3.7. Примеры решения задач д4

Пример 1

Рассчитать тихоходный вал двухступенчатого редуктора (рис. 71), если при расчете зубчатой передачи получили исходные данные: модуль зубчатого колеса m=4 мм, число зубьев z=72, ширина венца колеса b=65 мм, частота вращения вала об/мин или угловая скоростьрад/с, передаваемая мощностькВт. Подобрать для этого вала подшипники качения. Выполнить эскиз вала.

Решение

Крутящий момент, передаваемый валом,

кВт.

Окружное усилие в зацеплении

кН.

Радиальная сила:кН.

Определяем опорные реакции, приняв предварительно из конструктивных соображений продольные расстояния от центра опор до центра колеса: мм – до левой опорыА и мм – до правой опорыВ, где b – ширина колеса.

В вертикальной плоскости (рис. 72б) получаем условие равновесия сил

;

Отсюда

кН;

кН.

В горизонтальной плоскости (рис. 72в) условие равновесия

;

Отсюда

кН,

кН.

Изгибающие моменты под зубчатым колесом: в вертикальной плоскости

кНм,

в горизонтальной плоскости

кНм.

Суммарный изгибающий момент

кНм.

Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов. Расчет вала на прочность проводим по третьей теории прочности, определив эквивалентный момент М_экв по следующей формуле

кНм.

Рис. 72

Назначаем материал вала Сталь 35, термообработка – улучшение до НВ 280…285, считаем, что колесо напрессовано на вал. Согласно рекомендаций (табл. 1, прил. И) принимаем допускаемое напряжение для материала вала МПа.

Диаметр вала в опасном сечении (под колесом) определим по формуле

м =48 мм.

Полученный диаметр округляем до стандартного большего значения, приняв d=50 мм.

Рассчитываем вал на выносливость.

Допускаемый коэффициент запаса прочности рекомендуется определять по формуле

,

где n₁ – коэффициент, учитывающий точность определения нагрузок (при расчетах средней точности n₁=1.2…1,6); n₂ – коэффициент, учитывающий однородность материала детали (для поковок и проката n₂=1,2…1,5); n₃ – коэффициент, учитывающий специфические требования безопасности (n₃ =1…1,5).

Для данного случая расчет проведем по средним значениям

.

Наибольшие нормальные напряжения равны равны

Па = 12 МПа.

При симметричном цикле амплитуда МПа, а среднее напряжение.

Наибольшие касательные напряжения определим как:

Па =18,4 МПа.

При отнулевом цикле амплитуда и среднее напряжение имеют значения

МПа.

Предел выносливости стали 35 определяем по эмпирической формуле

МПа.

Предел выносливости по касательным напряжениям

МПа.

Коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям

,

где – эффективный коэффициент концентрации нормальных напряжений при изгибе (наибольшее значение для данного случая – в месте прессовой посадки зубчатого колеса=2,4); – масштабный фактор, учитывающий размеры сечения вала (для d=50 мм, =0,81); – коэффициент упрочнения поверхности (без упрочнения);– коэффициент, характеризующий чувствительность материала к асимметрии цикла=0,1; (табл. 2-5, прил. И).

Следовательно,

.

Коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям

,

где по аналогии с предыдущей зависимостью принимаем соответствующие коэффициенты по касательным напряжениям: ;.

С учетом этих значений, получаем

.

Общий коэффициент запаса прочности определим по формуле

.

Прочность обеспечена, т.к. действительное значение больше допускаемого

Расчет подшипников

В связи с тем, что зубчатая передача прямозубая, то на подшипники действует только радиальная нагрузка. Из анализа схемы (рис. 72) наиболее нагруженной является опора А. Подшипник этой опоры воспринимает радиальную нагрузку F_r, которую определим как

кН.

Осевая нагрузка . Принимаем решение: устанавливать шариковые радиальные подшипники. По рекомендациям [1] назначаем коэффициенты для расчета (подбора) подшипников:

– коэффициент кольца V=1 (вращается внутреннее кольцо);

– коэффициент безопасности К_б=1,3 (нагрузка умеренная);

– температурный коэффициент К_т=1 (температура С);

– коэффициенты радиальной и осевой нагрузки X=1, Y=0 (подшипник радиальный, осевая нагрузка отсутствует).

Эквивалентную нагрузку Р на подшипник определим по формуле

=2950 Н = 301 кгс.

Номинальную долговечность в часах назначаем – (механизм работает круглосуточно со средним режимом нагрузки). Тогда номинальная долговечностьL (млн. оборотов) составит

млн. оборотов.

Номинальная динамическая нагрузка С определяется по формуле

,

где для радиальных подшипников р=3, тогда

Н = 2887 кгс.

В соответствии с размерами вала в опасном сечении и его конструктивных особенностей назначаем шариковый подшипник 308 средней серии, который при внутреннем диаметре d=40 мм имеет по каталогу С= 3190 кгс, внешний диаметр D=90 мм, ширину B=23 мм.

Допускается и другая последовательность подбора подшипников, например: в зависимости от конструкции узла и его размеров подбирают подшипник, далее рассчитывают его долговечность в часах и сравнивают с требуемой долговечностью.

При выполнении эскиза вала (рис. 73) учитывают выше обоснованные размеры, остальные принимают конструктивно.

Пример 2

Для механизма привода конвейера рассчитать тихоходный вал, на котором установлена звездочка и коническое колесо, рис. 71. Исходные данные взять из полученных ранее промежуточных решений примеров Д 3-1 и Д 3-2: передаваемая мощность N=12,5 кВт; радиус звездочки R_зв=101,9 мм; угловая скорость звездочки =4,91 1/с; угол делительного конуса конического колеса=73,39⁰; средний диаметр колеса d_с=m_cz=434,7435 мм.

Рис. 73

Решение

Крутящий момент, передаваемый валом

кНм.

Определяем силы, возникающие в зубчатом зацеплении (рис. 74). Окружное усилие в зацеплении

кН.

Радиальная сила, воздействующая на коническое колесо

кН.

Осевая сила, действующая на коническое колесо,

кН.

Исходя из конструкции узла, назначаем продольные размеры вала: расстояние между опорами принимаем 220 мм; консольные части валов – 100 мм.

Рассматривая полученную систему сил в равновесии, определяем опорные реакции.

В вертикальной плоскости (рис. 74б) получаем условие равновесия сил

;

Отсюда

кН,

кН.

В горизонтальной плоскости (рис. 72в) условие равновесия

;

Отсюда

кН,

кН.

По полученным значениям реакций и внешних сил строим эпюры изгибающих моментов.

Крутящий момент по всей длине вала постоянный М_к=2,55 кНм.

Рис. 74

Суммарные изгибающие моменты для характерных точек вала определим через их значения в вертикальной и горизонтальной плоскости по формуле

.

Строим эпюры суммарного изгибающего (рис. 74г) и крутящего (рис. 74д) моментов. Опасное сечение (наиболее нагруженное) находится под левой опорой, для которого проведем проектный расчет, определив предварительно по третьей теории прочности эквивалентный момент М_экв по формуле

кНм.

По аналогии с примером 1 назначаем материал вала Сталь 35 с термообработкой – улучшение до НВ 280…285, считаем, что колесо напрессовано на вал. По рекомендациям (прил. И) принимаем допускаемое напряжение для материала вала МПа.

Наибольший диаметр вала под левой опорой определим по формуле

м =93 мм.

Полученный диаметр округляем до стандартного большего значения, приняв d=100 мм.

Рассчитываем вал на выносливость, приняв допускаемый коэффициент запаса прочности =2, как в примере 1.

Наибольшие нормальные напряжения равны

Па = 25 МПа.

Амплитуда цикла МПа, среднее нормальное напряжение.

Наибольшие касательные напряжения

Па =12,75 МПа.

Считаем, что вал вращается периодически в одну сторону, тогда амплитуда и среднее напряжение цикла имеют значения

МПа.

Предел выносливости стали 35 по нормальным напряжениям вычисляем по следующей эмпирической формуле

МПа.

Предел выносливости по касательным напряжениям равен

МПа.

Коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям

,

где коэффициенты приняты согласно рекомендациям (прил. И): =2,4; =0,7; =0,1;.

Следовательно,

.

Коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям

,

где по аналогии с предыдущей зависимостью принимаем соответствующие коэффициенты по касательным напряжениям: ;.

С учетом этих значений, получаем

.

Общий коэффициент запаса прочности определим по формуле

.

Поскольку действительное значение больше допускаемого , то прочность обеспечена.

Расчет подшипников

В данном случае на подшипники действует радиальная и осевая нагрузка. Наиболее нагруженной является опора А. Подшипник этой опоры воспринимает радиальную нагрузку F_r, которую определим как

кН.

Осевая нагрузка – кН. По рекомендациям [1] назначаем коэффициенты для расчета (подбора) подшипников:

– коэффициент кольца V=1 (вращается внутреннее кольцо);

– коэффициент безопасности К_б=1,3 (нагрузка умеренная);

– температурный коэффициент К_т=1 (температура С).

Назначаем подшипник радиально-упорный конический серии 7220: внутренний диаметр d=100 мм, внешний диаметр D=180 мм, ширина В=34 мм, статическая грузоподъемность С₀=14600 кгс, динамическая грузоподъемность С=16200 кгс, угол наклона роликов . Коэффициенты радиальной и осевой нагрузкиX=0,4; (прил. К).

Эквивалентную нагрузку Р на подшипник определим по формуле

=24040 Н = 2454 кгс.

Номинальную долговечность L (млн. оборотов) определим как

.

Номинальную долговечность в часах составляет

час.

Полученное значение долговечности вполне приемлемо для механизмов, работающих с полной нагрузкой в одну смену.