Компьютерный практикум по статистике

Места студентов в рейтинге, составленном преподавателями выпускающей кафедры перед началом производственной практики, распределились согласно табл. 3.10.1.

Т а б л и ц а 3.10.1

Места	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Студенты	А	Б, В		Г	Д	Е	Ж	З, И, К			Л	М

По окончании производственной практики сотрудники базовой организации, в которой проходила производственная практика данных студентов, составили (независимо от преподавателей выпускающей кафедры) рейтинг практикантов (табл. 3.10.2).

Т а б л и ц а 3.10.2

Места	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Студенты	В	Б	А	Г	Д	Е, Ж,			И	К	М	Л

Выясним, согласуются ли мнения выпускающей кафедры и базовой организации относительно положения студентов в рейтинге.

Рейтинги студентов, построенные выпускающей кафедрой и базовой организацией, сведем в табл. 3.10.3. В случае связанных рангов, когда несколько объектов, по мнению эксперта, равнозначны (например, в данном случае, по мнению выпускающей кафедры, студенты Б и В имеют одинаковые способности и делят в рейтинге выпускающей кафедры места со второго по третье), этим объектам присваивается одинаковый ранг, равный среднему арифметическому из рангов, которые они имели бы, будучи различными (в данном случае в рейтинге выпускающей кафедры студенты Б и В получают одинаковые ранги (2 + 3)/2 = 2,5).

Т а б л и ц а 3.10.3

Ранги в рейтингах									Студенты
				А	Б	В	Г	Д	Е		Ж	З	И	К	Л	М
выпускающей кафедры, xi(1)				1	2,5	2,5	4	5	6		7	9	9	9	11	12
базовой организации, xi(2)				3	2	1	4	5	7		7	7	9	10	12	11
	xi(1) − xi(2)			–2	0,5	1,5	0	0	–1		0	2	0	–1	–1	1
(x(1)		− x(2) )2		4	0,25	2,25	0	0	1		0	4	0	1	1	1
	i	i
Для		измерения		тесноты			связи			между			ранжировками
X(1) = (x(1)	,x(1),…,x(1) ) и X(2)			= (x(2),x(2),…,x(2) ) , где N — объем генеральной со-
1	2	N			1	2	N

вокупности (число всех студентов), используют ранговый коэффициент

корреляции						Спирмэна r(С) (X(1), X(2) ) , выборочная оценка которого
(С)	(X	(1)	, X	(2)	)	в случае отсутствия в обеих рассматриваемых ранжировках
ˆr

связанных рангов (т. е. когда два объекта оказываются равнозначными в

ранжировке) рассчитывается по формуле

ˆr	(X		, X		) = 1− 3	n	− xi	) ,
		(1)		(2)		∑(xi
(С)					6	(1)	(2)	2

n − n i=1

где n — объем выборки (число студентов, отобранных для ранжировки).

101

В случае н а л и ч и я с в я з а н н ы х р а н г о в связанным объектам приписываются одинаковые средние ранги, и для первой ранжировки определяется величина

		m(1)
N(1) =	1	∑((nk(1) )3 - nk(1) ),
	12 k=1
где m(1) — число групп связанных рангов в первой ранжировке, а n(1)			—
		k

число элементов (рангов), входящих в k-ю группу связанных рангов (в случае отсутствия связанных рангов, очевидно, N(1) = 0). Аналогично рассчитывается величина N(2) для второй ранжировки.

Выборочная оценка рангового коэффициента корреляции Спирмэна в случае наличия связанных рангов вычисляется по формуле

							1						n
									(n3 - n) - ∑(xi(1)						- xi(2) )2 - N(1) - N(2)
ˆr	(X		, X		) =		6
													i=1								.
(С)		(1)		(2)
										1	(n	3	- n) - 2N	(1)		1	(n	3	- n) - 2N	(2)
										6						6

Проверка гипотезы H0: r(С) (X(1), X(2) ) = 0 при альтернативной гипотезе

H1: r(С) (X(1), X(2) ) ¹ 0 производится с использованием статистики

=ˆr(С) n - 2 Tn−2 1- (ˆr(С) )2 ,

которая в предположении справедливости гипотезы H0 при n > 10 имеет распределение Стьюдента с n – 2 степенями свободы. Если значение |Tn–2| оказывается больше критической точки tα; n−2 , то гипотеза H0 отвергается на

уровне значимости a и принимается гипотеза H1.

В примере в первой ранжировке два студента имеют ранг 2,5 и три студента имеют ранг 9, поэтому

N(1) = (23 - 2) + (33 - 3) = 2,5 ;

12

во второй ранжировке три студента имеют ранг 7, поэтому
														N(2)			=	(33 - 3)			= 2 .
																	12
		Окончательно
									1	(123	-12) - (4 + 0,25 + 2,25 + 0 + 0 +1+ 0 + 4 + 0 +1+1+1) - 2,5 - 2
ˆ		(					)		6
r	(С)		X	(1)	, X	(2)		=																		=
												1		3								1	3
														(12			-12) -			2×2,5			(12	-12) - 2	×2
																						6
												6
											=			267						= 0,948,
																281×282

что свидетельствует о высокой степени согласованности ранжировок.

102

Значение статистики T10 равно

0,94812 − 2 = 9,42,

1− 0,9482

критическая точка tα; n−2 = t0,05;12−2 = 2,23 , поэтому гипотеза H0: r(С) (X(1), X(2) ) = 0

о несогласованности мнений преподавателей выпускающей кафедры и сотрудников базовой организации относительно способностей студентов к практической деятельности отвергается.

Для измерения тесноты связи между ранжировками X(1) и X(2) также применяется ранговый коэффициент корреляции Кендалла τ(X(1), X(2) ),

	выборочная оценка которого в случае	о т с у т с т в и я с в я з а н н ы х
	р а н г о в вычисляется как
	ˆτ(X(1), X(2) ) = 1−	4ν	,
		n(n −1)

где ν — минимальное число обменов соседних элементов последовательности

ˆ					) , необходимое для того, чтобы она стала упорядочена
X	(2)	(2)	(2)	(2)
		= (x1	,x2	,…,xn
					ˆ					) .
так же, как последовательность X						(1)	(1)	(1)	(1)
							= (x1	,x2	,…,xn

Для удобства расчета (как ручного, так и компьютерного) величины ν

необходимо перенумеровать попавшие в выборку объекты в порядке, опре-

ˆ

ˆ

ˆ

деляемом последовательностью X

(1)

, тогда ранжировки X

(1)

и X

(2)

перейдут

ɶ(1)

= (1,2,

…, n) и

ɶ

(2)

ɶ(2)

ɶ(2)

ɶ(2)

соответственно в X

X

= (x1

, x2 ,…, xn ), при этом

n−1

n

ν = ∑ ∑ νkl ,

k=1 l=k+1

где

ɶ(1)

ɶ(1)

ɶ(2)

ɶ(2)

ɶ

(2)

,

1,

если xk

< xl

, а xk

> xl

, т. е. нарушен порядок последовательности X

ν

kl

=

0,

в противном случае.

В случае н а л и ч и я

с в я з а н н ы х р а н г о в

элементы ранжировок

Xɶ(1) и Xɶ(2) могут повторяться.

При этом способ расчета ν остается тем же,

что и при отсутствии связанных рангов, а формула для выборочной оценки рангового коэффициента корреляции Кендалла принимает вид

1−

4ν + 2(U(1)

+ U(2) )

ˆτ(X(1), X(2) ) =

n(n −1)

,

1− 2

U

(1)

− 2

U

(2)

1

n(n −1)

n(n −1)

где

1

m(1)

(nk(1) −1),

U(1) =

∑nk(1)

2 k=1

103

а числа m(1) и nk(1) определяются так же, как и при вычислении рангового ко-

эффициента корреляции Спирмэна (величина U(2) рассчитывается для вто-

рой ранжировки аналогичным образом).

В рассматриваемом примере для расчета ˆt(X(1), X(2) ) перенумеровы-

вать студентов в соответствии с их рейтингом, составленном преподавателями, не нужно, так как они уже пронумерованы именно в этом порядке.

Вычислим n:

νАБ = 1; νАВ = 1;νАГ = 0;νАД = 0; νАЕ = 0;	νАЖ = 0;	νАЗ = 0;	νАИ = 0;	νАК = 0;	νАЛ = 0;	νАМ = 0;
νБВ = 0;νБГ = 0; νБД = 0; νБЕ = 0;	νБЖ = 0;	νБЗ = 0;	νБИ = 0;	νБК = 0;	νБЛ = 0;	νБМ = 0;
νВГ = 0; νВД = 0; νВЕ = 0;	νВЖ = 0;	νВЗ = 0;	νВИ = 0;	νВК = 0;	νВЛ = 0;	νВМ = 0;
νГД = 0; νГЕ = 0;	νГЖ = 0;	νГЗ = 0;	νГИ = 0;	νГК = 0;	νГЛ = 0;	νГМ = 0;
νДЕ = 0; νДЖ = 0;		νДЗ = 0;	νДИ = 0;	νДК = 0;	νДЛ = 0;	νДМ = 0;
	νЕЖ = 0; νЕЗ = 0;		νЕИ = 0;	νЕК = 0;	νЕЛ = 0;	νЕМ = 0;
		νЖЗ = 0; νЖИ = 0;		νЖК = 0;	νЖЛ = 0;	νЖМ = 0;
			νЗИ = 0;	νЗК = 0;	νЗЛ = 0;	νЗМ = 0;
				νИК = 0; νИЛ = 0;		νИМ = 0;
					νКЛ = 0; νКМ = 0;
						νЛМ = 1,

поэтому n = 3.

Особо обратим внимание на то, что значение νБВ = 0 : поскольку в пер-

вой ранжировке студенты Б и В имеют одинаковые ранги, мы не можем считать, что у элементов Б и В во второй ранжировке нарушен порядок!

В первой ранжировке два студента имеют ранг 2,5 и три студента имеют ранг 9, поэтому

U(1) = 2(2 −1) + 3(3 −1) = 8 = 4 ;

2 2 во второй ранжировке три студента имеют ранг 7, поэтому

U(2) = 3(3 −1) = 6 = 3 .

2 2

Таким образом, выборочная оценка рангового коэффициента корреляции Кендалла

								1-		4×3 + 2(4 + 3)											106
ˆt(X				) =						12(12 -1)																			106
	(1)	, X	(2)																=		132							=				= 0,848 ,
								4					3								124		×	126						124×126
						1	- 2×				1- 2	×
								12(12 -1)					12(12			-1)
																					132 132

что свидетельствует о достаточно высокой степени согласованности мнений независимых экспертов (преподавателей выпускающей кафедры и сотрудников базовой организации) относительно способностей студентов к практической деятельности.

104

Проверка гипотезы H0: t(X(1), X(2) ) = 0 при альтернативной гипотезе

H1: t(X(1), X(2) ) ¹ 0 производится с использованием статистики

Z =ˆt(X(1), X(2) ) 9n(n -1) ,

2(2n + 5)

которая в предположении справедливости гипотезы H0 при n > 10 распре-

делена приблизительно по стандартному нормальному закону. Если значение |Z| оказывается больше числа z(1−α)/2 , определяемого уравнением

	F0 (z(1−α)/2 ) =		1		z(1−α )/2	e−t2 /2dt =	1- a
					∫			,
			2p				2
				0

где F0 — функция Лапласа, то гипотеза H0 отвергается на уровне значимости a

ипринимается гипотеза H1.

Взадаче значение статистики Z равно

	0,848		9×12×11		= 0,848		594		= 3,84,
		2(2×12 + 5)					29
критическая	точка	z(1−α)/2 = z(1−0,05)/2 = z0,475					= 1,96,			поэтому	гипотеза

H0: t(X(1), X(2) ) = 0 о несогласованности мнений преподавателей выпускаю-

щей кафедры и сотрудников базовой организации относительно способностей студентов к практической деятельности отвергается.

Теперь воспользуемся пакетом SPSS для вычисления оценок ранговых

коэффициентов корреляции и проверки соответствующих гипотез. Введем в рабочий лист SPSS два столбца, соответствующие двум ранжировкам, соответствующие переменные назовем «x_1» и «x_2» (рис. 3.10.1).

	x_1	x_2
1	1	3
2	2,5	2
3	2,5	1
4	4	4
5	5	5
6	6	7
7	7	7
8	9	7
9	9	9
10	9	10
11	11	12
12	12	11

Рис. 3.10.1. Числовые данные для программы «Bivariate Correlations»

Обратимся (с помощью выбора пункта «Correlate | Bivariate…» меню «Statistics») к программе «Bivariate Correlations» (рис. 3.10.2), выбрав для анализа переменные «x_1» и «x_2» («Variables») и указав, что необходимо вычислить оценки ранговых коэффициентов корреляции Спирмена («Spearman») и Кендалла («Kendall’s tau-b»), а проверка значимости должна быть проведена с двусторонней альтернативой («Test of Significance: Two-tailed»).

105

Рис. 3.10.2. Окно ввода данных программы «Bivariate Correlations»

Результаты работы программы (рис. 3.10.3) содержат оценки ранговых коэффициентов корреляции ˆτ(X(1), X(2) ) = 0,848 и ˆr(С) (X(1), X(2) ) = 0,948 (в строках «Correlation Coefficient»), а также рассчитанные уровни значимости (P-значения) гипотез H0: t(X(1), X(2) ) = 0 (при альтернативе H0: t(X(1), X(2) ) ¹ 0 ) и H0: r(С) (X(1), X(2) ) = 0 (при альтернативе H0: r(С) (X(1), X(2) ) ¹ 0) [в строках «Sig. (2-tailed)»]. Оба эти P-значения оказались меньше принятого уровня значимости α = 0,05, что говорит о значимости коэффициентов ˆτ и ˆr(С) .

Nonparametric Correlations

Correlations

			X_1	X_2
Kendall's	X_1	Correlation Coefficient	1	0,848**
		Sig. (2-tailed)		0,000211
		N	12	12
	X_1	Correlation Coefficient	0,848**	1
		Sig. (2-tailed)	0,000211
		N	12	12
Spearman's rho	X_1	Correlation Coefficient	1	0,948**
		Sig. (2-tailed)		0,0000026
		N	12	12
	X_1	Correlation Coefficient	0,948**	1
		Sig. (2-tailed)	0,0000026
		N	12	12

**. Correlation is significant at the 0,01 level (2-tailed).

Рис. 3.10.3. Результаты работы программы «Bivariate Correlations»

3.11. П р и м е р о ц е н к и с в я з и м е ж д у п о р я д к о в о й и к а т е г о р и з о в а н н о й

с л у ч а й н ы м и в е л и ч и н а м и

Места студентов по результатам университетской олимпиады по математической статистике распределились согласно табл. 3.11.1 (буквой «д» обозначены девушки, а буквой «ю» — юноши).

106

Т а б л и ц а 3.11.1

Место	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Пол студента	ю	ю	д	ю	д	д	ю	ю	ю	д	ю	Д	ю	д	Д

Выясним, кто показывает более высокие результаты — юноши или девушки.

Воспользуемся ранговыми коэффициентами корреляции, предварительно преобразовав дихотомический признак «пол студента» в ранговый, приписав восьми юношам их средний ранг (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)/8 = 4,5, а семи девушкам — их средний ранг (9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15)/7 = 12 (табл. 3.11.2).

Т а б л и ц а 3.11.2

	Ранги в рейтингах								Пол студентов
			ю	ю	д	ю	д	д	ю	ю	ю	д	ю	д	ю	д	д
	по месту на олимпиаде, xi(1)		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	по полу, xi(2)		4,5	4,5	12	4,5	12	12	4,5	4,5	4,5	12	4,5	12	4,5	12	12
	x(1)	− x(2)	–3,5	–2,5	–9	–0,5	–7	–6	2,5	3,5	4,5	–2	6,5	0	8,5	2	3
	i	i
	(xi(1)	− xi(2) )2	12,25	6,25	81	0,25	49	36	6,25	12,2520,25		4	42,25	0	72,25	4	9

Для измерения тесноты связи между данными ранжировками воспользуемся вначале ранговым коэффициентом корреляции Спирмэна. Вычислим его оценку:

			n															3		3		-7)					840
		∑(xi(1)				- xi(2) )2					= 355, N(1)				= 0, N(2) =				(8	- 8) + (7				=						= 70 ,
																				12							12
			i=1
													1	(153	-15)	- 355 - 0 -70
		(					)																					9 3
ˆ								=					6													=					= 0,278 ,
r	(С)		X	(1)	, X	(2)
																											56
											1	3	-15)		- 2×0		1	3		-15) - 2	×70
												(15						(15
											6						6

т. е., судя по выборке, связь, хоть и незначительная, между номером места и полом студента, при этом чем больше номер места, тем больше ранг студента по признаку «пол», а поскольку мы девушкам приписывали более

высокий ранг по полу, чем юношам, то это означает, что девушки занимают места с большими номерами, т. е. более низкие места.

Можно ли считать, что и в генеральной совокупности связь между номером места и полом студента существует? Проверим гипотезу H0: r(С) (X(1), X(2) ) = 0

при альтернативе H1: r(С) (X(1), X(2) ) ¹ 0. Статистика Tn–2 примет значение

0,27815 - 2 =1,04 , 1- 0,282

критическая точка (на 5%-ном уровне значимости) t0,05;15−2= 2,16 , поэтому нет оснований отвергнуть гипотезу H0: r(С) (X(1), X(2) ) = 0 о несогласованности

места студента на олимпиаде и его пола, т. е. в генеральной совокупности связь между номером места и полом студента не подтверждается.

107

Вычислим теперь оценку рангового коэффициента корреляции Кендалла. Предоставляем студенту проверить, что n =19, U(1) = 0, U(2) = 49 и

ˆt(X(1), X(2) ) = 37030 = 0,235 .

Проверим гипотезу H0: t(X(1), X(2) ) = 0 при альтернативе H1: t(X(1), X(2) ) ¹ 0 . Наблюдаемое значение статистики Z равно

0,235 9×15(15 -1) = 0,235×3 3 =1,22 ,

2(2×15 + 5)

критическая точка (на 5%-ном уровне значимости) z(1−α)/2 = z(1−0,05)/2 = z0,475 = = 1,96, поэтому гипотеза H0: t(X(1), X(2) ) = 0 о несогласованности места сту-

дента на олимпиаде и его пола не отвергается.

Рассчитанный c помощью программы «Bivariate Correlations» пакета SPSS уровень значимости гипотез H0:ˆr(С) (X(1), X(2) ) = 0 и H0: t(X(1), X(2) ) = 0

(при двусторонних альтернативах) составил соответственно 0,315 и 0,298. Таким образом, связь между ранговым и дихотомическим признаками

не является значимой.

3.12. П р и м е р о ц е н к и с в я з и м е ж д у т р е м я п о р я д к о в ы м и с л у ч а й н ы м и в е л и ч и н а м и

В конкурсе «Мисс Университет» участвовали десять девушек. Оценки за конкурс, выставленные четырьмя экспертами, сведены в табл. 3.12.1.

Выясним, насколько согласованным является мнение жюри.

							Т а б л и ц а			3.12.1
Ранги в рейтингах				Номера участниц
	1	2	3	4	5	6	7	8	9		10
первого эксперта	1	2	3,5	3,5	5	9	6	9	7		9
второго эксперта	3	4,5	2	1	6	9,5	4,5	9,5	7		8
третьего эксперта	3	2	4	1	5	10	7	8	6		9
четвертого эксперта	2	1	4	3	6	10	6	9	8		6

Для измерения статистической связи между несколькими ранговыми переменными используется коэффициент конкордации W (X(1), X(2),…, X(m) ) ,

выборочная оценка которого вычисляется по формуле

n

m (k)

m(n +1) 2

∑ ∑xi

-

2

(m)

=

=

(1)

(2)

i 1

k 1

W(X

, X

,…, X

) =

,

1

m

m2(n3 - n) - m∑N(k)

12

k=1

где m — число анализируемых ранговых переменных (сравниваемых упорядочиваний, в данном случае — число экспертов m = 4), n — объем вы-

108

борки (число оцениваемых объектов, в данном случае n = 10), x(ik) — значение k-й переменной на i-м элементе выборки (в данном случае — мнение k- го эксперта о выступлении i-й участницы), а поправочные коэффициенты N(k) рассчитываются по той же формуле

		1	m(k)	((nt(k) )3 − nt(k) ),
	N(k) =		∑
		12 t=1

что и для рангового коэффициента корреляции Спирмэна (m(k) — число групп связанных рангов в k-й ранжировке, а nt(k) — число элементов (рангов), входящих в t-ю группу связанных рангов).

Коэффициент конкордации (как и его оценка) может принимать значения из отрезка [0; 1], причем W (X(1), X(2),…, X(m) ) = 1 тогда и только тогда,

когда все ранжировки (мнения всех экспертов) совпадают; в случае, когда

мнения экспертов различаются, 0 W (X(1), X(2),…, X(m) ) < 1.
	Расчет				оценки					коэффициента											конкордации						проиллюстрируем
табл. 3.12.2.
	Поправочные коэффициенты
	N(1) =	(23 − 2) + (33 − 3)							= 2,5, N(2)			=		(23 − 2) + (23 − 2)											= 1, N(3)		= 0, N(4) =		(33 − 3)			= 2 .
				12													12													12
																											Т а б л и ц а				3.12.2
	Ранги в рейтингах																			Номера участниц
										1	2				3					4			5			6	7	8		9	10
	первого эксперта, x(1)									1	2				3,5				3,5				5			9	6	9		7	9
							i
	второго эксперта, x(2)									3	4,5				2					1			6			9,5	4,5	9,5		7	8
							i
	третьего эксперта, x(3)									3	2				4					1			5			10	7	8		6	9
							i
	четвертого эксперта, x(4)									2	1				4					3			6			10	6	9		8	6
							i
			m
		∑xi(k)								9	9,5				13,5				8,5				22			38,5	23,5	35,5		28	32
		k=1
	m				m(n +1)
	∑xi(k) −									–13	–12,5				–8,5			–13,5					0			16,5	1,5	13,5		6	10
	k=1			2
	m	(k)		m(n +1) 2
	∑xi		−							169	156,25				72,25			182,25					0			272,25	2,25	182,25		36	100
				2
	k=1
	Окончательно получаем
													(1)		, X	(2)	,		X	(3)	, X		(4)	) =
											W(X

= (169 + 156,25 + 72,25 + 182,25 + 0 + 272,25 + 2,25 + 182,25 + 36 + 100) = 0,91. 121 42(103 −10) − 4(2,5 + 1+ 0 + 2)

109

Проверка статистической значимости коэффициента конкордации (т. е.

проверка гипотезы H : W			(X(1)	, X(2),…, X(m) ) = 0 при альтернативной гипотезе
		0
H : W (X(1)	, X(2)	,…, X(m) ) > 0 ) производится с использованием статистики
1
				2
				χn−1	= m(n -1)W ,

которая в предположении справедливости гипотезы H0 при n > 7 распреде-

лена приблизительно по закону χ2 с n – 1 степенью свободы. Если наблюдаемое значение статистики χ2n−1 оказывается больше критической точки c2α; n−1 , то гипотеза H0 отвергается на уровне значимости a и принимается гипотеза H1.

В задаче значение статистики χ29 составило

4(10 – 1)0,91 = 32,7,

что больше критической точки c2α; n−1 = c20,05; 9 = 16,91, поэтому множественная

ранговая связь признается значимой, т. е. мнения экспертов можно признать согласованными.

3.13. П р и м е р о ц е н к и с в я з и м е ж д у д в у м я к а т е г о р и з о в а н н ы м и с л у ч а й н ы м и в е л и ч и н а м и

и о ц е н к и з а в и с и м о с т и о д н о й в е л и ч и н ы о т д р у г о й

В результате проведенного опроса учащихся девятых классов городских общеобразовательных школ относительно их планов о дальнейшем обучении и фактической реализации этих планов получена комбинационная таблица, представленная в табл. 3.13.1.

Требуется выяснить, зависимы или не зависимы величины X и Y, а

также вычислить значения коэффициентов связи и зависимости.

Т а б л и ц а 3.13.1

Планы опрошенных (Х)			Фактическое распределение (Y)
		1. 10-й класс	2. Колледж	3. Лицей	И т о г о
1.	10-й класс	120	40	5	165
2.	Колледж	10	35	10	55
3.	Лицей	15	25	40	80
И т о г о		145	100	55	300

Проверим на уровне значимости a = 0,05 гипотезу о независимости

двух изучаемых величин (признаков): «планы опрошенных» и «фактическое распределение», т. е.

H0 : {"i, j pij = pi p j}

против альтернативной гипотезы

H1 : {$i0, j0 pi0j0 ¹ pi p j для i =1,2,…, r, j =1,2,…, s} .

110