1. Односторонние пределы

Дадим их кратко.

Определение 1. Левый предел функциив точке(обозначение:):

Правый предел функциив точке(обозначение:): Очевидно следующее свойство:

Для существования обычного предела необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределыи чтобы имело место равенство

2. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в точкеи некоторой ее окрестности.

Определение 2. Функция называетсянепрерывной в точке если

т.е. если

Функция называетсянепрерывной слева (справа) в точке если (соответственно ).

Функция называетсянепрерывной на множестве если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Очевидны следующие высказывания.

(непрерывна в точке )

Для того чтобы функция была непрерывна в точкенеобходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в точке

Нетрудно показать, что сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке также являются непрерывными в этой точке функциями. Частное двух непрерывных в точкефункций непрерывно в этой точке, если

С непрерывными функциями связаны следующие два важных утверждения.

Теорема 1. Пусть сложная функция определена в некоторой проколотой окрестности точкии пусть выполнены условия:

а) существует

б) функция непрерывна в точке

Тогда существует предел и имеет место равенство

Теорема 2. Пусть сложная функция определена в точкеи некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия:

а) функция непрерывна в точке,

б) функция непрерывна в соответствующей точке

Тогда сложная функция непрерывна в точке

Теорему 1 называют теоремой о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, а теорему 2– теоремой о непрерывности сложной функции.

Пример 1. Найти предел

Решение. Так как существует а функциянепрерывна в точкето по теореме 1 имеем

Определение 3.Функции вида

называются простейшими элементарными функциями. Всякая функция, полученная из простейших элементарных функций путем применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функций от функций (т.е. образования сложных функций) называется элементарной функцией (общего вида).

Имеет место следующая замечательная теорема.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой внутренней точке своей области определения.

Напомним, что точка называетсявнутренней точкой множества если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью

Например, функция непрерывна на множестветак как это множество является областью определения функциии все точки этого множества – внутренние.

Если хотя бы одно из условий определения 2 не выполнено, то функция является

разрывной в точке . Различают два типа разрывов:

Точка– точка разрыва I рода: а) существуюти конечные односторонние пределыно либо они не совпадают, либо хотя бы один из них не равен значению;

б) существуют конечные односторонние пределы ноне определена в точке

Точка– точка разрыва II рода: либо не существует хотя бы один из односторонних пределов либо хотя бы один из них равен бесконечности.

Например, точка точка разрываI рода для функций

а для функции она является точкой разрываII рода.

Если то прямаявертикальная асимптота для функцииПрямая называется наклонной (горизонтальной при) асимптотой функции,еслиНетрудно показать, что если существуют конечные пределы

то прямая асимптота кривой Таким образом, асимптоты функции

могут возникнуть при подходе к точкам разрыва второго рода этой функции либо на бесконечности.