- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
- •4. Применения формулы Тейлора
- •5. Правило Лопиталя
- •1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •2. Монотонность функции
- •2. Локальный экстремум
- •3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •4. Исследование функций с помощью высших производных
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •4.Выделение полного квадрата
- •5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
- •1. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2. Формула Ньютона-Лейбница
- •3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •4. Интегрирование тригонометрических выражений
- •Лекция 7. Несобственные интегралы первого рода. Приложения интегралов: вычисление площадей, длин дуг и объёмов тел
- •1.Несобственные интегралы
- •2. Вычисление площадей плоских фигур
- •3. Вычисление длины дуги
- •4. Вычисление объёмов тел
4. Вычисление объёмов тел
С помощью определенного интеграла можно вычислять и объёмы тел. Дадим соответствующие формулы.
Теорема 6. Пусть тело заключено между плоскостямииаплощадь его поперечного сечения плоскостьюЕсли функциянепрерывна на отрезкето объём телавычисляется по формуле
Замечание 3. Если тело получено вращением криволинейной трапеции
вокруг оси , то объём этого тела вычисляется по формуле
Действительно, в этом случае поперечное сечение является кругом радиуса поэтомуАналогично вычисляется объём тела, полученного вращением вокруг осикриволинейной трапеции(конечно, в выписанных формулах дляпредполагается, что функцииинепрерывны на соответствующих отрезках).
1Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.
2На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и