Учебное пособие с заданиями

Рис. 10.1

σ = F + FyP

A J x

Отношения J x

A

В произвольном поперечном сечении стержня возникают три внутренних силовых фактора, постоянных по его длине:

N = F;

M x = FyF ;

M y = FxF .

Здесь хF и уF – координаты точки приложения равнодействующей внешней нагрузки F (координаты полюса силы). Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой сочетание косого изгиба с центральным растяжением или сжатием. Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения В(х, у) определяется следующим выражением:

σ= F + Mx y + M y x, A Jx J y

или

y +

Fx

P

x =

F

+

y

F

y

+

x

F

x

1

.

(10.1)

J x

J у

J y

A

A

A

и

J у

представляют собой квадрат радиу-

A

сов инерции сечения:

J x	= i x2 ;	J y	= iy2 .
A
		A

С учетом этих обозначений формула (10.1) принимает вид

σ =

F

+

y

F

y

+

x

F

x

(10.2)

2

2

1

.

A

ix

iy

211

При определении напряжений по формуле (10.2) величины хF, х, уF, у берутся с учетом их знака относительно координатных осей. В условиях внецентренного сжатия перед правой частью формулы (10.2) ставится знак минус.

10.2. Определение положения нейтральной линии

При сложном профиле сечения стержня для определения опасной точки предварительно находится положение нейтральной линии. Учитывая, что на нейтральной линии напряжения равны нулю, получаем:

	F		y y		x x
σ =		1+	F 0	+	F 0		= 0.
			i2		i2
	A
			x		y

Здесь х0 и у0 – координаты любой точки нейтральной ли-

	нии. Уравнение нейтральной линии будет иметь вид
	1 +	yF y0	+	xF x0	= 0 .	(10.3)
		ix2		iy2

Это – уравнение прямой, не проходящей через начало координат (рис. 10.2).

По уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях. Обозначим эти отрезки (см. рис. 10.2) через ах и ау.

Если принять, что у0 = 0, х0 = ах, то из уравнения (10.3) получим

	1 +	xF ax	= 0.
		iy2

Принимая х0 = 0, у0 = ау, будем иметь

	1 +	уF ay	= 0.
		ix2
			Рис. 10.2

212

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях:

	= −	iy2			= −	i	2
ax			,	ay			x	.	(10.4)
		xF
						yF

Исследование этих формул показывает, что точка приложения силы и нейтральная ось лежат по разные стороны относительно центра тяжести сечения.

Отметим, что нейтральная линия делит поперечное сечение стержня на две зоны – сжатую и растянутую. Проводя параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения, найдем опасные точки С и D, лежащие в растянутой и сжатой зонах

(см. рис. 10.2).

Условие прочности для стержня из пластичного материала запишется в виде

F

x

F

x

y

F

y

оп

σmax =

1

+

оп

+

≤ [σ] ,

(10.5)

2

2

A

iy

ix

где хоп и yоп – координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной линии (точка D на рис. 10.2).

Для стержней, выполненных из неравнопрочного материала, расчет на прочность ведется для двух опасных точек (в растянутой и сжатой зонах).

Условия прочности имеют вид:

σmaxp =		F				+
				1
		A
σcmax =	F				+
				1
		A

x

F

x′

y

F

y′

оп

+

оп

≤ [σ]

,

2

2

р

iy

ix

''

''

xF xоп

+

yF yоп

≤ [σ]

.

(10.6)

2

2

cж

iy

ix

Здесь	x′	, y′	и x ′′	, y ′′	– координаты опасных точек со-
	оп	оп	о п	о п

ответственно в растянутой и сжатой зонах.

213

10.3. Ядро сечения

Из анализа формул (10.4) можно отметить характерные особенности, связанные с поведением нейтральной линии при различных положениях силы F. Если сила F приложена в центре тяжести сечения (хF = 0, уF = 0), то нейтральная линия отсекает на координатных осях отрезки равные бесконечности (ах = ∞, ау = ∞). Напряжение при этом определяется выражением

σ= F , т.е. имеется центральное растяжение или сжатие с рав-

A

номерным распределением напряжений по всему сечению. С увеличением координат точки приложения силы хF и уF нейтральная линия будет приближаться к сечению и при некотором положении точки приложения силы (1 на рис. 10.3) она коснется контура сечения (линия n1 − n1). При дальнейшем увеличении эксцентриситета нейтральная линия пересечет контур сечения (см. рис. 10.2), разделив все сечение на две области – растянутую и сжатую. Понятно, что в случае, когда нейтральная линия касается контура сечения, все сечение испытывает напряжение одного знака. Отсюда следует определение ядра сечения как области, очерченной вокруг центра тяжести и специфичной тем, что продольная сила, приложенная в любой точке этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Из определения ядра сечения вытекает порядок его построения: задаваясь всевозможными положениями нейтральной линии как касательной к контуру сечения, вычисляют соответствующие координаты полюса силы:

x = −	iy2				= −	i2
		,	y	F		x	.	(10.7)
F	ax					ay

Совокупность полученных точек дает контур ядра сечения. На рис. 10.3 приведены сечение и построенное для него яд-

ро. Показаны положения, которые нейтральная линия последовательно занимает при ее «обкатке» вокруг контура сечения, и соответствующие этим положениям точки приложения силы. При этом перемещение полюса силы между точками 1 и 2, 2 и 3, 5 и 1 происходит по прямым линиям.

214

Обоснованием перехода между точками приложения силы по прямым линиям является легко доказываемая теорема: если нейтральная линия вращается вокруг некоторой точки А, то сила F перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Рис. 10.3

Рис. 10.4

Для доказательства покажем, что при любом положении силы FС на прямой 1−2 линия nC − nC проходит через точку А,

т.е. σА = 0 (рис. 10.4).

Разложим силу Fс на две параллельные составляющие FС1 и FС2. От каждой из этих двух составляющих напряжение σА = 0, т.к. точка А одновременно принадлежит обеим нейтральным линиям: n1−n1 и n2−n2. Точка С взята произвольно, значит, при любом положении силы F на прямой 1−2 напряжение в точке A равно нулю.

Сделаем следующее замечание, касающееся построения ядра сечения. При рассмотрении любого контура, имеющего «впадины», нейтральная линия должна «катиться» по огибающей контура, иначе она будет пересекать сечение.

10.4. Примеры расчета

Пример 1

Построить ядро сечения для двутавра № 24 (рис. 10.5). Основ-

ные данные (ГОСТ 8239–89): h = 240 мм, b = 115 мм, ix = 9,97 см, iy = 2,37 см.

215

Решение

Рассмотрим четыре положения нейтральной линии. Для первого положения n1– n1 ах = ∞, ау = h/2 = −120 мм. По форму-

	лам (10.7) находим хF = 0, y		= −	ix2	= −	9, 972	= 8, 28 см .
		F		ay		−12

Получаем точку 1 ядра сечения. Для второго положения нейтральной

линии n2−n2 ax = b = 57,5 мм, ау = ∞.

2

Соответственно,

	iy2		2,372
x = −		= −		= −0,98 см, у	F	= 0.
F	ax		5,75

Это дает точку 2. Переход от n1−n1 к n2−n2 осуществляется путем вращения вокруг угловой точки двутавра, при этом полюс силы между точками 1

и 2 перемещается по прямой. Повторяя рассуждения по отношению к положению нейтральной линии n3−n3 и n4−n4, получим точки 3 и 4 ядра сечения.

Таким образом, ядро сечения для двутаврового профиля имеет вид ромба.

Пример 2

Чугунный короткий стержень (рис. 10.6) сжимается силой F, приложенной в точке А, b = 5 см, [σ]р = 60 МПа,

[σ] сж = 140 МПа. Определить допустимую силу F. Построить ядро сечения.

Решение

1. Определение центра тяжести сечения.

Ось yC является осью симметрии, следовательно, главной центральной осью. Разбиваем рассматриваемое сечение на две простые фигуры: 1 – полуокружность, 2 – прямоугольник. За

216

вспомогательные оси выберем главные центральные оси полуокружности y1, x1.

Так как ось yC является осью симметрии, xC = 0. Определяем координату yC:

			n
		∑ Sxi						A1 × y1 + A2 × y2
y =		i=1				=					, y = 0,
C			n							1
									A1 + A2
			∑ Ai
			i=1
	А =			πD2			=		3,14 ×52	= 9,81 см2 ,
	1		8					8

217

4R

4×2, 5

A2 = 3b

2

= 75 см

2

y2

= -

+1, 5b

-

-1, 5

×5

= -8, 56

см,

,

3π

3×3,14

y =	-75(+8, 56)		= -7,57 см.
С	9,81	+ 75

2. Определение осевых моментов инерции сечения относительно главных центральных осей xС, yС.

J x = J xI + J xII = J x1 + A1 × a12 + J x2 + A2 × a22 ,

I x1 = 0,11R4 = 0,11× 2,54 = 4,3 см4 ,

J x		=	b(3b)3	=	5 ×153	=1406,25 см4 ,
	2
		12		12

a1 = -yC = 7,57 см, a2 = y2 - yС = (-8,56 + 7,57) = -0,99 см ,

Jx = 4,3+9,81×(-7,57)2 +1406,26+75(-0,99)2 =2046,2 см4 = 20,46×10−6 м4 .

Главная ось уС проходит через центры тяжести элементов (оси у1, у2 совпадают с осью уС), следовательно, момент инерции относительно этой оси будет равен:

J y = J yI + J yII = J y

+ J y

,

1

2

J y

=

πD4

=

3,14 × 54

= 15, 33 см4 ,

1

128

128

J y2

=

3b ×b3

=

15 ×53

= 156,25 см4 ,

12

12

Jy = 15,33 +156,25 = 171,58 см4 » 1,72 ×10−6 м4 .

3.Определение положения нейтральной линии. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях xС и yС, определяем по

формулам (10.4):

218

= −

iy2

ay = −

i2

ax

,

x

,

xF

yF

где

x

=

b

= 2, 5 см , y

=

3b

+ a

= (7,50 + 0,99) = 8, 49 см ,

F

F

2

2

2

ix2 =

J

x

=

2046, 20

= 24,1

см2 ,

iy2 =

J y

=

171, 58

= 2,01 см2 ,

C

A

84,81

A

84,81

ax = −

iy2

= −

2,02

= −0,81 см,

ay

= −

ix2

= −

24,1

= −2,84 см.

хF

уF

(8,49)

2,5

Откладываем полученные отрезки (координаты) на соответствующих осях и проводим нейтральную линию (см. рис. 10.6). Определим наиболее удаленные точки поперечного сечения, проведя линии, параллельные нейтральной линии и касательные к контуру сечения. Наибольшие напряжения возникают в точках А и В, как наиболее удаленных. Координаты точек равны:

xa = 2,5 см,

ya = 8,49 см,

xВ = R × cos α,

ax

= 0, 2852, α = 15O55¢ .

tg α =

=

0,81

ay

2,84

xB = -2, 5 × cos 15O55¢ = -2, 5 × 0, 9616 = -2, 404 см ,

y

B

= -3b + a

2

- R × sin α = -7, 5 + 0, 99 - 2, 5 × sin 15O55¢ = -7,19 см .

2

4. Определение напряжений в опасных точках (А и В):

F

у

F

у

A

х

F

× х

A

σA

= -

1 +

+

=

2

2

A

ix

iy

= -

F

+

(8, 49)(8, 49)

+

(2,5)(2,5)

= -7,08

F

1

24,1

2,01

,

A

A

219

				σ = −		F		+
							1
				B		A
= −	F		+	(8, 49)(−7,19)
		1
					24,1
	A

уF уB	+	хF хB		=
2	2
ix		iy

+ (2, 50)(−2, 40)

2, 02

5. Определение допустимой силы F.

Из условия прочности на сжатие

	σA	=	7, 08	F		£ [σ]	,
				A
						сж

F £ [σ]сж. × A =140×106 ×84,81×10−4 = 7,08 7,08

=167,703×103Н=167,703 кН.

Из условия прочности на растяже-

ние

σВ = 4,5 F £ [σ]p ,

A

£ [σ]p × A = 60×106 ×84,81×10−4 =

F

4,5

4,5

=113,080 ×103 Н =113,08 кН .

		= 4, 50	F	.
			A

Принимаем в качестве допустимой силы наименьшее значение Fдоп = 113 кН.

6. Построение ядра сечения.

Определим координаты соответствующих точек приложения силы F по

заданным положениям нейтральной линии, касающейся контура поперечного сечения (рис. 10.7) на основании выражений

220