Учебное пособие по начертательной геометрии

Рисунок 23 – Горизонталь, фронталь и профильная прямая плоскости

Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельны плоскости проекций П1. У всех горизонталей фронтальные проекции перпендикулярны к вертикальным линиям связи и параллельны оси проекций Х. Это их признак на комплексном чертеже.

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельны плоскости проекций П2. У всех фронталей горизонтальные проекции перпендикулярны вертикальным линиям связи и параллельны оси проекций Х. Это их признак на комплексном чертеже.

Профильными прямыми плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельны плоскости проекций П3. У всех профильных прямых их проекции на П1 и П2 совпадают с вертикальными линиями связи и параллельны оси проекций Z. Это их признак на комплексном чертеже.

31

Рисунок 24 – Линия ската

Линии наибольшего наклона к плоскости проекций – это прямые, лежащие в данной плоскости и образующие с соответствующей плоскостью проекций наибольший угол.

Из трех линий отметим линию наибольшего наклона к плоскости Π1. Эту линия называют линией ската – прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонталям. На комплексном чертеже (рисунок 24) её горизонтальная проекция А2 (А121) должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h (h1;).

5.3 Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (рисунок 25).

32

Рисунок 25 – Параллельность прямой и плоскости

Рисунок 26 – Параллельность плоскостей

33

Для построения прямой l (l1, l2), проходящей через точку K (K2, K1) и параллельной заданной плоскости треугольника АВС (А1В1С1; А2В2С2) достаточно провести линию, параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости. На рисунке 25 показано построение l (l1; l2) параллельной прямой А1 (А111; А212,), лежащей в плоскости АВС (А1В1С1; А2В2С2).

Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рисунке 26 построена плоскость θ(ЕD ∩ GF), проходящая через точку K (K2, K1) и параллельная плоскости Р (CA ∩ AB). Для этого через

К2 проведены D2Е2‖А2С2, G2F2‖А2В2 и через К1 – D1Е1‖А1С1, G1F1‖A1B1. Таким образом, построенная плоскость θ (ЕD ∩ GF) будет параллельна заданной Р

(CA ∩ AB).

6 Метрические задачи

Задачи, в которых требуется определить величины углов, длин, площадей, называются метрическими. Решение таких задач упрощается, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В случае, когда объект занимает общее положение возникает необходимость преобразования комплексного чертежа. Наиболее часто применяются при решении задач два способа преобразования чертежа: способ плоско-параллельного перемещения; способ замены плоскостей проекций.

34

Рисунок 27 – Способ плоскопараллельного перемещения

При применении способа плоско-параллельного перемещения (рисунок 27), важно уяснить следующие основные положения:

1)плоскости проекций неподвижны, а геометрический образ перемещается в пространстве.

2)все точки геометрического образа перемещаются во взаимно- параллельных плоскостях уровня (каждая в своей плоскости).

Если рассматривать плоско-параллельное перемещение, например, прямой, то важно учитывать, что в процессе перемещения она не изменяет угол наклона к той плоскости, относительно которой совершается ее плоско- параллельное перемещение. Отсюда правило, построение комплексного чертежа (рисунок 28):

1)проекция оригинала на плоскости, параллельно которой совершается его движение, сохраняет свою форму и величину, изменяя только положение.

35

Рисунок 28 – Перемещение прямой

2) проекции точек оригинала на другой плоскости проекций перемещаются по прямым, перпендикулярным соответствующим линиям связи (при этом проекция оригинала на эту плоскость меняет свое положение и форму).

При способе замены плоскостей проекций геометрический образ не изменяет положения в пространстве, а заданная система плоскостей проекций заменяется новой так, чтобы геометрический образ занял частное положение относительно вновь выбранной системы плоскостей проекций.

На рисунке 29 даны проекции точки А (А1, А2), заменим Π2 на Π4; Π4 Π1;

получим новую систему Π1, Π4 с новой осью X14; спроецируем точку А на Π4, получим А4.

а)	б)
	Рисунок 29 – Способ замены плоскостей проекций
	36

Рассматривая рисунок 29а, видим, что расстояние от А4 до новой оси X14 равно расстоянию от А2 до старой оси X12, то отрезок ZА4 = ZА2.

На комплексном чертеже проводят ось X14 и обозначают новую систему плоскостей проекций Π1, Π4, затем из А1 проводят линию связи X14 и на продолжении этой линии связи от А14 откладывают расстояние равное расстоянию от старой проекции точки до старой оси проекции, т.е А2А12.

Получим А4 на новой плоскости Π4; аналогично выполняют построение при Π1 на Π5 (рисунок 29б).

Следует заметить, что при решении различных метрических задач положение новой плоскости проекций определяется в зависимости от поставленной задачи.

6.1 Основные задачи преобразования

Таблица 3 – Основные задачи преобразования комплексного чертежа

Способ плоско-параллельного перемещения

	Номер задачи	Комплексный чертеж	Схема решения	Область
				применения
	Первая – перевод		Располагаем AB║П2,	Определение
	прямой общего		тогда располагаем А1B1'	натуральной
	положения в		вертикальным лин. связи;	величины
	линию уровня		A1'B1'= A1B1, т.к. угол α-	отрезка	прямой
			const.	линии и углов ее
				наклона	к
				плоскостям
				проекций
	Вторая – перевод		Располагаем AB║П1,	1. Определение
	линии уровня в		тогда назначаем A2'B2'║	натуральных
	проецирующую		в.л. связи.	величин
	прямую.		B1'= A1' – точка.	расстояний.
				2. Определение
				натуры
				двугранного
				угла.

37

Третья – перевод		Располагаем ∆ABC П2;	1. Определение
плоскости общего		тогда h П2; Назначаем	натуральной
положения		h1'║ в.л. связи.	величины углов
проецирующую		∆A1'B1'C1'=∆A1B1C1	наклона
плоскость.		т.к. угол α-const. B2'A2'C2'	плоскости		к
		– прямая.	плоскости
			проекции.
			2.	Упрощение
			решения
			позиционных
			задач.
Четвертая –		Располагаем ∆ABC║П1;	Определение
перевод		назначаем C2'B2'A2' в.л.	натурального
проецирующей		связи; ∆ C2'A2'B2'=∆ABC –	вида	плоской
плоскости в		натура плоскости.	фигуры,
плоскость уровня.			выполнение
			различных
			геометрических
			построений		в
			плоскости
			фигуры

Способ замены плоскостей проекций

Номер задачи	Комплексный чертеж	Схема решения		Области
				применения
Первая – перевод		Заменяем П2 на П1;	Определение
прямой общего		располагаем П4║AB и	натуральной
положения в		П4 П1; тогда X14║A1B1;	величины
линию уровня		A4B4 – натура отрезка.	отрезка		прямой
			линии и углов ее
			наклона		к
			плоскостям
			проекций
Вторая – перевод		Заменяем П1 на П5; П5 AB;	1.	Определение
линии уровня в		П5 П2, тогда X25 A2B2.	натуральных
проецирующую		B5= A5 – точка.	величин
прямую.			расстояний.
			2.	Определение
			натуры
			двугранного
			угла.

38

Третья – перевод		Заменяем П2 на П4;	1. Определение
плоскости общего		располагаем П4 ∆ABC,	натуральной
положения в		тогда П4 h – горизонталь	величины углов
проецирующую		плоскости. Располагаем	наклона
плоскость.		X14 h, A4 B4C4 – прямая,	плоскости		к
		т.е. проецир. пл-ть.	плоскости
			проекции.
			2.	Упрощение
			решения
			позиционных
			задач.
Четвертая –		Заменяем П1 на П5;	Определение
перевод		располагаем П5║∆ABC,	натурального
проецирующей		тогда X25║A2B2C2;	вида	плоской
плоскости в		∆A5B5C5=∆ABC – натура	фигуры,
плоскость уровня.		плоскости.	выполнение
			различных
			геометрических
			построений		в
			плоскости
			фигуры

Изучив и запомнив основы способов плоско-параллельного перемещения

изамены плоскостей проекций, следует научиться решать четыре основные задачи преобразования комплексного чертежа (таблица 3). Только после этого можно приступить к решению любых метрических задач.

Метрические задачи делятся на три основных группы:

1 группа – задачи на определение расстояния между геометрическими фигурами.

2 группа – задачи на определение действительных величин плоских фигур

иуглов.

3 группа – задачи связанные с построением в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.

Приведем примеры.

39

Задача №1 (1 группа) определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD (рисунок 30).

Расстояние между скрещивающимися прямыми выражается длиной перпендикуляра АВ и СD (рисунок 30а). Для определения его длины удобно, чтобы одна из прямых (например, АВ) располагалась перпендикулярно плоскости проекций. Для этого надо последовательно ввести две плоскости проекций (рисунок 30б).

Алгоритм решения:

1.Π4‖АВ; Π4 Π1; ось X14 ‖А1В1.

2.Π5 АВ; Π5 Π4; ось X45 А4В4.

3.АВ проецируется на Π5 в точку (А5 = В5).

4.Опускаем перпендикуляр из точки А5 = В5 на С5D5 и находим N5.

5.Отметим M5; N5M5 – искомое расстояние.

Строим проекции M1N1 и M2N2

а)

б)

Рисунок 30 – Пример решения метрической задачи №1

40