сопроматчасть1

а

У

М

Z	Х

а

Рис. 4.1

Следовательно, согласно принятому правилу знаков, крутящий момент Мк в сечении а - а будет положительным.

При действии на отсеченную часть нескольких внешних моментов, крутящий момент в сечении находится как алгебраическая сумма внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.

Для того чтобы судить о характере распределения крутящих моментов по длине вала, строят эпюру этих силовых факторов.

Для упрощения внешние моменты будем условно обозначать в виде двух кружков, соединенных линией. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, с крестиком - от наблюдателя (рис. 4.2, а).

Поясним построение эпюры крутящих моментов на следующем примере: рассмотрим вал АЕ (рис.4.2, б), опирающийся на подшипники и нагруженный в сечениях А, В, С, D, Е сосредоточенным крутящими моментами, а на участке СD – распределенным крутящим моментом (m). Вал под действием указанных моментов находится в равновесии.

Проведем сечение а-а на участке АВ. Из условия равновесия левой от сечения части получаем Мк=200 Н×м.

Всечении b - b на участке ВС Мк= 200 – 400 = - 200 Н×м.

Всечении с - с на участке CD Мк= 200 – 400 – 600 + 100×z,

0 ≤ Z ≤ 1м.

При z = 0 Мк= - 800 Н×м, при z=1 м Мк= - 700 Н×м.

В сечении d - d на участке DE

Мк= 200 – 400 – 600 + 100 + 200 = - 500 Н×м.

Эпюра крутящих моментов имеет форму прямоугольников, за исключением участка, на котором приложен распределенный

71

	крутящий момент. Следует отметить, что в том сечении, где
	имеется сосредоточенный крутящий момент, ордината эпюры
	скачкообразно изменяется на величину приложенного здесь
	момента.
		М	а	3М	b	М	с	3М d
			а		b		с	d
		l		2l			2l	l/2
			2М					3М
	Мк			М
					а
		М2=400 Н×м							М4=200 Н×м
	М1=200 Н×м			М3=600 Н×м m=100H×м/м
		а		b			с		М5=500 Н×м
								d
	А	а	В	b	С	z	с D	d	Е
								0,5м
		1м		1м		1м
		200		w2		w3		w
	Мк,							4
			w1
	Н×м
				200					500
		0,067		800			700
	j (град)
							0,251	0,335
					б
				Рис.4.2
					72

4.3 Определение напряжений и деформаций при кручении вала круглого сечения

При анализе деформаций кручения будем основываться на следующих гипотезах:

1 При кручении круглого вала поперечные сечения, плоские до деформации вала, остаются плоскими и перпендикулярными к его продольной оси и после деформации (гипотеза плоских сечений).

2Радиусы сечения, прямые до кручения, остаются прямыми и при кручении.

3Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, но поперечные сечения, вследствие деформации сдвига, поворачивается друг относительно друга как жесткое целое.

4Касательные напряжения пропорциональны деформациям

сдвига.

Касательные напряжения при кручении вала круглого сечения распределяются по линейному закону пропорционально расстоянию от центра сечения ( рис.4.3):

τ = MK × ρ .

Jp

Условие прочности для круглого сечения записывается в виде:

τ	max	=	Mk × ρmax	£ R	(4.3)
			Jρ	cp
где M K - максимальный				крутящий момент на участке,	J p -

полярный момент инерции на том же участке; ρmax – радиус внешней окружности, Rcp- расчётное сопротивление срезу.

	Учитывая, что Wp =	J p	- полярный момент сопротивления,
		ρmax

условие прочности приобретает следующий вид:

τmax =	M K	≤ Rcp .	(4.4)
	Wp

τmax

По четвертой теории прочности Rcp ≈ 0,6R.

Относительный угол закручивания - θ

зависит от крутящего момента и жесткости поперечного сечения вала.

Рис. 4.3

73

q =		M K		,		(4.5)
		GJ p
где GJр – жесткость поперечного сечения вала круглого сечения
при кручении.
Учитывая, что q =	dϕ		, определяем величину		абсолютного
		dz			l	M K dz
угла закручивания (взаимный угол поворота сечений)					j = 0ò		.
						GJ p

Если в пределах цилиндрического участка вала длиной l

крутящие моменты в сечениях не изменяются, то j = M Kl .

GJ p

Условия жесткости при кручении имеет вид

qmax =	M K	£ [q],	(4.6)
	GJ p

где [q] – допускаемый относительный угол закручивания.

4.4. Кручение вала прямоугольного сечения

Задача об определении касательных напряжений и углов закручивания для вала с некруглым поперечным сечением не может быть решена методами сопротивления материалов. В данном случае гипотеза плоских сечений не применима. Это подтверждают экспериментальные исследования.

В случае кручения вала прямоугольного сечения наибольшие касательные напряжения возникают в серединах длинных сторон прямоугольника, т.е. в точках А и В, рис. 4.4, б. Результаты решения, полученные Сен-Венаном, дают следующие зависимости:

	tA = tmax =			M K		,	(4.7)
				WK
где W = ahb2	;	h – большая сторона; b – малая					сторона
K
прямоугольника.
В точке С tc		= g × tmax .
Угол закручивания на длине l находят по формул
		j =	M Kl		,		(4.8)
			GJK

где JK = βhb3 .

74

		τmax
Y		А
М
		С	τ
0 А	С	0
b		В
В		Х

	h
Z	а	б
		Рис. 4.4

Коэффициенты α, β, γ зависят от отношения h/b и находятся по справочным таблицам (табл. 4.1).

			Таблица 4.1
h/b	α	β		γ
1,00	0,208	0,141		1,000
1,50	0,231	0,196		0,859
1,75	0,239	0,214		0,820
2,00	0,246	0,229		0,795
2,50	0,258	0,249		0,766
3,00	0,267	0,263		0,753
4,00	0,282	0,281		0,745
6,00	0,299	0,299		0,743
8,00	0,313	0,313		0,742
10,00	0,313	0,313		0,742
> 10	0,333	0,333		0,742

Условия прочности и жесткости для прямоугольного сечения имеют следующий вид:

τmax =	M K	≤ Rcp ,	θ =	M K	≤ [θ].	(4.9)
	WK			GJK

75

4.5 Пример расчета стального вала на прочность и жесткость

Определить размеры стального вала сплошного круглого,

трубчатого и прямоугольного сечения из условий прочности и жесткости для схемы нагружения, изображенной на рис.4.2, б.

Расчётное сопротивление срезу Rcp=126 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [q]=0,5 град/м. Отношение

внутреннего диаметра к наружному у трубчатого сечения a = Dd = 0,8 , отношение большей стороны прямоугольного сечения

к меньшей bh = 2 .

Решение:

Определить размеры вала, удовлетворяющие условиям прочности и жесткости, и округлить их до нормализованного значения по ГОСТ 6636-99 (см. стр. 38).

Для вала постоянного сечения опасным будет сечение С, где МК=800Н×м имеет наибольшее значение (Рис.4.2,б).

Сплошное круглое сечение

Определение диаметра вала из условия прочности

t

=

M K

£ R ,

W

p

= pD3

,

max

Wp

cp

16

M K

×16

D ³

3

= 3

800 ×16

= 3,19 ×10

−2

м ,

pRcp

3,14 ×126 ×106

из условия жесткости:

qmax =

M K

£ [q],

[q]= 0,5

град

= 0,0087

рад

,

м

м

GJ p

J p ³

M

K

, J p =

pD4

,

G[q]

32

модуль сдвига для стали принимаем G=8×104 МПа.

D = 4	M K × 32	= 4		800 × 32	= 5,85 ×10		−2	м.
	pG[q]			3,14 × 8 ×1010 × 0,0087

76

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из нормального ряда линейных размеров ( стр.37 ) принимаем ближайшее значение D=60 мм.

Трубчатое сечение

Из условия прочности

Wp ³

M K

,

Wp = pD3 (1- a4),

Rcp

16

D ³ 3

M K

×16

=

3

800 ×16

=

3,80 ×10

−2

м .

pRcp (1

0,84 )

- a4 )

3,14 ×126 ×106 (1

-

Из условия жесткости

J p ³

M K

,

J p = pD4

(1- a4) ,

G[q]

тогда

32

D ³ 4

M K × 32

= 4

800 × 32

= 6,67 ×10

−2

м .

pG[q](1 - a4 )

3,14 × 8 ×1010 × 0,0087 × 0,59

Принимаем D = 67 мм.

Прямоугольное сечение

Из условия прочности

t

max

=

M K

£ R

cp

,

W = ahb2

= a × 2b3 ,

из табл. 4.1

WK

K

a=0,246,

M K

b ³ 3

= 3

800

= 2,35

×

10

−2

м .

2aRcp

2 ×

0,246 ×126 ×

106

Из условия жесткости

q

=

M K

£ [q],

JK = bhb3 , из табл. 5.1

b=0,229,

GJK

JK = 2bb4 = 2 × 0,229b4 ,

b ³

4

M K

=

4

800

=

3,98 ×

10

−2

м .

G × 0,458 × [q]

8 ×1010 × 0,458 × 0,0087

Принимаем b = 40 мм, h = 80 мм.

77

2. Дать эскиз опасного сечения вала и построить эпюру касательных напряжений, рис. 4.5 а, б, в.

tmax

=

M K

=

800 ×16

= 18,9 ×10

6

Па

Wp

3,14 × 0,06

3

tmax

=

800×16

= 23×106 Па

3,14×0,0673 ×0,59

tmaxA

=

800

= 25,4 ×106 Па

2 × 0,246 × 0,043

tB = g × tmaxA = 0,795 × 25,4 ×106 = 20,2 ×106 Па

t, МПа	t, МПа 23		t, МПа
	18,89		В
	d	D

А 25,4

18,87	23		20,2 в
а		б

Рис. 4.5

3. Оценить рациональность рассматриваемых сечений.

За критерий рациональности принимается

удельный

момент

Wp

W

сопротивления w

p

=

( w =

K

, для

некруглого

сечения) с

позиции

A3

K

A3

J p

прочности и удельный радиус инерции

jp =

( jk

=

J

K

, для некруглого

A

2

2

A

сечения) c позиции жесткости.

Чем больше эти параметры, тем рациональнее сечение.

Оценим критерии рациональности с позиции жесткости и прочности.

78

Сплошное круглое сечение

С позиции прочности:

wp =

Wp

=

π D3

=

4

= 0,282 .

A3

æ

π D

2 ö3

2

3,14

16

ç

÷

è

4

ø

С позиции жесткости

j	p	=	J p	=		π D4			=	1	= 0,158.
			A2			æ	π D	2 ö2		2×3,14
				32
						ç		÷
						è	4	ø

Трубчатое сечение

w¢p =			pD3 (1 - a4 )
			é		pD	2			ù3
16			ê				(1 - a2 )ú
					4
			ë						û
j¢p =			pD4 (1- a4 )
			épD2					2	ù2
32ê							(1- a		)ú
					4
			ë						û

		1+ a2				1,64		= 0,771
=				=
	2				2
		p(1 - a2 )				3,14 × 0,36

	1+ a2			1,64	= 0,725 .
=			=
	2p(1			2 × 3,14 × 0,36
		- a2 )

Прямоугольное сечение

W

2ah3

a

0,246

w =

K

=

=

=

= 0,174

K

F3

(2 × h2 )3

2

1,41

jK

=

J

K

=

2bh4

=

b

=

0,229

= 0,114

F 2

4h4

2

2

Отношения критериев рациональности для трубчатого,

сплошного круглого и прямоугольного сечений с позиции прочности следующие:

wρ¢ : wρ : wK = 0,771: 0,282 : 0,174 = 4,43:1,62 :1

79

С позиции жесткости:

′

= 0,725:0,158: 0,114 = 6,36:1,39:1.

jρ : jρ : jK

Следовательно, наиболее рациональным сечением из

рассмотренных является трубчатое, наименее рациональным –

прямоугольное.

Отношение весов Q = γ × A×l этих валов

а

б

в

pD2

2

pD2

2

3,14 ×6,72

3,14 × 6

2

2

Q

: Q

: Q

=

TP

(1- a

) :

спл

: 2b

=

×0,36 :

: 2 × 4

=

4

4

4

4

= 0,40 : 0,88 :1.

Из отношения весов следует, что вес вала с трубчатым сечением в 2,5 раза легче вала с прямоугольным сечением и в 2,2 раза легче вала со сплошным круглым сечением.

4. Определить углы закручивания участков вала трубчатого сечения и построить эпюру углов закручивания.

Обозначим площади эпюры крутящих моментов на участках за w1, w2, w3, w4, которые представляют собою произведение МК на длину участка (w3 – произведение средней линии трапеции на длину участка).

Тогда, принимая за начало отсчета сечение А (рис.4.2, б),

получим:

w

200 ×1×180

0

jB−A =

1

=

= 0,067o ,

GJ p

10

3,14

4

4

8 ×

10

×

0,067

(1

- 0,8

) × 3,14

32

j

− A

= j

B− A

-

w2

=

200 ×1

-

200 ×1

= 0,

GJ p

C

GJ p

GJ p

w3

800 + 700

×1×1800 × 32

jD−A = jC− A -

= -

2

= -0,251

o

×1010 × 3,142

× 0,0674 × 0,59

GJ p

8

jE−A = jD−A -

w

4

= -0,2510 -

500 × 0,5 ×1800 × 32

= -0,404o

8 ×1010 × 3,142

× 0,0674

× 0,59

GJ p

.

На основании расчетов строим эпюру углов закручивания

(рис. 4.2б).

80