрузки.

2.В точку стержневой системы, перемещение которой определяется, прикладывают силу равную единице в направлении искомого перемещения и определяют нормальные силы N i в

стержнях от этой единичной силы.

3. Записывают интеграл Мора и вычисляют его.

Определим вертикальное перемещение точки С с помощью интеграла Мора:

n	N		×
		i		N	i
Dc = åò						dz,
l =1	Ei ×Ai
l

Для заданной стержневой системы интеграл Мора запишется следующим образом:

32

N1, N2 , N3.

l1	N ×					l2	N ×				l3	N ×
			N	1				N	2				N	3
Dc = ò	1					dz + ò	2				dz + ò	3			dz;
	E	× A					E × A					E × A
0		1			0		2		0			3

Нормальные силы в стержнях от внешней нагрузки Р определены (см. формулы (2.25)):

N1= 170кН; N2 = 320кН; N3 = 720кН.

Кстержневой системе, освобожденной от действующей

нагрузки прикладываем в точку С в вертикальном направлении безразмерную единичную силу (рис.2.12) и определим N1, N2 , N3 так же, как и В связи с тем, что единичная сила приложена в том же направлении, что и сила Р, N1 =1,06, N2 = 2,0, N3 = 4,5, т. е. в Р раз меньше.

G

P =1

Рис.2.12

Вычисляем вертикальное перемещение:

1

169,1×103

×1,06

1,41

320 ×103 × 2,0

1,8

720 ×103 ×4,5

Dc = ò

dz + ò

dz +

ò

dz =

2 ×1011 ×12

×10−4

2

×1011 ×17,4 ×10

−4

2

×1011

×35,2×10−4

0

0

0

7,5×10−4 + 25,93×10−4 + 82,8×10

−4 =116 ×10−4 м =1,16см

В горизонтальном направлении точка С не перемещается, т.к. по условию стержень CD абсолютно жесткий и не деформируется. В связи с этим полное перемещение и вертикальное равны.

Некоторое отличие величин Dc и CC1 может быть объяснено

различной точностью вычислений и различной точностью методов определения перемещений.

2.3.5. Пример 5.

Определить допускаемую нагрузку на статически определимую стержневую систему (рис.2.9).

Исходные данные: l = 2м; a =1,5м; b =1м.

Стержень I – двутавр №10 площадью поперечного сечения A1 =12см2 , стержень 2 – двутавр №16

33

площадью A2 = 20,2см2 , стержень 3 – швеллер №33, A3 = 46,5см2 ,

R = 210мПа.

Содержание и порядок выполнения.

1.Вычерчиваем в масштабе схему с указанием численных значений заданных величин (рис.2.9).

2.Для системы, у которой действие отсеченных частей упругих стержней заменено внутренними усилиями, N1, N2, N3, а

действие опорных связей заменено их реакциями R1, R2, R3

(рис.2.10) составляем уравнение равновесия и выражаем нормальные силы через искомую нагрузку Р выражения (2.22), (2.23), (2.24).

Получаем N1 = 1,06P; N2 = 2P; N3 = 4,5P.

Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности каждого стержня.

Стержень 1:

					σ1 =	N1	£ R,
						A1
1,06 × P			6	Þ P £	210 ×106 ×12 ×10			−4		3	Н = 238кН.
	£ 210	×10							= 238×10
12 ×10−4						1,06

Стержень 2:

σ2 = N2 £ R,

A2

2P		×10−6		210 ×106 × 20,2 ×10	−4
	£ 210		Þ P £			= 212 ×103	Н = 212кН
20,2 ×10−4				2

Стержень 3:

σ3 = N3 £ R,

A3

4,5× P			6	Þ P £	210 ×10	6 × 46,5×10	−4
	£ 210	×10						= 217кН.
46,5×10−4						4,5

Допускаемой нагрузкой будет такая нагрузка, при которой условия прочности всех стержней будут удовлетворяться. Этому требованию отвечает наименьшая из вычисленных P = 212кН.

2.3.6. Пример 6.

Подобрать поперечные сечения стальных стержней статически определимой системы и определить перемещения точки А (рис.2.13).

34

Исходные данные: l = 3м; a = 2м; b = 2м; P = 700кН,

R = 210МПа.

Решение.

1. Вычерчиваем в масштабе схему с указанием численных значений заданных величин (рис.2.13).

Рис.2.13

2. Составляем уравнения равновесия для всей стержневой системы и для ее узлов, выражая реакции связей и усилия в стержнях через силу P (рис.2.13,2.14,2.15 и 2.16).

	åM C = P ×3 - YB × 2 = 0,	YB	=	3	P
				2

åM A = YC ×3-YB ×5 = 0, YC = 156 P

åPX = -X C = 0

Для проверки используем уравнение:

åM B = P ×5 - X C × 2 - YC × 2 = 5× P - 0 - 156 × P × 2 = 0.

Узел A (рис.2.14); tgα = a /b = 1,Þ α = 45o.

(2.26)

(2.27)

Р

Рис.2.14

Рис.2.15

Рис.2.16

35

åPy = N1	×sinα - P = 0, N1 =		P		= 1,41× P,	(2.28)
		sin α
åPx = N5 + N1 ×cosα = 0, N5 = -N1 ×cosα = -P.						(2.29)
Узел D (рис.2.15); tgβ = a /(l -b) = 2,Þ β = 63,4o.
åPy = -N ×sinα - N3 ×sin β = 0,						(2.30)
åPx = N2 + N3 ×sin β - N1 ×cosα = 0, N2 = 0,5× P + P = 1,5× P.						(2.31)
Узел B (рис.2.16).
åPy	= -YB - N4 ×sinα = 0,		N4		= -2,13× P,	(2.32)
åPx	= -N2 - N4 ×cosα = 0,		N2 = -N4 ×cosα = 1,5×P.			(2.33)

Величина N2 , найденная независимо из условия равновесия

узла В и D совпала, что свидетельствует о правильности расчетов. Отметим, что стержни 1,2 растянуты, а стержни 3,4,5 сжаты.

3. Подбираем площади сечений стержней из условия прочности каждого стержня.

σ

=

N

£ R Þ A ³

N

=

1,41×700 ×103

= 4,7 ×10−3 м2

,

1

1

R

210 ×106

1

A

1

1

σ =

N2

£ R Þ A ³

N2

=

1,5×700×103

= 5,0×10−3 м2 ,

A

210×106

2

2

R

2

σ

=

N3 £ R Þ A ³

N3

= -1,115×700×103

= 3,72×10−3

м2.

3

A3

3

R

- 210×106

При расчете сечений A3, A4 , A5 следует учесть, что стержни

сжаты, и использовать в условии прочности расчетное сопротивление на сжатие. Для стали расчетное сопротивление на сжатие равно по абсолютной величине таковому на растяжение.

σ

=

N4

£ R Þ A ³

N4

=

- 2,13×700×103

= 7,1×10−3 м2

,

A

- 210×106

4

4

R

4

σ

=

N5

£ R Þ A ³

N5

=

- 700×103

= 3,33×10−3 м2.

A

- 210×10−6

5

5

R

5

По площадям поперечных сечений подберем из сортамента номера стандартных профилей для стержней 1,2,3 и вычислим диаметры стержней 4,5, имеющих круглое сечение. Согласно сортамента стержню 1 соответствует швеллер№36 с площадью

сечения A = 53,4см2 , стержню 2 - двутавр №33 с площадью

1

= 53,8см2 , стержню 3 - уголок 160×160×12 с площадью

сечения A

2

сечения A = 37,4см2 . Определяем диаметры четвертого и пятого

3

стержней:

d4 =

4 × A4

=

4× 71

= 9,5см,

d5 =

4× A5

=

4×33,3

= 6,5см.

3,14

3,14

π

π

Так как диаметр пятого стержня имеет не стандартный размер, то из таблицы нормальных линейных размеров (стр.39)

36

принимаем ближайший больший d5 = 67мм. В этом случае

A =

π × d 2

=

3,14 ×6,7

2

= 35,2см2 .

5

5

4

4

4. Определим изменение длины каждого стержня.

N1×l1

1,41×700×10

3

×

2

Dl

=

=

cosα

= 2,61×10−3 м,

E × A

1

2×1011 ×5,34×10−3

1

Dl2 =

N2 ×l2

=

1,5×700×103 ×3

= 2,9

×10

−3

м,

E × A2

×1011 ×5,38×10

−3

2

-1,115×700×103 ×

2

Dl

N3 ×l3

sin β

−3

=

=

= -2,95×10

м,

3

E × A

2×1011 ×3,74×10−3

3

Dl4

=

N

4

×l4

=

- 2,13×700×103 ×2,83

= -2,97×10

−3

м,

E

×

A4

2×1011 ×7,1×10−3

Dl5 =

N5 ×l5

=

700×103 ×3

= -3,15×10

−3

м.

E × A

2×1011 ×3,52×10−3

5

5. Пользуясь интегралом Мора определяем вертикальное,

горизонтальное и полное перемещение точки А.

n

Ni

× Ni ×dz

D = å

ò

;

E × A

i=1 l

i

i

Вертикальное перемещение.

Нормальные силы Ni в стержнях известны:

N1

= 1,41P,

N2

= 1,5P,

N3

= 1,11P,

N4

= -2,13P,

N5 = -P.

Для определения

прикладываем силу равную 1 в точку A в

N i

вертикальном направлении и находим

также как и Ni (методом

Ni

вырезания узлов). Очевидно

будут в

P

раз меньше Ni , т.е.

Ni

=1,41,

=1,5,

= -1,11,

= -2,13,

= -1.

N

N2

N4

N5

i

N3

Следовательно,

Р

2 ,8 3

1, 4 1 2 d z

3

1, 5 2 × d z

2 , 2 4

( - 1, 1 5 ) 2 d z

D B =

( ò

+ ò

− 3

+ ò

+

E

7 , 1 × 1 0

− 3

5 × 1 0

3 , 7 2 ×

1 0

− 3

0

0

0

2 ,8 3

( - 2 , 1 3 ) 2 d z

3

( - 1) 2 d z

+ ò

+ ò

) = 1 9 , 7 × 1 0 − 3 м

7 , 1 × 1 0

− 3

3 , 5 2 ×

1 0

− 3

0

0

Горизонтальное перемещение.

Прикладываем в горизонтальном направлении в точку А силу равную единице (рис.2.17). Определяем Ni .

åPx = -1+ N5 + N1 ×cosα = 0,

åPy = N1 ×sin α = 0 Þ N1 = 0, N 5 = 1.

37

		Из равновесия					остальных узлов			легко	показать, что
		=		=		= 0.	Нормальные силы от внешней нагрузки
	N2		N3		N4
	Ni останутся без изменения.
		Таким образом, согласно интегралу								Мора,	горизонтальное
перемещение точки А равно:

P= 1 DВ

Рис.2.17

3	N5 ×		5 × dz	3	- 700 ×103 × dz
		N					−3
DГ = ò				= ò		= -3×10		м.
	E × A				2 ×1011 ×3,52 ×10−3
0	5			0

Знак минус результата указывает на то, что точка А переместилась в направлении противоположном направлению с единичной силы.

Полное перемещение точки А:

				×10−3 = 19,9 ×10−3 м
D = D2В + D2Г = 19,72 + 32
2.3.7. Пример 7
Определить допускаемую нагрузку на					статически
определимую стержневую систему (рис.2.13) примера 6.
Исходные данные: l = 3м, a = 2м,				R = 210МПа.

Стержни: 1- швеллер№40, 2 – двутавр№40, 3 – уголок 160×160×16,4 – двутавр№16, 5 – двутавр №10. Пользуясь таблицами стандартных профилей, выписываем площади сечений

стержней: A = 61,6см2	,	A = 71,4см2	,	A = 49,1см2	,	A = 20,2см2	,
1		2		3		4
A =12см2.
5

38

Содержание и порядок выполнения:

1.Вычерчиваем в масштабе схему с указанием численных значений заданных величин (рис.2.13 примера 6).

2.Составляем уравнение равновесия и выражаем реакции связей и усилия в стержнях через силу P (см.

рис.2.13,2.14,2.15,2.16 и выражения 2.28,2.29,2.30,2.31,2.32 примера

6). Получаем N1 = 1,41P,	N2 = 1,5P,	N3 = -1,115P,	N4 = -2,13P,
N5 = -P.

3. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности каждого стержня.

Стержень 1:

				σ1 =	N1		£ R,
					A1
1,41× P			6	Þ P £		210 ×106			× 61,5×10	−4
	£	210 ×10									= 915кН.
61,5×10−4								1,41

Стержень 2:

σ2 =

N2

£ R,

A2

1,5 × P

6

Þ P £

210 ×106

×71,4 ×10

−4

£

210 ×10

= 999кН.

71,4 ×10

−4

1,5

Стержень 3:

σ3

=

N3

£ R,

A3

-1,115× P

£ (- 210 ×10

6 )Þ P £

210 ×106 × 49,1×10−4

= 924кН.

49,1×10−4

1,115

Стержень 4:

N4

σ4

=

£ R,

A4

2,13× P

£ 210

×10

6

Þ

P £

210 ×106

× 20,2 ×10

−4

= 199кН.

20,2 ×10−4

2,13

Стержень 5:

N5

σ5 =

£ R,

P

A5

£ 210

×106

Þ P £ 210 ×106

×12 ×10−4

= 252кН.

12 ×10−4

Наименьшую нагрузку равную 199 кН допускает 4–й стержень. Эта нагрузка является допускаемой для всей системы, т.к. ее превышение приведет к нарушению условия прочности в четвертом стержне.

Таблица нормальных линейных размеров (ГОСТ 6636-69), мм: 10, 10.5, 11, 11.5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 60, 62, 63, 65, 67, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 125, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200.

39

2.4. Контрольное задание 1. Расчеты на прочность статически определимых систем растяжения – сжатия

Подобрать из условия прочности поперечные сечения стержней статически определимой системы и определить перемещение точки А. Схема системы и типы сечений (круг, двутавр) приведены на рис.2.18, численные данные в табл.1. Материал: сталь Ст.3.

						Таблица 1
Цифра	1-я	2-я	3-я	4-я	5-я		6-я
шифра	схема	l, м	a, м	α, °	β, °		Р, кН
1	1, 11, 21	1,8	0,6	30	75		300
2	2, 12, 22	1,9	0,6	35	70		350
3	3, 13, 23	2,0	0,7	40	65		400
4	4, 14, 24	2,1	0,7	45	60		450
5	5, 15, 25	2,2	0,8	50	55		500
6	6,16, 26	2,3	0,8	55	50		550
7	7, 17, 27	2,4	0,9	60	45		600
8	8, 18, 28	2,5	1,0	65	40		650
9	9, 19, 29	2,6	1,1	70	35		700
0	10, 20, 30	2,8	1,2	75	30		800

Содержание и порядок выполнения работы:

1.Вычертить в масштабе схему, указать численные значения заданных величин.

2.Составить уравнения равновесия и определить усилия в стержнях.

3.Подобрать из условия прочности сечения стержней.

4.Определить изменения длины каждого стержня.

5.Построить в масштабе план перемещения точки А.

6.Найти аналитически и проверить графически горизонтальное, вертикальное и полное перемещение точки А.

40