сопроматчасть1

ω		= -	1	h b = -		1	80× 2; ω		= -		1		h b				= -	1	20× 2; ω				=		ql63		=		20×0.53					;
						2
	4	2		4	4			5	2					5		5	2					6	12							12
								ω7 = -						1		2,5×0,5.
														2
Единичные						моменты						ci					можно			определять,										используя
										М
выражения единичных моментов на участках																					М			1,		М		2 ,			М	3,			М	4 ,

аможно вычислять, используя подобие треугольников,

образованных единичной эпюрой на участке и моментом М с (рис. 6.11).

	B				D
	M
				M	c
	A						C
					E
						2/3 l
						l

Рис. 6.11.

Так, в треугольной эпюре АВС момент Мс образует подобный

ЕС

DE

треугольник DEC, в котором

АС =

AB .

Откуда DE =

с =

EC

× AB =

EC

×

М

M .

AC

ЕС

2

AC

Если

=

, как показано на рисунке, то

с =

2

, если

М

M

АС

3

3

ЕСАС = 13 , то М с = 13 M и т.д.

М сi , показанные на рис. 6.10, определенны именно так. Перемножая площади ωi грузовой эпюры (рис. 6.9, а) на

значения единичных моментов под центрами тяжести ωi и

складывая результаты, получим горизонтальное перемещение точки А:

	EIxυАГ = ω1					М		С1 +ω2	М		С2 +ω3			М		С3 +ω4				М		С4 +ω5		М			С5 =
	20×1,53		1		1					2			1					2			1		æ	2					1		ö
= -		×		1,5 +			22,5×1,5×					1,5 +			80 ×		2		2 +				80 × 2ç			× 2		+		1,5	÷	+
	12		2		2					3			2					3			2			3					3
																							è								ø

		1	æ	1			2		ö	3
	+		20 × 2ç		2	+		1,5	÷	= -4,22 +16,875 +106,67 +146,67 + 33,4 = 299,39 кНм	,
		2		3			3
			è						ø

151

	υАГ =		299,39×103	= 0,027 м.
		2	×1011 ×5500×10−8

б) Угол поворота сечения В.

В точку В приложим единичный единичную эпюру моментов (рис. 6.12).

		M	C4	= 2	.1
_	1 .			3
M C5 = 3		1			1

+

					М
		_		1	+
		R	1 =
				2
A

момент и построим

1

_

M C3 =1

B
1			1
		R 2 =
1			2

Рис. 6.12.

åM B = -R1 ×2 +1 = 0 Þ R1 = 12 = R2 ,

M1 = 0; M 2 = 0; M 3 = 1; М 4 = 1- R2 z4 ; М 4 (0) =1; М 4 (2) = 0

EIxQВ = ω3 М С3 + ω4 М С4 + ω5 М С5 = - 12 80× 2×1- 12 80× 2 × 23 ×1- 12 20× 2 13 ×1=

	= -80 - 53,33- 6,67 = -140 кН2 ;
Q =	-140×103	140×103
	= -		= 0,0127 рад.
B	EIx	2×1011 ×5500×10−8

в) Взаимное перемещение точек С и D. В точки С и D

прикладываем противоположно направленные горизонтальные силы равные единице и строим эпюру изгибающих моментов (рис. 6.13).

åM B = -1×2,5 +1×2 + R1 ×2 =0
R =		2,5 − 2	= 0,25
1	2
	R2 = R1 = 0,25
		R3 = 0

152

1 = 0;

2 = -1× z2;

2 (0)= 0;

2 (0,5)= -0,5;

3 = 0;

4 =

2 × z4 ;

M

M

M

M

М

М

R

4 (0)= 0;

4 (2)=

0,25 × 2 = 0,5.

М

М

С1 =

С2

=

С3

= 0;

С4 =

1

0,5;

С5 =

2

0,5;

С6

= -

1

0,5;

С7

= -

2

0,5.

М

М

М

М

М

М

М

3

2

3

3

EI xυC−D = ω4 М С4 + ω5 М С5 + ω6 М С6 + ω7 М С7 =

= - 1 80× 2 1 0,5 - 1 20× 2× 2 0,5 - 20×0,53 × 1 0,5 + 1 2,5×0,5× 2 0,5 = 2 3 2 3 12 2 2 3

= -13,33 - 6,67 - 0,052 + 0,625 = -19,427 кНм3.

_

1

C _

_

_

Mc6

Mc7

Mc4

0,5

Mc5

D

1

0,5

М, м

_

A

_

R 2=0,25

B

_

R 1=0,25

R 3=0

Рис. 6.13.

Расстояние между точками С и D уменьшилось на величину

	υС−D =	-19,427×103	=	-19,427×103	= -0,0018 м.
		EIx		2×1011 ×5500×10−8

Вопросы для самопроверки

1.Что называется прогибом υ и углом поворота Θ?

2.Какая связь между υ и Θ?

3.Как записывается приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки?

4.Какие приемы записи дифференциального уравнения и его интегрирования позволяют свести число постоянных интегрирования к двум?

5.Каков физический смысл этих постоянных интегрирования?

6.Какие величины относят к начальным параметрам?

153

7.Что называется универсальным уравнением упругой линии

балки?

8.Из каких условий определяют начальные параметры?

9.Как записывается интеграл Мора в общем случае нагружения?

10.Какая часть общего выражения интеграла Мора используется для упругих систем подверженных только растяжению или сжатию, только изгибу?

11.В каком порядке производится определение линейных и угловых перемещений по формуле Мора?

12.Как вычисляется интеграл Мора способом Верещагина?

13.В каком порядке производится определение линейных и угловых перемещений способом Верещагина?

14.Что необходимо сделать с грузовой эпюрой в сечении, где единичная эпюра моментов ломается?

15.Что означает знак у перемещения, вычисленного интегралом Мора или способом Верещагина?

Литература: [1.] Глава 8, § 8.1-8.3., 8.5, 8.9. [3.] Глава IX, § 74-77, 80.

6.7. Контрольное задание 11. Определение перемещений в балках

Для заданной балки подобрать стандартный двутавр из условия прочности и, исследовав её деформацию различными методами, произвести проверку на жесткость.

Схема балки приведена на рис.6.14, численные данные – в табл.6.2.

					Таблица 6.2
Цифры	1-я	2-я	3-я	4-я		5-я
шифра	схема	l, м	a, м	q, кН/м		М0, кН×м
1	1, 11, 21	1,6	0,2	6		18
2	2, 12, 22	1,8	0,3	7		20
3	3, 13, 23	2,0	0,4	8		24
4	4, 14, 24	2,2	0,5	9		28
5	5, 15, 25	2,4	0,6	10		30
6	6, 16, 26	2,8	0,8	12		32
7	7, 17, 27	3,0	0,9	14		36
8	8, 18, 28	3,2	1,0	15		40
9	9, 19, 29	3,6	1,2	16		42
0	10, 20, 30	4,0	1,4	20		45

154

Содержание и порядок выполнения работы:

1.Вычертить схему балки, указать численные значения заданных величин.

2.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

3.Подобрать двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям.

4.Определить углы поворота и прогибы методом начальных параметров в четырех сечениях балки (над опорами, посередине пролета и на конце консоли).

5.Проверить найденные в п.4 перемещения методом Мора и способом Верещагина.

6.Построить эпюры углов поворота и прогибов, разместив их под эпюрами Q и М (п.2).

7.Проверить балку на жесткость в пролете и на консоли. При необходимости подобрать новое сечение.

Допускаемый прогиб в пролете [f]п=l/300. Допускаемый прогиб на консоли [f]к=a/400.

155

Рис. 6.14

156

Рис. 6.14(продолжение)

157

Рис 6.14 (окончание)

158

6.8 Контрольное задание 12. Определение перемещений в рамах

Для заданной рамы подобрать двутавр из условия прочности и определить перемещения в указанных ниже сечениях.

Схема рамы приведена на рис. 6.15, численные данные – в

табл.6.3.

						Таблица 6.3
Цифры	1-я	2-я	3-я		4-я		5-я
					q, кН м		М 0 , кН × м
шифра	Схема	l,м	а,м b,м
1	1,11,21	0,3	1,0	1,2	2,1		10
2	2,12,22	0,4	1,2	1,4	2,2		12
3	3,13,23	0,5	1,4	1,6	2,4		14
4	4,14,24	0,6	1,5	1,8	2,5		15
5	5,15,25	0,8	1,6	2,0	2,8		16
6	6,16,26	0,9	1,8	2,2	3,0		18
7	7,17,27	1,0	2,0	2,4	3,2		20
8	8,18,28	1,2	2,2	2,5	3,5		22
9	9,19,29	1,5	2,4	2,6	3,6		24
0	10,20,30	1,6	2,5	2.5	4,0		25

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить схему рамы, указать численные значения заданных величин.

2.Построить эпюры продольных и поперечных сил и изгибающих моментов.

3.Подобрать двутавр из условия прочности по нормальным напряжениями (учитывая только изгиб).

4.Способом Верещагина определить горизонтальное перемещение сечения А, угол поворота сечения В, взаимное горизонтальное перемещение сечений С и D (учитывая только изгиб).

159

Рис. 6.15

160