Учебное пособие с заданиями

Для этого ординаты на эпюре M1 умножаются на Х1, на

эпюре M 2 – умножаются на Х2, т.е. M1 = M1 ×Х1, а М2 = M2 ×Х2. На основании принципа независимости действия сил определяем в сечениях балки изгибающие моменты и строим сум-

марную эпюру изгибающего момента (рис. 8.11, в).

	МΣi = MFi + M1i + M2i.
Сечение	Значение изгибающего момента
А	МΣ = 0
В	МΣ = -50 кН×м
F	МΣ = -20 + 10/3 = -50/3 кН×м
С	МΣ = 20/3 кН×м
L	МΣ = 5 + 10/3 + 5/3 = 10 кН×м
D	МΣ = 10/3 кН×м
T	МΣ = -15 + 5/3 = -40/3 кН×м
E	МΣ = -40 кН×м
K	МΣ = -40 кН×м

Для деформационной проверки выберем основную систему (см. рис. 8.8, в). Определим вертикальное перемещение сечения В, которое по условию для балки равно нулю. В выбранной основной системе в сечении В приложим единичную силу F =1 и построим

от нее эпюру изгибающих моментов M (см. рис. 8.11, г).

											n		l M Σi										i dz										q × (2a)3
							верт														M										1																	1						20							2
							B			∑ ∫
				D					=																			=				×												×1 + ×													× 2a × × 2 -
											i =1 0								EJi											EJ						12												2 3													3
			-		1			×50 × 2a ×						1		× 2 + +										q × (2a)3								×3 +			1			×			20					× 2a ×						2			× 2 +				1	× 4			+
					2									3														12									2							3																	3
																																																						3
	1		10							2						1											q ×(2a)3										1				10											2						1								1
+		×				×2a			×			×4 +							×2 +														×2 =							×							×	2a ×						×4			-			×40×2a ×							×4	=
										3						3												12																								3						2								3
	2 3																																				2 3
			1						20				80						100									60				160					100												40								80				160
	=							×			+					-									+						+					+								+								+								-					= 0.
				EJ					3				9								3							3					9						9																		9					3
																																																	3

151

По формуле Симпсона

		DвертB		=		1		×Sli (MFiH ×MOiH +4MFiC ×MOiC +MFiK ×MOiK ) =
						6EJ
	1				50				20			20				10			10					40
=		×	-4×				×1+				×2	+			×2+4×10×3+			×4	+			×4	-4×			×2	=0.
					3				3							3				3				3
	3EJ											3

Вертикальное перемещение сечения В равно нулю, следовательно, неизвестные моменты Х1 и Х2 определены верно.

8. Определить реакции на опорах, построить эпюру поперечных сил.

1) определение реакций на опорах

SM

СЛ

= 0, F ×3a - R × 2a + 2qa2 + х = 0,

C

B

1

150 + 20 +

20

265

R =

3

=

кН;

B

2

3

SM

СЛ = 0, F ×5a - R × 4а - R × 2a + 8q × a2

+ х = 0,

D

В

C

2

250 -

265

× 4 + 80 +

10

R

=

3

= -10 кН;

3

C

2

SM

E

= 0, F × 7a - R × 6a + R × 4а - R × 2a +18qa2 - M = 0,

B

C

D

350 -

265

× 6 + 40 +180 - 40

RD =

3

= 0;

2

SM

СПР

= 0, -X

2

- 2qa2

+ R × 2a - M = 0,

D

E

10

+ 20 + 40

R

=

3

=

95

кН.

E

2

3

Проверка:

152

					SFY = 0, -F + RB - RC + RE - 6qa = 0,
										-50 +							265					-10 +			95		- 60 = 0,
																			3				3
															-120 +120 = 0;
			2) анализ поперечных сил по участкам:
												Qy = -50											кН = const;
												Qy					= -50 +							265		- qz2 ;
																							3
z		= 0, Q		=	115				кН,				z					= 2 м, Q = -50 +												265				- 20 =			55			кН;
	2														2
			B	3																				C					3					3
																					Qy		= 0;
								Qy = -						95						+ qz4 , 0 £ z4 £ 2 м;
															3
	z		= 0, Q = -				95				кН, z										= 2 кН, Q = -								95			+ 20 = -				35			кН;
		4																	4
				E				3																			D		3					3
					Q					= -			95			+ q ( z + 2), 0 ≤ z ≤ 2 м;
								y
													3								5
		z = 0, Q = -							35				кН, z = 2 м, Q = -															95				+ 40 =			25			кН.
			5	D						3											5						C		3					3

На рис. 8.11, е построена эпюра Q. Определим экстремальное значение изгибающего момента на участке CD, расстояние до которого от сечения Е составляет z0 (см. рис. 8.11, е):

z0	=	RE	=	95	= 3,17 м.
		q 30

Изгибающий момент в этом сечении z0.

						qz2		95			(3,17)2
M	y	(z ) = -M + R		× z	-	0	= -40 +		×3,17	-10×		=10,14 кН×м.
		0	E	0		2		3			2

153

9. Подобрать из условия прочности стандартный двутавр. Максимальное напряжение

σmax =

M Хmax

£ [σ] ,

WХ

откуда

W ³

M Хmax

=

50 ×103

= 238 см

3

,

х

[σ]

210

что соответствует двутавру № 22а. Момент сопротивления для этого двутавра составляет – WХ = 254 см3, JХ = 2790 см4. Максимальное напряжение в этом случае будет равно

σmax = 50 ×103 =196,8 МПа. 254

10. Определение перемещения в сечении А и угла поворота на опоре В.

Для определения перемещения к выбранной основной системе в сечении А прикладываем единичную силу F =1, и для определения угла поворота в сечении В прикладываем единичный изгибающий момент M = 1 (рис. 8.12, а, в).

F= 1

М4 , м

Рис. 8.12

154

Перемножая по правилу Верещагина эпюру изгибающих моментов MΣ (см. рис. 8.11, в) с эпюрами изгибающих моментов M4 и M5 (рис. 8.12, б, г), определяем соответственно вертикальное перемещение сечения А и угол поворота сечения В.

	=	1						1				× a ×		2		×1		-			q(2a)3				×		1			-		1	×	20			× 2a		×		1		1 +	1	50 ×2a ×			2		=
vA										50																																							1
		EJ						2						3								12																										3
				Х																							2 2 30														3 2
	=	400							=					400 ×103															= 7,96 ×10									−3					м = 7,96				мм;
			9EJ Х													11		× 2790 ×10								−8
										9		× 2 ×10
					1						q(2a)3								1				1				20								1				1							2
	θB =																	×				×1 +			×						× 2a			×			×1 -					50 × 2a ×					×1	=
												12							2																3				2							3
					EJ Х																		2 3
		= -						250					= -									250 ×103														= -0, 0049									рад.
																9 ×						11	× 2790 ×10											−8
							9EJ Х												2 ×10

8.3.2. Расчет статически неопределимой рамы

Пример

Для заданной рамы (рис. 8.13) раскрыть статическую неопределимость, подобрать сечение из условия прочности, определить перемещение сечения А, жесткость сечения рамы принять постоянной.

	RE D		q
E		l/2	A
		/2
	M	L
				b
		F		H
			С	НCс
		В P
	Ll/2		Ll

Рис. 8.13

F = 30 кН, М = 40 кН×м, q = 20 кН/м, l = 4 м, b = 3 м, [s] =

=210 МПа.

1.Определить степень статической неопределимости.

155

S = 3k - ш = 3×2 - 4 = 2.

Рама два раза статически неопределима, т.к. на нее наложены пять внешних связей вместо трех, необходимых для плоской рамы, т.е. существуют две лишние связи.

2. Для заданной рамы изобразить несколько основных систем, одну из которых принять для расчета. Изобразить эквивалентную систему.

Имеем три основные системы, каждая из которых кинематически неизменяема (рис. 8.14, а, б, в).

а

б

в

Рис. 8.14
Для дальнейшего решения	выберем			основную систему
(см. рис. 8.14, в) с позиции рациональности решения.
Эквивалентная система в этом случае имеет вид, показан-
ный на рис. 8.15.
3. Записать канонические уравнения метода сил.
Для дважды статически неопределимой системы имеет два
канонических уравнения:
d11Х1 + d12Х2 + D1F = 0,			M			q
d21Х1 + d22Х2 + D2F = 0.
	Х
4. Построить эпюры изги-								b
бающих моментов для принятой
основной системы от заданных			F
нагрузок и единичных силовых					Х
			l/2			l
факторов.
На рис. 8.16, б изображена					Рис. 8.15
эпюра изгибающих мо-

ментов от заданных сил в основной системе, на рис. 8.16, в, г эпюры изгибающих моментов от единичных факторов в направлении неизвестных усилий Х1 и Х2 в выбранной основной системе.

5. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений по способу Верещагина.

156

Единичные перемещения d11 и d22 определяются перемножением эпюры M1 и M 2 в соответствии с правилом Верещагина.

а	б

																																																2 = 1
																																													Х
															в																																							г
																														Рис. 8.16
		Подобные перемещения d12 = d21 определяются перемноже-
нием эпюры M												1 и эпюры M 2 .
		Перемещения D1F и D2F находятся перемножением эпюр
																								по правилу Верещагина.
М		1 и M 2						на эпюру M F
										=				1						1			× 6 × 6 ×						2			×6			+ 6 ×3× 6								=		180								м/Н,
								δ11
													EJ X							2									3																	EJ
														1						1									2																	208
								δ22		=													× 4 × 4 ×									× 4				+ 4 ×3			× 4				=											м/Н,
														EJ X							2								3																		3EJ
														1						1									14														328
								δ12		=													× 4 × 4 ×											+ 4 ×3 × 6							=												м/Н,
														EJ X						2									3															3EJ
			1																			43							1								10				1													14						9410
D1F =								-40		× 2 ×1 + 20 ×														× 4 +							×50					× 4 ×			-				×110 × 4 ×												-155× 3×6				= -		м,
			EJ																		12								2								3				2													3						3EJ
								1						43					1							1								1					2																	2100
		D2F =							20×							×2+						×50×4×							×4-						×110×4×					×4			-155×3×								4 =-							м.
														12					2							3								2					3																	EJ
							EJX

6. Решить систему канонических уравнений

157

		180 Х1 + 109,3 Х2 - 3136,7 = 0,
		109,3 Х1 + 69,3 Х2 - 2100 = 0,
или
Х1 + 0,607 Х2 - 17,426 = 0,						Х2 = 66,2 кН;
Х1 + 0,634 Х2 - 19,213 = 0,						Х1 = -22,86 кН.
Следовательно, реакция RЕ = Х1 = -22,86 кН, а реакция
RВ = Х2 = 66,20 кН (см. рис. 8.13).
7. Построить суммарные эпюры внутренних силовых факторов.
Определяем неизвестные реакции RС, НС, МС (рис. 8.17).
		R	z1		q	z4
M								K
		E		D
			2	Rв		3		Rc
			z	В		z			Нс
			F
								Mс
					Рис. 8.17
		SFХ = 0, HC - F = 0, HC = 30 кН;
		ΣFУ = 0, −RE + RB + RC − ql = 0;
		RC = 22, 86 - 66, 20 + 80 = 36, 66 кН;
SM		= 0, M + R ×		1	+ R × 4	- M		- q ×	l2	= 0;
	B						С
			E	2	C				2
MC = -160 + 40 + 22,86 × 2 + 36,66 × 4 = 72,36										кНм.
158

30

Проверка:

N, кН

SMC = 0, M + RE ×6 -

l

2

-R × 4 - M

C

+ q

= 0,

B

2

66,2

40 + 22, 86 × 6 - 66, 2 × 4 -

36,66

а

-72, 36 + 160 = 0.

		Используя метод			сече-
43,34	ния,		определяем	силовые
zL	факторы по участкам:
			N (z1) = 0;
36,66	Q( z1) = -RE = -22,86				кН;
Q, кН		M (z1) = -M - RE z1;
30	30	z1 = 0; M E = -40 кН× м;
		= 2	м; MD = -85,72		кН×м.
б	z1
		N (z2 ) = -RB = -66, 2			кН;

	50,96		51,24
	4,28		17,64
	90
				17,64
40	85,72 L

МΣ, кН( ×м×м)

72,36

в

Рис. 8.18

Q( z2 ) = F = 30 кН; M (z2 ) = F (z2 ); z1 = 0; M B = 0;

z2 = 3 м; M D = 90 кН× м. N (z3 ) = -RC = -36,66 кН; Q( z3 ) = -HC = -30 кН;

M (z3 ) = -MC + HC z3;

z3	= 0 MC = -72, 36 кН × м;
z3	= 3 м M K = -72,36 + 90 =17,64 кН × м

N (z4 ) = HC = 30 кН;

159

Q( z4 ) = -RC + qz4 ; z4 = 0; QK = -36, 66 кН; z4 = 4 м; QD = -36, 66 + 80 = 43,34 кН;

M (z	4	) = -M	C	+ H	C	×3 + R z		4	- q	z42	;
							C		2
z4 = 0; M K =17, 64							кН× м;

z4 = 4 м; M = -72,36 + 90 +146, 64 - -160 = 4, 28 кН× м.

На четвертом участке в сечении L (рис. 8.18, б) поперечная сила меняет знак (Q = 0 при наличии распределенной нагрузки), следовательно, на эпюре изгибающего момента в этом сечении должно быть экстремальное значение (рис. 8.18, в).

zL	=	R	; M L	= -72,36 + 90 + 36, 66 ×1,833 - 20 ×	1,833	= 51, 24 кН×м;
		q		2

z	=	36,66	=1,833 м, z = 2 м, M		=17,64+72,32-40 =50,96 кН×м.
				А
L	20		4

8. Произвести деформационную проверку решения с использованием другой основной системы.

Для проверки выберем основную систему (см. рис. 8.14, б). Определим угол поворота сечения С, который по условию наложенных связей в раме должен быть равен нулю.

Переумножением суммарной эпюры М∑ (рис. 8.18, в) на

эпюру M3 (рис. 8.19) по правилу Верещагина определяем угол поворота сечения С.

		1					3				1		1				2			1				1
θC	=			-20 ×				4		×		-		×17, 64 × 4 ×				-			× 4, 28 × 4 ×				-
		EJ X
							12			2		2					3 2					3
					1										1
			-				×17, 64 ×3 ×1							+		× 72, 36	×3 ×1					=
					2										2
			=				1		(−106,16 + 108,54) =										2,38				.
						EJ x													EJ X

160