Учебное пособие по начертательной геометрии

8.1 Пересечение линии с линией

Решение задач на определение общей точки, принадлежащей как линии l, так и линии m или иначе задач по определению точки пересечения двух линий, вытекает непосредственно из инварианта ортогонального проецирования.

Если K=a∩b, то K1= a1∩b1 и K2= a2∩b2.

На рисунке 60 показаны две произвольные пересекающиеся линии a и b.

Рисунок 60 – Пересечение линий

8.2 Пересечение поверхности с поверхностью

Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей. Поэтому построение линии пересечения двух поверхностей сводится к нахождению общих точек, принадлежащих обеим поверхностям.

71

Рисунок 61 – Пересечение поверхностей

Способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в следующем: заданные поверхности пересекают третьей, вспомогательной поверхностью (вид и расположение вспомогательной секущей поверхности выбирают с таким расчетом, чтобы можно было легко определить линии пересечения этой поверхности с заданными); находят линии, по которым эта вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из заданных поверхностей. Далее отмечают точку (точки), в которой пересекаются полученные линии пересечения (рисунок 61).

Построив отмеченные операции n раз, получим множество точек.

Линия l, соединяющая эти точки, является искомой линией пересечения поверхностей.

72

В таблице 4, дано традиционное для начертательной геометрии словесное описание алгоритма (слева) и соответствующая ему символическая запись на геометрическом языке (справа) для решения задач на пересечение поверхностей

.

Таблица 4 – Алгоритм решения задач на пересечение поверхностей

	Словесное описание решение задачи			Символическая запись
1.	Вводим вспомогательную секущую			1. Вводим '
поверхность;
2.	Определяем	линии	пересечения	2. Определяем: m= '∩Г;
вспомогательной поверхности с каждой из				n = '∩Ф
заданных поверхностей;
3. Находим общие точки пересекающихся				3.Находим
поверхностей. Соединяем эти точки				к=m∩n
плавной линией;
4. Определяем видимость.

Повторяя многократно последовательность операции, обозначенных в приведенном алгоритме, можно получить любое число точек, принадлежащих искомой линии пересечения заданных поверхностей.

8.3 Пересечение плоскостей

Использование универсального алгоритма для решения задач по определению линии пересечения поверхностей проследим вначале на наиболее простых примерах пересечения двух плоскостей.

Задача. Построение линии пересечения K(MN) двух плоскостей общего положения Г(a‖b) и (m∩n) (рисунок 62).

Алгоритм определения точки М:

1.Σ∩Г, Σ∩ , Σ‖П1;

2.c(1-2)= Σ∩Г, d(3-4)= Σ∩ ;

3.M=c∩d.

Точка N определяется аналогично.

73

Рисунок 62 – Построение линии пересечение двух плоскостей

Решение задачи по определению линии пересечения плоскостей, значительно упрощается, если одна из плоскостей занимает проецирующее положении.

74

8.4 Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью, построение сечения

При пересечении поверхности плоскостью получается фигура, которую называют сечением. Построение линии пересечения осуществляется по следующей схеме:

1.Одна из проекций линии пересечения совпадает с главной вырожденной проекцией проецирующей плоскости;

2.Линию разбивают на точки (очерковые, экстремальные и ряд случайных точек);

3.Вторую проекцию линии пересечения строят по точкам к заданной поверхности;

4.Определяют видимость линии пересечения и поверхности.

Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

Линия пересечения многогранника проецирующей плоскостью представляет собой плоскую ломаную замкнутую линию, вершины которой – точки пересечения ребер, а стороны – линии пересечения граней многогранника с плоскостью.

Одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией секущей плоскости, а вторая проекция строится по точкам из условия принадлежности этих точек заданной поверхности (рисунок 63).

Задача. Построить проекции линии пересечения пирамиды горизонтально-проецирующей плоскостью

75

Рисунок 63 – Построение линии пересечения плоскости и пирамиды

76

На рисунке 63 отмечены горизонтальные проекции опорных точек 11,21,31,41 в местах пересечения ребер пирамиды секущей плоскостью Г, то есть горизонтальная проекция линии пересечения совпала с горизонтальной проекцией плоскости Г1.

Фронтальные проекции точек линии пересечения определяем с помощью линий связи на соответствующих ребрах пирамиды.

Участок 2232 ломаной на П2 не виден, так как он принадлежит невидимой грани ASB.

Пересечение поверхности вращения проецирующей плоскостью

Линия пересечения поверхности вращения проецирующей плоскостью представляет собой плоскую замкнутую кривую. Для построения этой кривой определяем точки пересечения ряда образующих поверхности с секущей плоскостью. Среди точек пересечения имеются такие, которые особенно расположены по отношению к плоскостям проекций или занимают особые места на кривой. Такие точки называются опорными, и при построении сечения эти точки в первую очередь определяются и строятся. К опорным точкам относятся: экстремальные (высшая и низшая, ближняя и дальняя, левая и правая) и очерковые. В рассматриваемых задачах очерковые точки являются и точками смены видимости.

После определения опорных точек, для того чтобы точнее определить характер линии, определяется ряд случайных точек. Случайные точки – это точки, которые взяты произвольно. Чем больше найдено таких точек, тем точнее построено сечение.

77

Рисунок 64 –Линия пересечения цилиндра с проецирующей плоскостью

78

Задача: Построить проекции линии пересечения цилиндра фронтально- проецирующей плоскостью.

На рисунке 64 секущая плоскость не перпендикулярна оси цилиндра. Линия сечения – эллипс.

На П2 эллипс проецируется в отрезок А2В2, на П1 – в окружность, совпадающую с горизонтальной проекцией цилиндра; на П3 – в эллипс. Точка А

– высшая; В – низшая. Точки С и D очерковые относительно П3. Также точки С и D являются точками смены видимости на П3. Точки 1 и 2 – произвольные.

Рисунок 65 – Типы сечений конической поверхности

Конус – поверхность, в которой получается пять видов различных сечений:

- секущая плоскость (Г) проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник (все линии прямые);

79

-секущая плоскость (Σ) расположена под непрямым углом к основанию и не параллельна ни одной из образующих, в сечении получается эллипс;

-секущая плоскость ( ) параллельна какой-либо одной образующей конуса, в сечении получается парабола;

-секущая плоскость (Г′) параллельна оси вращения конуса, в сечении получается гипербола;

-секущая плоскость (Г2) параллельна основанию и в прямом конусе перпендикулярна оси, в сечении получается окружность, радиус её измеряется от оси до очерка (рисунок 65).

Всечение сферической поверхности (рисунок 66) любой плоскостью всегда получается окружность.

а)

б)

Рисунок 66 – Сечение сферической поверхности

80