Учебное пособие по начертательной геометрии

3. M=m∩h; N=m∩h.

Задача 4. Определение точек пересечения прямой линии и сферы.

В задаче (рисунок 85) требуется определить точки M и N пересечения сферы ' с фронталью f. В качестве вспомогательной плоскости целесообразно применить фронтальную плоскость уровня , так как окружность m сечения сферы ' этой плоскостью проецируется на П2 без искажения.

Рисунок 85 - Графическое изображение пересечения прямой и сферы

101

Алгоритм:

1.	Заключаем фронталь f в плоскость ( f; ‖П2);
2.	При пересечении плоскости со сферой получается окружность m
(m= ' ∩ ).
3.	M=m∩ f; N=m∩ f.

9 Построение разверток поверхностей

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и кривые линейчатые поверхности (конические и цилиндрические).

Плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой. Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно-однозначное точечное соответствие (точке А на поверхности соответствует точка А на развертке и наоборот), обладающее следующими свойствами (рисунок 86):

Рисунок 86 – Точечное соответствие развертки и поверхности

102

1.Длина АВ линии l на поверхности равна длине соответствующей ей линии l′ на развертке.

2.Угол α между кривыми m и n на поверхности равен углу α′ между соответствующими им кривым m и n на развертке

3.Площадь отсека F поверхности равна площади соответствующего ему отсека F′ развертки.

Из рассмотренных свойств следует:

1.Прямой линии a на поверхности соответствует прямая a′ на развертке

2. Параллельным прямым (a‖b) на поверхности, соответствуют прямые параллельные (a′‖b′) на развертке.

Однако, указанные свойства обратной силы не имеют, т.е. не всякой прямой на развертке соответствует прямая на поверхности. Примерами этого могут служить цилиндрическая винтовая линия, параллели поверхности вращения.

9.1 Построение разверток многогранников

Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются сторонами многоугольников – граней, а иногда и некоторых других элементов. Многогранник условно разделяются на боковые ребра и стороны основания.

103

9.1.1 Построение развертки пирамиды

Рисунок 87 – Развертка пирамиды

Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки пирамиды (рисунок 87) необходимо предварительно определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания.

Изображенной на рисунке пирамиды стороны основания являются горизонталями и проецируются на П1 в натуральную величину. Длины боковых ребер определены построением прямоугольных треугольников, у которых одним катетом является высота пирамиды (равность высот точки S и точек А, В, С), а другим – горизонтальная проекция соответствующего ребра.

Следующая операция состоит в построении каждой боковой грани как треугольника по трем сторонам. В результате получается развертка боковой поверхности пирамиды в виде ряда примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Присоединив к полученной фигуре основание ∆АВС, получим полную развертку пирамиды. Построение на развертке точки 1, принадлежащей поверхности пирамиды, понятно из чертежа.

104

9.1.2 Построение развертки призмы

На рисунке 88 изображена наклонная призма, которая расположена так, что ее боковые ребра параллельны П2 и проецируются на нее в натуральную величину. Стороны оснований являются горизонталями и проецируются на П1 без искажения. Таким образом, длины сторон каждой грани известны, однако этого еще недостаточно для построения натуральных величин боковых граней. Боковые грани являются параллелограммами, которые не могут быть построены по четырем сторонам. Поэтому помимо длины сторон параллелограмма знать еще его высоту. Для определения высот граней пересечем призму плоскостью Σ (Σ2) перпендикулярной к ребрам, и определим натуральную величину сечения способом замены плоскостей проекций. Стороны этого нормального сечения и будут высотами соответствующих граней. Теперь приступаем к построению развертки. На свободном поле чертежа проводим горизонтальную прямую m и откладываем на ней отрезки (1- 2)=(14-24), (2-3)=(24-34) и (3-1)=(34-14). Через точки 1, 2, 3, 1 проводим прямые,

перпендикулярные к прямой m и откладываем на них величины боковых ребер (рисунок 88).

Соединив концы построенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединив к ней оба основания, получим полную развертку призмы. Построение точки D, принадлежащей поверхности призмы, понятно из чертежа.

105

Рисунок 88 – Развертка призмы

9.2 Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей

Развертки всех развертывающихся кривых поверхностей являются приближенными. Это объясняется тем, что кривые поверхности приближенно заменяют (аппроксимируют) поверхностями вписанных или описанных многогранников с гранями в виде треугольников или четырехугольников. С этой точки зрения конус можно заменить пирамидой, а цилиндр – призмой. Поэтому приемы построения разверток линейчатых кривых и гранных поверхностей аналогичны, с той лишь разницей, что вместо ребер на кривой поверхности проводят достаточное число образующих.

На рисунке 89 показано построение развертки прямого кругового цилиндра. Развертка его боковой поверхности – прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания ПD, а другая высоте цилиндра Н.

106

Рисунок 89 – Развертка цилиндра

107

В том случае, когда многогранная поверхность, заменяющая кривую поверхность, имеет треугольные грани, способ построения развертки называется способом триангуляции (треугольников).

На рисунке 90 построена развертка боковой поверхности усеченного конуса.

Рисунок 90 – Развертка конуса

Поверхность конуса заменена поверхностью пирамиды, вписанной в конус.

Натуральную величину образующих определяем, переместив все образующие и отрезки на них в положение крайней образующей, которая расположена параллельно фронтальной плоскости проекций.

108

Список литературы

1.Н.П. Сенигов, Т.В. Гусятникова, Н.В. Ларионова, В.С. Дукмасова, А.М. Швайгер Начертательная геометрия. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000.

2.С.А. Фролов Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение, 1991.

3.Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 1985

4.А.А. Чекмарев Инженерная графика – М.: Высшая школа, 1985

5.В.С. Дукмасова, В.А. Краснов Методика решения задач по начертательной геометрии. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2003

6.С.В. Евсеенков, Л.С. Хазанская Методические изучения к изучению курса начертательной геометрии – Челябинск: Издательство ЧГАУ, 1991

7.Ж.В. Путина, Л.И. Хмарова, Э.М. Зорина Подготовка к защите контрольных графических заданий по начертательной геометрии – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000

109

П Р И Л О Ж Е Н И Е

(Варианты заданий и примеры их выполнения)

110