5. Рекомендации к выполнению контрольной работы №3

Содержание работы №3: способом вспомогательных секущих плоскостей, или по принадлежности точек к одному из геометрических тел, построить линию взаимного пересечения поверхностей заданных геометрических тел (табл. 3). Определить видимость.

При определении точек линии пересечения между поверхностями заданных геометрических тел, в первую очередь обязательно находятся и обозначаются на чертеже характерные (опорные) точки: экстремальные (высшая и низшая, передняя и задняя, левая и правая), очерковые точки для каждой поверхности и на каждой проекции, а также точки, расположенные на ребрах многогранника, и точки смены видимости.

Количество произвольных точек должно быть достаточным для построения плавной кривой линии или ломаной кривой линии пересечения.

Рассмотрим решение задачи на примере (рис. 6). Первое, что нужно сделать, это проанализировать чертеж. Итак, пересекаются две фигуры: пирамида и цилиндр, т.е. поверхность вращения с многогранником. Следовательно в результате пересечения должна получиться ломаная кривая линия. Поскольку ни одна из фигур не участвует полностью в пересечении, это значит, что мы имеем дело со случаем врезки, а это в свою очередь значит, что линией пересечения будет одна замкнутая ломаная кривая линия. Теперь сами фигуры: пирамида - фигура общего положения, цилиндр - фронтально проецирующий, поскольку ось цилиндра перпендикулярна фронтальной плоскости проекции. Задача второй группы сложности. Проецирующие фигуры обладают собирательным свойством: все точки на поверхности фигуры (в том числе и линия пересечения) совпадают с главной (вырожденной) проекцией этой фигуры. В нашем случае линия пересечения совпадает с фронтальной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью на П₂. Теперь, для того чтобы построить линию пересечения на П₁, мы разобьем окружность на точки и будем строить эти точки на П₁ на основании принадлежности к пирамиде.

Выберем опорные точки: 1 и 2 - точки, лежащие на ребрах пирамиды и одновременно самые левые; 3 и 4 - эти точки также лежат на ребрах пирамиды и одновременно самые верхние; 5 и 6 - точки, лежащие на оси цилиндра, следовательно, это точки смены видимости, кроме того это

Рисунок 6

самые правые точки; 7 и 8 – это самые нижние точки и так как они лежат на оси цилиндра, то точка 7 - самая ближняя, точка 8 - самая дальняя.

Теперь случайные точки: для построения точек 7 и 8 проведем вспомогательные линии, т.е. соединим вершину пирамиды S с точками 7 и 8 и найдем, где эти линии пересекут основание пирамиды в точках M и N. Эти вспомогательные линии на П₂ кроме точек 7 и 8 пересекают окружность еще в одном месте, там мы обозначим случайную пару точек 9 и 10. Далее произвольно проведем параллель ниже точек 1 и 2, но выше точек 7 и 8, на этой параллели возьмем две пары случайных точек 11 и 12, а также 13 и 14. Последнюю пару случайных точек 15 и 16 также возьмем при помощи параллели, которую проведем ниже точек 9 и 10 и выше 5 и 6.

Следующий шаг: отыщем эти точки на П₁. Точки 1, 2, 3 и 4 лежат на ребрах пирамиды (1 и 3 на SA, 2 и 4 на SB), поэтому для определения достаточно провести линии связи. Как найти точки 7, 8, 9 и 10 описано выше. Для отыскания остальных точек были проведены параллели на П₂, далее параллели построены на П₁ и при помощи линии связи найдены искомые точки. Все точки найдены. Они соединяются в ломаную кривую линию. Точки 5 и 6 на линии пересечения являются точками смены видимости. Вся линия пересечения, которая на П₂ расположена выше точек 5 и 6, на П₁ видима.

Последнее, что необходимо сделать, это определить видимость в видимом контуре цилиндра и пирамиды. На П₂ не видимыми в контуре пирамиды являются часть ребер SA и SB между точками 1, 3 и 2, 4. На П₁ весь очерк цилиндра видим, кроме части между точками 5 и 6. Часть основания пирамиды невидима, т.к. находится ниже цилиндра. Невидимы также части ребер SA и SB, начиная от точек 3 и 4 и до очерка цилиндра. Напомним, что работа выполняется на формате А₃ по действительным размерам в масштабе 1:1. Чертеж выполняется в двух проекциях, за исключением тех вариантов, где указано выполнить работу в трех проекциях.