Учебное пособие по начертательной геометрии

Рисунок 39 – Линия на поверхности пирамиды

Рисунок 40 – Линия на поверхности призмы

51

Рисунок 41 – Условие задачи на построение линии

На рисунке 41 дано исходное условие задачи – фронтальная проекция l2 линии l, принадлежащей поверхности призмы

Рисунок 42 – Решение задачи на построение прямой

52

На рисунке 42 задача решена.

3 Построить точку, принадлежащую многогранной поверхности.

Рисунок 43 – Точка на поверхности пирамиды

На рисунке 43 построена точка М, принадлежащая поверхности пирамиды, т.к. она принадлежит линии S1(S111; S212), принадлежащей данной поверхности.

Задача построить вторую проекцию точки, принадлежащей многогранной поверхности, если одна, ее проекция задана.

На рисунке 44 даны исходные условия, т.е. заданы проекции точек А2 и B1. Достроить их недостающие проекции.

53

Рисунок 44 – Условие задачи на нахождение точек пирамиды

Рисунок 45 – Построение недостающих проекций точек пирамиды

54

На рисунке 45 построение вторых проекций точек A и B, принадлежащих поверхности пирамиды.

7.2 Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии MN (рисунок 46), называемой образующей, вокруг неподвижной оси i, перпендикулярной какой-либо плоскости проекции.

Рисунок 46 – Поверхность вращения

Если взять на образующей какую-нибудь точку C и опустить из нее на ось перпендикуляр CO, то при вращении длина перпендикуляра не будет изменяться. Следовательно, каждая точка образующей будет описывать окружность, плоскость которой перпендикулярна оси i, а центр лежит на пересечении этой плоскости с осью. Отсюда следует: линия пересечения плоскости, перпендикулярной оси, с поверхностью вращения является

55

окружностью. Каждая точка образующей при движении вокруг оси описывает окружность. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из них называется экватором, а наименьшая – горлом.

Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется меридиональной плоскостью, а линия ее пересечения с поверхностью вращения

– меридианом. Если i параллельна П2, а меридиональная плоскость занимает фронтальное положение, то полученный от сечения меридиан проецируется на П2 без искажения; этот меридиан называется главным.

Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана.

Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку.

Поверхности вращения широко используются в технике. Они являются определяющими множества деталей различных механизмов. Это объясняется распространенностью вращательного движения, а также простотой изготовления и обработки деталей с поверхностью вращения.

При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и окружности. Чертежи поверхностей вращения будут простейшими, если ось вращения расположить перпендикулярно одной из проекций.

7.3 Поверхности, образуемые вращением прямой (линейчатые поверхности

вращения)

Вращением прямой линии образуются:

1. Цилиндр вращения, если прямая l параллельна оси i (рисунок 47а);

56

2.Конус вращения, если прямая l пересекает ось i (рисунок 49а)

3.Однополостный гиперболоид вращения (рисунок 51)

Все рассмотренные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Построение проекций точки, принадлежащей каждой из них можно выполнить при помощи параллели или прямолинейной образующей, проходящей через нее.

Цилиндр

а) б) Рисунок 47 – Поверхность вращения - цилиндр

На рисунке 47а представлен цилиндр, который образован вращением прямой l параллельной оси вращения i. Ось вращения i расположена перпендикулярно П1 (рисунок 47б), следовательно, на П1 цилиндр проецируется в окружность, которая обладает собирательным свойством.

Задача. Построить недостающие проекции линии ABCD, принадлежащей поверхности цилиндра.

57

Рисунок 48 – Построение линии на поверхности цилиндра

На рисунке 48 задана фронтальная проекция линии (A2B2C2D2). Из условия принадлежности этой линии заданной поверхности построены ее недостающие проекции (A1B1C1D1 и A3B3C3D3).

Конус

На рисунке 49а изображен конус, который получен вращением прямой l вокруг оси i. Прямая пересекается с осью в точке S.

На рисунке 49б представлены проекции конуса и точки M (M1, M2), расположенной на его поверхности.

58

а)	б)
	Рисунок 49 – Поверхность вращения - конус

Задача. Построить недостающие проекции точки С, линий АВ и DEFKG, если они принадлежат поверхности конуса.

На рисунке 50 показано нахождение точек и линий на поверхности конуса:

1.построение С2 и D2E2F2K2G2, если их горизонтальные проекции (С1 и

D1E1F1K1G1) заданы.

2.Построение А1В1, если ее фронтальная проекция (А2В2) задана. Недостающие проекции точек и линий построены из условия

принадлежности их заданной поверхности.

59

Рисунок 50 – Построение точек и линий на поверхности конуса

Однополостный гиперболоид вращения

На рисунке 51 поверхность имеет две образующие линии l (BC) и l' (B'C') наклоненные в разные стороны и пересекающиеся в толчке (А), принадлежащей наименьшей параллели.

Отрезок ОА является кратчайшим расстоянием между образующей и осью. Таким образом, на поверхности однополостного гиперболоида располагаются два семейства прямолинейных образующих. Все образующие одного семейства – скрещивающиеся прямые. Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого. Через каждую точку поверхности проходят две образующие разных семейств. Меридианом поверхности является гипербола.

60