Учебное пособие по начертательной геометрии

Рисунок 13 – Проецирование прямого угла

а) б) в) Рисунок 14 – Комплексный чертеж взаимно перпендикулярных прямых

21

5 Плоскость

Проекцией любой плоскости является геометрическое место проекций всех ее точек. Если рассматривать плоскость, расположенную не перпендикулярно и не параллельно ни одной из плоскостей проекций, то ее проекции целиком заполнят собой поля плоскостей П1, П2, П3. Поэтому на комплексном чертеже задаются лишь некоторые геометрические элементы, определяющее положение заданной плоскости в пространстве (таблица 1):.

Таблица 1 – Способы задания плоскости

Задание	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
плоскости
1	2	3
Тремя точками,
не лежащими на
одной прямой
Прямой и
точкой, не
принадлежащей
прямой
Двумя
параллельными
прямыми

22

Двумя

пересекающимися

прямыми

Плоской фигурой

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекции:

1) плоскость не перпендикулярна и не параллельна ни к одной плоскости проекций – общего положения (рисунок 15);

Рисунок 15 – Плоскость общего положения

23

2) плоскость перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций - проецирующая (рисунок 16);

Рисунок 16 – Проецирующая плоскость 3) плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций (дважды

проецирующая) – плоскость уровня (рисунок 17).

Рисунок 17 – Плоскость уровня

24

На комплексном чертеже рассматривается три проецирующих плоскости
и три плоскости уровня (таблица 2).
Таблица 2 – Частные случаи расположения плоскостей
		ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ
Горизонтально-		Фронтально-			Профильно-
проецирующая		проецирующая			проецирующая плоскость
плоскость		плоскость
В2				С2	В2	В3
А2
		В2			А2	А3
	С2					С3
					С2
		А2			В1
			В1
А1					А1
В1						С1
	С1			С1
		А1
		ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ
Горизонтальная		Фронтальная плоскость			Профильная плоскость
плоскость уровня		уровня			уровня
А2	С2					В3
			В2		В2	С3
В2
					С2
				С2
В		А2			А2
					А3
	С1				А1
А1					В1
		А1	В1	С1
					С1
Горизонтально проецирующая плоскость - П1. Горизонтальная проекция

такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это

25

главный признак горизонтально проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция плоскости обладает собирательными свойствами, т.е. проекции всех точек принадлежащих горизонтально проецирующей плоскости на П1 совпадают с главной проекцией этой плоскости.

Фронтально проецирующая плоскость - П2. Фронтальная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная прямая). Это признак фронтально проецирующей на комплексном чертеже. Главная проекция (проекция на П2) обладает собирательным свойством, т.е. проекции всех точек, принадлежащих фронтально проецирующей плоскости на П2 совпадают с главной проекцией этой плоскости.

Профильно проецирующая плоскость - П3. Профильная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это признак профильно проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция обладает собирательным свойством.

Горизонтальная плоскость уровня параллельна П1, одновременно такая плоскость является профильно и фронтально проецирующей.

Фронтальная плоскость уровня параллельна П2, одновременно горизонтально и профильно проецирующая плоскость.

Профильная плоскость уровня параллельна П3, одновременно горизонтально и фронтально проецирующая плоскость.

5.1Точка и линия в плоскости

Кчислу основных задач, решаемых на плоскости, относят:

-проведение любой прямой в плоскости;

-построение в плоскости некоторой точки;

-построение недостающей проекции точки;

-проверка принадлежности точки и плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии:

26

-прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащих плоскости, или через точку в плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости;

-точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести прямую, принадлежащую плоскости.

Рассмотрим примеры:

а) Проведение любой прямой в плоскости

Рисунок 18 – Произвольная прямая в плоскости

Вплоскости АВС (рисунок 18) произвольно провести прямую через точку А. Она будет пересекать сторону ВС в точке 1. А111 – горизонтальная проекция прямой, фронтальную проекцию А212 достроить на основании принадлежности прямой и точки.

Вплоскости АВС (рисунок 19) через точку В провести прямую параллельную стороне АС. Проекции прямой В212 и В111 параллельны стороне

А2С2, А1С1.

27

Рисунок 19 – Параллельная прямая в плоскости

б) построение в плоскости некоторой точки

Рисунок 20 – Точка в плоскости

28

Построение точки в заданной плоскости сводится к двум операциям:

-построению в плоскости вспомогательной прямой;

-построению точки на этой прямой.

Вплоскости, заданной прямой ВС (В1С1; В2С2) и точкой А (А1; А2) (рисунок 20), проводим вспомогательную прямую АD (A1D1; A2D2) пересекающую прямую ВС (В1С1; В2С2) в точке 1 (11; 12). Полученные точки 1 и D принадлежат плоскости.

в) построение недостающей проекции точки

Рисунок 21 – Построение недостающей проекции точки

Плоскость задана проекциями треугольника АВС (А1В1С1, А2В2С2) (рисунок 21). Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией D2. Следует достроить горизонтальную проекцию точки D (D1), для этого проводят вспомогательную прямую В2D2, проходящую через точку 12 принадлежащую А2В2С2. Затем на плоскости П1 достраивают её горизонтальную проекцию 11 и соединяют ее с точкой В1. На прямой В111 отмечают D1.

г) проверка принадлежности точки плоскости.

29

Для проверки в плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости.

На рисунке 22 плоскость задана параллельными прямыми АВ (А1В1; А2В2)и СD (С1D1; С2D2), и задана точка Е (Е2, Е1). Проводим через Е2 прямую 1222. Убеждаемся, что горизонтальная проекция Е(Е1) не принадлежит 1121. Следовательно, точка Е не принадлежит плоскости.

Рисунок 22 – Принадлежность точки плоскости

5.2Особые прямые на плоскости

Кпрямым, занимающим особое положение на плоскости, относят горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

На рисунке 23 в плоскости треугольника АВС проведены горизонталь h (h2, h1), фронталь f (f1, f2) и профильная прямая ВD (B1D1, B2D2).

30