Учебное пособие с заданиями

111

4.Подобрать номер двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям с учетом только изгибающего момента.

5.Оценить влияние продольных и поперечных сил на прочность рамы.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется изгибом, балкой, рамой?

2.Какие внутренние силовые факторы возникают в балках, рамах?

3.Каковы правила знаков для внутренних силовых факторов?

4.Каковы дифференциальные зависимости при изгибе?

5.Как определяются нормальные и касательные напряжения от соответствующих силовых факторов?

6.Как проводится расчет на прочность с учетом возникающих в сечении поперечных сил и изгибающих моментов?

ГЛАВА VII. ИЗГИБ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Основные понятия теории

Поперечные нагрузки, действующие на балку, раму приводят к изгибу и тем самым искривляют продольную ось балки, превращая ее в некоторую кривую. В инженерной практике часто возникает необходимость определения перемещений в различных точках, расположенных на оси. Обычно величи-

на

максимального

F

прогиба

принимается

в пределах

(0,0025–

y

0,01)l

в зависимости от

x

θ (z)

назначения

конструк-

z

ции.

V(z) Vmax

Смещение

центра

z

l/2

тяжести

произвольного

сечения v(z), называе-

мого

прогибом,

будет

l

некоторой

функцией

Рис. 7.1

абсциссы

сечения v =

v(z).

112

Пренебрегая влиянием поперечной силы на искривление поперечного сечения, можно в первом приближении считать, что оно, оставаясь плоским, поворачивается на некоторый угол θ (рис. 7.1), который также зависит от положения сечения, т.е. θ = θ(z).

Если повернутое сечение остается перпендикулярным к изогнутой оси балки, то между углом поворота θ(z) и прогибом v(z)

существует связь, выражаемая формулой			d v(z)	= tg θ(t).	Учи-
			d z
тывая, что изучаемые деформации малы, можно принять
tg(θ) ≈ θ, т.е.	d v(z)	= θ(z).			(7.1)
	d z

Прогиб v(z) будем считать положительным, если перемещение соответствующей точки происходит вверх, т.е. в направлении положительной оси y. Угол поворота θ(z) принимается положительным при повороте сечения против часовой стрелки.

7.1. Дифференциальное уравнение упругой линии балки. Дифференциальные зависимости.

Универсальное уравнение упругой линии балки

Исходной для аналитического решения задачи является известная зависимость из теории чистого изгиба

1	=	M x	.	(7.2)
ρ EJ x

Из курса высшей математики известно, что кривизна плоской кривой выражается уравнением

1 = ±

ρ

		d2v
		dz2								.	(7.3)
							3
	dv					2
								2
1 +
	dz

Величина dv оказывается малой, порядка сотых или тысяч- dz

113

ных долей единицы, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:

1				=		d2v		.			(7.4)
						dz2
		ρ
Приравнивая выражения (7.2) и (7.4), получим дифферен-
циальное уравнение упругой балки (7.5):
EJ	d2v		= EJv11 = ±M							.	(7.5)
									изг
	dz2

При направлении оси y вверх уравнение (7.5) приобретает вид

EJv11 = M	изг	.	( 7.6)

Систематизируя рассмотренное выше выражение (7.6), можно записать дифференциальные зависимости:

dv

= θ,

d2v

=

Мизг

,

d3v

=

Q

,

d4v

=

q

.

(7.7)

dz2

dz

EJ

dz3 EJ

dz4

EJ

Применяя аппарат определенного интегрирования, можно получить универсальные уравнения (7.8), (7.9) позволяющие найти параметры изогнутой оси балки при любых условиях закрепления ее концов, не прибегая к интегрированию дифференциального уравнения:

n

M

i

( z − a )

EJθ = EJθ0 ± ∑

i

±

1!

i =1

n

Fi ( z − bi )2

q (z − c2 )3

q ( z − d )3

±∑

+

−

,

(7.8)

2!

3!

3!

i =1

n

M

i

( z − a )2

EJv = EJv0 + EJθ0 z ± ∑

i

±

2!

i =1

114

n

F

( z − b )3

q ( z − c)4

q ( z − d )4

±∑

i

i

+

−

.

(7.9)

3!

4!

4!

i −1

Здесь ai,

bi, c,

d – абcциссы

точек приложения

сосредоточен-

а

ных моментов M, сил F и начало

равномерно

распределенной

на-

грузки q постоянной интенсивно-

б

сти. В случае действия распреде-

ленной нагрузки, выраженной по

другому закону, необходимо вве-

сти коррек-тивы в уравнения (7.8),

(7.9). M, F,

q – внешние

силы

в

и моменты (включая опорные реак-

ции), расположенные между дан-

Рис. 7.2

ными сечением и началом коорди-

нат, v0 , θ0 –	прогиб и угол поворота в начале координат, называе-
мые	начальными	параметрами,

а сам метод определения перемещений с помощью выражений (7.8), (7.9) называют методом начальных параметров. Начальные параметры определяют из условий закрепления балки. Так, для двухопорной балки (рис. 7.2) а) v0 = 0 при z = 0 и v0 = 0 при z = l;

б) v0 = 0 при z = a, v0 = 0 при z = a + l; в) v0 = 0 при z = 0, θ0 = 0

при z = 0.

Для определения перемещений в ступенчатой балке можно использовать общие методы, изложенные в § 7.4, 7.5, или применить видоизмененный метод начальных параметров, что вносит некоторые сложности.

Определение перемещений с помощью универсального уравнения должно включать следующие операции:

1.Определение реакций на опорах, анализ поперечных сил

иизгибающих моментов, подбор сечения балки.

2.Выбор начала координат, которое принято брать в левой крайней точке рассматриваемой балки.

3.Проведение произвольного сечения на последнем участке, считая от начала координат, расстояние до которого z. Если

115

распределенная нагрузка обрывается на каком-либо участке (рис. 7.3, а), то ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных грузовых условий на продолжаемой длине прикладывают распределенную нагрузку обратного знака (рис. 7.3, б). Дополнительную и компенсирующую нагрузки принято показывать штриховыми линиями.

4. Запись уравнений для линейных (v) и угловых (θ) перемещений применительно к крайнему правому участку балки. Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент, приложенные в крайнем сечении справа, в уравнения не входят.

5. Определение из условий закрепления начальных парамет-

Рис. 7.3	ров	v0	и θ0 . Для того чтобы вы-

числить перемещения какого-либо сечения, необходимо в соответствующие уравнения подставить координату z (только в те составляющие уравнений (7.8), (7.9), которые входят в промежуток между началом координат и рассматриваемым сечением).

7.2. Примеры расчета перемещений в балках методом начальных параметров

Пример

Для заданной балки (рис. 7.4, а) подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Определить углы поворота и прогибы в различных сечениях, построить эпюры θ и v; [σ] = 160 МПа,

E = 2 ×105 МПа, M = 40 кН × м , F = 80 кН, q = 20 кН/м, l = 4м, a = 1 м.

116

117

Решение

1. Определение реакций на опорах, анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения.

∑ M A = 0 , – M – F (a + l) – q								l 2			+ RB × l =
								2
	42										=150 кН.
– 40 –	80 × 5 - 20				+ R × 4 = 0 ,				R
			2			B				B
∑M В = 0 , – M – F × a + q							l2		- RA × l =
						2
= –40 –	80 ×1 + 20			42		- RA × 4 = 0,			RA =10 кН.
			2

Проверка: ∑Fy = 0, RA + RВ - F - q ×l =10 +150 -80 - 20× 4 = 0.

Анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения:

Qy = RA - qz1, 0 £ z1 £ 4 м, Q(0) =10 кН, Q(4) = -70 кН.

M x = RA × z - q z12 , M (0) = 0, M (4) = -120 кН× м, 2

Qy = F = 80 кН, M x = -F × z2 , 0 £ z2 £1 м,

M (0) = 0, M (1) = -80 кН×м.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представлены на рис. 7.4, в, г.

Из условия прочности по нормальным напряжениям подбираем сечение:

σmax

=

M

max

£ [σ] ,

Wx

M

max =120 кН×м,

W ³

M

max

=

120

×103

= 750 ×10−3 м3 = 750 см3.

[σ]

x

160

×106

118

По ГОСТ 8239–89 ближайший номер двутавра № 40

сWx = 953 см3, J x = 19062 см2.

2.Выбор начала координат в левом краевом сечении, запись универсальных уравнений для последнего участка (рис. 7.4, б).

M (z - l)

R

A

z

2

R (z - l)2

qz3

q(z - l)3

EJ xθ = EJθ0

+

+

+

В

-

+

,

1!

2!

2!

3!

3!

EJ

x

v = EJ

v + EJθ

0

z +

M (z - l)2

+

R

A

z3

+

x 0

2!

3!

R (z - l)3

qz4

q(z - l)

4

+

B

-

+

.

3!

4!

4!

3. Определение начальных параметров v0 ,

θ0 :

vА = 0 при z = 0,

EJ xvA = EJ x v0 , т.е. v0 = 0,

vB = 0 при z = l,

R l

3

ql4

10 × 43

20 × 44

EJ xvB = EJ xθ0 ×l +

A

-

= EJ xθ0 × 4 +

-

= 0,

3!

4!

6

24

θ0 =

80

.

3EJ x

Окончательные уравнения имеют вид:

EJ xθ =

80

+ 40(z - 4) + 5 × z2 + 75(z - 4)2 -

10

z3 +

10

(z - 4)3 ,

3

3

3

EJ xv =

80

z + 20(z - 4)2 +

5

z3 + 25(z - 4)3 -

5

z4 +

5

(z - 4)4.

3

3

6

6

4. Определение углов поворотов и перемещений в различных сечениях.

EJ xθA	=	80	кН × м2 , θ A =	80	×103	= 7 ×10−4 рад,
				3×2 ×1011 ×	19062 ×10−8
	3

z = 0.

119

EJ xθD	=	80	+ 5 × 2	2	-	1023		= 20 кН × м	2	, θD	= 5 ×10	−4	рад,
		3					3

z= 2 м.

EJ xθВ = 80 + 5 × 42 - 10 43 = -106, 7 кН×м2 , θB = -2,8 ×10−3 рад, 3 3

z = 4 м.
	80	2		10 3			10		2		−3
EJ θ =		+40+5×5	+75-		5	+		=-146,7	кН×м ,	θ	= -3,8×10	рад,
x C	3			3			3			C

z= 5 м.

vА = vB = 0,

	EJ xvD			=		80	× 2 +				5	23 -		5		× 24 = 53, 3 кН × м3,
				3						3			6
		vD		=				53,3				×103							= 1, 4 ×10−3 м,
z = 2 м.				2 ×1011 ×19062 ×108
		80							5	3					5					4		5			3
EJ	v =		×5 + 20					+		5		+ 25	-					5			+		= -108, 3	кН×м		,
	x C	3							3						6							6

vC = 2,8 ×10−3 м,

z = 5 м.

По расчетным данным построены эпюры углов поворотов θ и перемещений v (рис. 7.4 д, е). Закономерности эпюр θ и v вытекают из дифференциальных зависимостей (7.7):

а) на участках, где M изг = 0, касательная к кривой θ = f(z) параллельна оси абсцисс. Там, где на эпюре моментов скачок, на эпюре θ наблюдается излом;

б) если на протяжении какого-либо участка изгибающий момент равен нулю, то эпюра θ прямоугольна, а эпюра v выражена прямой наклонной линией;

в) на участках, где изгибающий момент постоянный, эпюра θ – прямая наклонная линия, эпюра v – парабола второго порядка;

120