Учебное пособие с заданиями

Сечение		Значение изгибающего момента
Участок В		МΣ = –300 – 19,84 = –319,84		Н×м
Участок ВЕ	Е	МΣ = –319,84	Н×м
Участок ЕD	Е	МΣ = 300 – 19,84 = 280,16 Н×м
Участок ЕD	D	МΣ = 280,16 Н×м
Участок DK	D	МΣ = –100 – 19,84 = –119,84		Н×м
Участок DK	K	МΣ = –119,84	Н×м
Участок KС	K	МΣ = –19,84	Н×м
Участок KС	С	МΣ = –19,84	Н×м

2. Деформационная проверка решения.

Умножая суммарную эпюру крутящих моментов (МΣ) на

эпюру M1 по правилу Верещагина, определяем угол закручива-

ния сечения С относительно В, который по условию закрепления должен быть равен нулю.

j

= S

li

× (M

× M

) = 319,84 × 0, 5l1 ×1 - 280,16 × 0, 5l1 ×1 -

C − B

GJi

Σc

1i

GJ P1

GJ P1

-

280,16 ×l2

×1

+

119,84 × 0, 5l3

×1

+

19,84 ×0, 5l3 ×1

=

GJ P2

GJ P3

GJ P3

=

l2

319,84 - 280,16 -

280,16

+

119,84

+

19,84

=

2, 07

1, 46

GJ P1

1, 46

=

l2

(414, 9 - 415,19) =

0, 29l2

.

GJ P1

GJ P1

Погрешность составляет 0,07 %.

3. Расчет размеров поперечного сечения вала.

Принять [t] = 80 МПа. Опасные сечения будут на участке ВЕ, т.к. здесь наблюдается наибольший крутящий момент при наименьшем диаметре вала.

Из условия прочности

τmax = | M Σ |max £ [τ] ,

Wρ 1

171

		πd 3
где W	=	1	,
ρ1		16

определяем диаметр

d1	³ 3		319,84 ×16		= 2,73 см.
	3,14 ×80

Принимаем диаметр d1 = 28 мм, d2 = 32 мм, d3 = 30 мм. 4. Определение угла закручивания сечения А.

Для определения угла закручивания сечения А приложим

восновном состоянии единичный скручивающий момент M к1 = 1

вэтом сечении и построим эпюру M к (см. рис. 8.33, ж).

Перемножая эпюру МΣ и эпюру M к по правилу Верещагина, определим угол закручивания сечения А.

jA =

319,84 ×0,5l1

×1

-

280,16 ×0,5l1

×1

=

15,872

=

GJ ρ1

GJ ρ1

GJ ρ1

=

15,872 ×32

= 3,3×10

−3

рад;

8

10

×3,14 ×

4

×10

−8

×10

2,8

или

jA = 3,3 ×10−3 ×180O = 0,19O . 3,14

8.3.5. Расчет статически неопределимых систем при растяжении-сжатии

Пример

Для стержня, показанного на рис. 8.34, определить:

а) диаметр на различных участках из условия прочности; б) перемещение сечения 1-1 стержня.

172

RВ	Материал стержня – сталь (чу-

Вгун). Модуль продольной упругости:

				для стали Е = 2×105 МПа, для чугуна
l		А1	K	Е = 1,2×105 МПа). Предел текучести
				для стали 30, sТ = 300 МПа, предел
				прочности	для	чугуна	СЧ28-48
l	1	F1	C 1	σпч+ =280 МПа, σпч–		= 1000 МПа.
l	А2			l = 0,5 м; А1 = А; А2 = 3А;
				А3 = 2А; F1 = 120 кН; F2 = 80 кН.
1	А3	F2	D	1. Раскрыть статическую неоп-
2 l
1 l			L	ределимость	системы с помощью
				канонических уравнений			метода
2
		A	RA	сил.
				Задача один раз статически не-
			z
				определима, т.к. уравнение статики
		Рис. 8.34		может быть записано одно SFZ = 0,

а неизвестных реакций две (RA, RB),

рис. 8.34.

Основная система может быть выбрана путем отбрасывания связи А или В (рис. 8.35, а).

Загружая основную систему силами F1, F2 и неизвестной силой Х1, получаем эквивалентную систему (см. рис. 8.35, б).

Неизвестная сила Х1 определяется из канонического уравнения:

d11Х1 + D1F = 0.

Коэффициент d11 и свободный член уравнения

1F

опреде-

ляем по способу Верещагина.

δ =

1× 2l ×1

+

1×l ×1

+

1×l ×1

=

17l

;

11

E × А E ×3А E × 2 А 6EА

D

= -

40 ×l ×1

+

80 ×l ×1

+

80 ×l ×1

+

80 × 0, 5l

=

520l

;

1F

EА

EА

3EА

2EА

6EА

X1 = -30,59 кН.

173

l

l

l

12l

12 l

		B			N1	N1 , кН NΣ , кН
		N F	,	кН					N
		K
				40			70,59
	F1						1		1
								F=1
	F2	80				49,41			1
							30,59
	X1				1	30,59
а	б	в			г	д	е	ж	з
			Рис. 8.35

174

174

Строим эпюру N 1 = N1 × X 1 (см. рис. 8.35, д).

2. Построить суммарную эпюру продольных сил. На основании принципа независимости действия сил NΣi = NFi + N X 1i .

Сечение	Значение изгибающего момента
А	NΣ = 30,59 кН
L (участок AL)	NΣ = 30,59 кН
L, K (участки LD, DC, CK)	NΣ = – 80 + 30,59 = – 49,41 кН
K (участок KВ)	NΣ = 40 + 30,59 = 70,59 кН

Эпюра продольных сил (NΣ) приведена на рис. 8.35, е.

3. Деформационная проверка решения.

Перемножая по правилу Верещагина эпюру NΣ и эпюру`N1, определяем перемещение сечения А, которое по условию наложенной связи должно быть равно нулю.

n

30, 59 × 0, 5l

49, 41×0, 5l

49, 41l

49, 41l

ω M

i

DA = ∑

i

= -

+

+

+

-

EАi

2EА

2EА

3EА

EА

i =1

-

70, 59l

=

l

(-7, 65 +12, 35 +16, 47 + 49, 41 - 70, 59) =

EА

EА

=

l

(-78, 24 + 78, 23) »

0, 01

.

EА

EА

Погрешность составляет: ε =

0, 01

×100 % » 0, 013 % .

78, 23

4. Рассчитать

размеры

поперечного

сечения

стержня

σmax

=

Nmax

£ [σ] .

А

Наиболее опасными сечениями являются сечения на участке ВK. На этом участке наибольшая продольная сила N = 70,59 кН при наименьшем сечении стержня. Принимая коэффициент запаса n = 1,5, определяем допускаемое напряжение

[σ] =	σT	=	300	= 200 МПа в случае стального стержня (сталь 30).
	n
		1, 5

Определяем диаметр d1 на 1-м участке.

175

d

³

4N

=

4 × 70, 59 ×103

= 21, 2

мм.

π[σ]

1

3,14

× 200

Принимаем по нормальному рядулинейных размеровd1 = 22 мм.

πd 2

3,14 × 222

мм2 .

А =

1

=

= 380

1

4

4

Напряжение в этом случае будет равно

σmax =

70,59 ×103

× 4

=186

МПа .

3,14 × 222

А = 3A = 380 ×3 = 1140 мм2 ;

d

2

³

4 ×1140

= 38,1 мм ;

2

3,14

А = 2 A = 380 × 2 = 760 мм2 ;

d

3

³

4 ×760

= 31,1 мм .

3

3,14

+

σ+

пч

Для чугунного стержня [σ]

=

; n = 2,5;

[n]

[σ]+ =

280

=112 МПа .

2,5

d

³

4 × 70,59 ×103

= 28,3 мм .

1

3,14 ×112

πd 2

3,14 × 282

Принимаем d1

=

28 мм. Площадь

А =

1

=

=

1

4

4

= 615, 4 мм2 .

Напряжение в этом

случае

на

участке

ВK

σmax+ =

70,59 ×103

=114,7

МПа . Перенапряжение ε =

114,7 −112

×

615, 4

112

×100 % = 2, 4 % , что допустимо.

176

А = 3A = 615, 4 ×3 = 1846, 2	мм2 ;	d	2	=		4 ×1846, 2			= 48,5	мм .
2						3,14
А = 2 A = 615, 4 × 2 = 1230,8	мм2 ;	d	3	=		4 ×1230,8	= 39, 6			мм .
3						3,14

5. Определить перемещения сечения 1-1 стального стержня. Для определения перемещения 1-1 в стержне АВ необходимо в основной системе (см. рис. 8.35, ж) приложить единичную

силу F = 1, построить эпюру N (см. рис. 8.35, з) и затем перемножить эту эпюру и эпюру NΣ по правилу Верещагина.

n

ω N

=

1

(70, 59 ×l ×1 - 49, 41×l ×1)

=

Dl1−1 = ∑

i

i

EF1

i =1

EFi

.

0, 5 × 21,18 ×103 ×103

=

= 0,14

мм.

11

×

380 ×10

−6

2 ×10

Сечение 1-1 перемещается вниз на 0,14 мм.

Пример

Абсолютно жесткий брус А-В шарнирно поддерживается

стальными стержнями, крепится посредством опорных уст-

ройств (рис. 8.36) и нагружен силами F1 и F2. Произвести проек-

тировочный расчет, принимая коэффициент запаса n = 2, предел

K

текучести

sт =

380 МПа,

F1

l

F1 = 2F2,

F2

=

200 кН,

2

А

B

A1 = 2A, A2 = A. Брус АВ

C

принять недеформируемым.

Устойчивость

стержней

L

2l

2

обеспечена.

2

A1

1.

Определить

степень

статической

неопределимо-

D

l

l

l

сти.

Неизвестных усилий 4

Рис. 8.36

(два на опоре С и по одно-

му в 1-м и 2-м стержнях).

177

Уравнений статики, свойственных для данной системы, можно записать 3. Следовательно, задача один раз статически неопределима.

2. Раскрыть статическую неопределимость системы.

Рис. 8.37 Рис. 8.38

Выбирается основная система путем отбрасывания связи K или D (рис. 8.37). Основная система превращается в эквивалентную систему (рис. 8.38). Коэффициенты канонического уравнения d11Х1 + D1F = 0 определяются способом Верещагина. На рис. 8.39, 8.40 приведены эпюры продольных сил в основном

состоянии от сил F1, F2 и						1 =1. Усилия в стержнях от задан-
				X
		1 =1 определяются из уравнения статики
ных сил F1, F2 и X
SМС = 0; N × 2l + F ×l - F ×l = 0 ;							N = -F1 + F2 = -100 кН.
1	1			2			1	2
Стержень 1 –	сжимается.

178

			×l +		×2l =0	;
	X			N			X =1;		N =-0,5.
1			1			1			1

От единичной силы X1 = 1 первый стержень также сжимается.

n

0, 5 × 2l × 0, 5

δ11 = ∑

ωi NCi

=

+

EA

i=1

EA

i

1

+

1× l ×1

=

1, 25l

.

EA2

EA

n

100 ×2l ×0,5

ω N

Ci

D1F = ∑

i

=

=

2EA

i=1

EA

i

=50l , X1 = - 50 = -40 кН. EA 1,25

Учитывая, что N1 = = N1 × X1 и NΣi = NFi + N1 , строим эпюры

N1 (рис. 8.41) и NΣ (рис. 8.42).

3. Деформационная проверка.

Перемножая по правилу Верещагина эпюру NΣ и эпюру N1 , определяем перемещение связи K, которое по условию равно нулю.

n	ω				80×2l ×0,5			40×l ×1
		N
DK = ∑	i i			=			-			=0.
					2EA			EA
i=1	EA
		i

179

4. Определить диаметры стержней из условия прочности σ = N = [σ] . Напряжение в первом и втором равны по величине

A

80

40

[σ] =

σT

σI =

;

σII

=

. Допускаемое

напряжение

=

2 A

A

n

=

380

=190

МПа.

2

40 ×103

A ³

= 210, 5 мм2 ;

d2 =

A2 × 4

=

210,5 × 4

= 16, 4 мм.

2

190

3,14

3,14

Принимаем

диаметр

d2 = 17

мм.

Тогда

A =

πd22

=

2

4

3,14×172

=226,9 мм2 ,

A = 2A =2×226,9 =453,8 мм2 , d =

A × 4

=

1

=

4

1

2

1

3,14

=

453, 8 × 4

= 24, 04

мм .

3,14

Вопросы для самопроверки

1.Что называется статически неопределимыми системами?

2.Как определяется степень статической неопределимости?

3.Что понимается под заданной, основной и эквивалентной системами?

4.Какой физический смысл заложен в канонических уравнениях метода сил?

5.Какие упругие стержневые системы называются симметричными и кососимметричными с точки зрения нагружения?

6.Что дает использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости?

7.Для чего проводится деформационная проверка при раскрытии статической неопределимости?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источники [1] (гл. 6, § 6.1–6.6); [2] ( гл. 7, § 22–24).

180