Компьютерный практикум по статистике

i = 1, 2, …, n. Функция yx = M(Y | X) = a0 + a1x называется линейной функцией регрессии.

Рассчитаем оценки ˆˆa , a и s параметров модели линейной регрессии.

0 1 ELR

Для этого воспользуемся программой «Регрессия», выбрав соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» Microsoft Excel.

В окне ввода исходных данных программы «Регрессия» (рис. 3.4.8) укажем входные интервалы результативного признака Y (B1:B61) и факторного признака x (A1:A61). Установим флажок «Метки» (указав, что в первой строке находятся названия переменных), очистим флажок «Константа — ноль» (чтобы в уравнении присутствовал свободный член a0), уровень надежности (1 – α) указывать не будем (по умолчанию он равен 95%). Укажем, что результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист.

Рис. 3.4.8. Окно ввода данных программы «Регрессия»

Результаты работы программы «Регрессия» представлены на рис. 3.4.9. Модуль оценки коэффициента корреляции ˆr(X,Y) = 0,72 выведен в результатах работы программы «Регрессия» (рис. 3.4.8) в таблице «Регрессионная статистика» под заголовком «Множественный R»; коэффициент л и - н е й н о й детерминации ˆr2(X,Y) = 0,52 выведен под заголовком «R-квадрат».

Оценки ˆa	= 0,30,ˆa = 0,14 параметров a	0	и a	1	содержатся в результатах
0	1
работы программы «Регрессия» (рис. 3.4.9)		в	в ы д е л е н н о й т а б л и ц е

в столбце «Коэффициенты» под заголовками «Y-пересечение» и «X» соответ-

ственно. Таким образом, оценка линейной функции регрессии такова:

ˆy =ˆa +ˆa x = 0,30 + 0,14x . График этой функции построен на рис. 3.4.4.

x 0 1

Оценка среднего квадратичного отклонения σELR, равная

51

MSрегр

n

ˆ

2

∑(Yi

- Yi

)

=

=

SS

=

2,78

= 0,22

sELR

i=1

ост

,

n - 2

n - 2

58

называется стандартной ошибкой регрессии и приводится в результатах работы программы «Регрессия» в таблице «Регрессионная статистика» под заголовком «Стандартная ошибка» (рис. 3.4.9).

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,72
R-квадрат	0,52
Нормированный	0,52
R-квадрат
Стандартная	0,22
ошибка
Наблюдения	60
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	2,97	2,97	62,03	1E-10
Остаток	58	2,78	0,05
Итого	59	5,74
	Коэффициенты	Стандартная	t-статистика	P-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
		ошибка
Y-пересечение	0,295264	0,053630	5,505555	8,76E–07	0,187917	0,402617
X	0,137312	0,017434	7,875949	1E–10	0,102413	0,172210

Рис. 3.4.9. Результаты работы программы «Регрессия»

в) Проверка гипотезы H0: a1 = 0 (о незначимости парного линейного уравнения регрессии) при альтернативе H1: a1 ¹ 0 производится на основе

анализа статистики

F1; n−2 = MSост /(n - 2) ,

имеющей (в предположении справедливости H0) распределение Фишера — Снедекора с одной и n – 2 = 58 степенями свободы. Значения величин

n

ˆ2

SSрегр

n

ˆ

SS

∑(Yi - Yi )

2

i=1

ост

MSрегр

=

1

= ∑(Yi

- Y)

и

MSост

=

n - 2

=

n

- 2

i=1

приводятся в результатах работы программы «Регрессия» в столбце «MS» в строках «Регрессия» и «Остаток» соответственно (рис. 3.4.9).

Нетрудно убедиться в том, что

SSрегр = nˆˆs2 r2, SSост = nˆs2 (1-ˆr2 ),

Y Y

а статистика

52

MSрегр		SSрегр		2
	=		=	ˆr
					.
MSост		SSост /(n - 2)		(1-ˆr2 )/(n - 2)

В данном случае наблюдаемое значение статистики MSрегр MSост , рав-

ное 62,03 [в результатах работы программы (рис. 3.4.9) оно приводится в таблице «Дисперсионный анализ» в столбце «F»], оказалось больше, чем критическая точка f0,05; 1; 58 = 4,0 [в Microsoft Excel значение fα;k1;k2 можно получить с помощью функции fα;k1;k2 = FРАСПОБР(<a>; <k1>; <k2>)], поэтому

есть основания отвергнуть гипотезу H0 на 5%-ном уровне значимости. Гипотезу H0 можно проверить и так: если значимость F [приведенная в ре-

зультатах работы программы «Регрессия» (рис. 3.4.9) в таблице «Дисперсионный анализ»)] оказывается не меньше принятого уровня значимости a (в данном случае a = 0,05), гипотезу H0 принимают, а если значимость F оказывается меньше a, гипотезу H0 отвергают. В данном случае есть основания отвергнуть

	гипотезу H , поскольку значимость F равна 1E-10 =10–10 = 0,0000000001.
	·	0	ˆ=
		Значение коэффициента		0,14 показывает, что увеличение расхо-
			a1

дов на рекламу на 1 тыс. ден. ед. сопровождается увеличением объема продаж в среднем на 0,14 млн. ден. ед.

·Интервальная оценка параметра a1, соответствующая надежности g,

такова:

ˆ

sELR

ˆ

sELR

a1

- t1−γ; n−2

< a1

< a1

+ t1−γ; n−2

.

n

n

∑(xi -

)2

∑(xi -

)2

x

x

i=1

i=1

n

В данной задаче t1−γ; n−2 = t0,05;58

= 2,0, s2X = 2,669,

∑(xi -

)2 = (n -1)s2X =

x

i=1

= 59 × 2,669 = 157,46, sELR = 0,22 [s2X = 2,669 в Microsoft Excel можно рассчи-

тать с помощью формулы ДИСП(<ряд x>)], поэтому при g = 0,95 интервальная оценка параметра a1 принимает вид

	0,14 - 2,0×	0,22			< a1 < 0,14 + 2,0×	0,22
		157,46				157,46

или, окончательно,

0,10 < a1 < 0,17,

т. е. с вероятностью 0,95 можно ожидать, что каждая тысяча ден. ед., дополнительно вложенная в рекламу, приведет к увеличению объема продаж в среднем от 0,10 млн. ден. ед. до 0,17 млн. ден. ед.

Интервальная оценка параметра a0, соответствующая надежности g, такова:

53

n

n

ˆ

sELR ∑xi2

ˆ

sELR

∑xi2

i=1

i=1

a0 - t1−γ; n−2

< a0

< a0 + t1−γ; n−2

.

n

n

n∑(xi

-

)2

n∑(xi -

)2

x

x

i=1

i=1

В рассматриваемой

задаче ˆa0 = 0,29, t1−γ; n−2 = t0,05;58 = 2,0, sX2 = 2,669 ,

n

n

∑(xi -

)2 =157,46,

∑xi2 = 567,76 , sELR = 0,22, поэтому при g = 0,95 интер-

x

i=1

i=1

вальная оценка параметра a0 принимает вид

0,29 - 2,0

0,22 567,76

< a0

< 0,29 + 2,0

0,22 567,76

60×157,46

60×157,46

или, окончательно,

0,19 < a0 < 0,40.

Интервальные оценки параметров a0 и a1, соответствующие надежности g = 0,95, приведены в результатах работы программы «Регрессия» (рис. 3.3.9): нижние границы интервалов приводятся в столбце «Нижние 95%», а верхние границы интервалов — в столбце «Верхние 95%».

· Точечным прогнозом генерального среднего M(Y | x¢)

объема продаж

при расходах на рекламу, равных x′ , будет величина ˆy ′ = 0,30 + 0,14x′ ;

x

в условиях примера точечные прогнозы генеральных средних M(Y | x¢)

при

′

= 0,725

; 2,075; 3,425;

4,775; 6,125

таковы:

0,395; 0,580; 0,766;

x

0,951; 1,136.

Интервальная оценка генерального среднего M(Y | x¢) , соответст-

вующая надежности g, задается формулой

1

′

2

1

′

2

ˆy ′− t

s

+

(x

− x)

< M(Y|x′) <ˆy ′+ t

s

+

(x

− x)

.

n

n

x

1−γ; n−2 ELR

n

x

1−γ; n−2

ELR

n

∑(xj −

)2

∑(xj −

)2

x

x

j=1

j=1

В условиях задачи при g = 0,95

0,308 < M(Y x¢ = 0,725) < 0,482, 0,521< M(Y x¢ = 2,075) < 0,640, 0,702 < M(Y x¢ = 3,425) < 0,829, 0,857 < M(Y x¢ = 4,775) <1,045, 1,001< M(Y x¢ = 6,125) <1,271,

эти интервальные оценки изображены на рис. 3.4.4.

Интервальный прогноз объема продаж при расходах на рекламу, равных x′ , соответствующий надежности g, задается формулой

54

1

′

2

1

′

2

ˆy ′− t

s

1+

+

(x

− x)

< Y|x′ <ˆy ′+ t

s

1+

+

(x

− x)

.

n

n

x

1−γ; n−2

ELR

n

x

1−γ; n−2

ELR

n

∑(xj −

)2

∑(xj −

)2

x

x

j=1

j=1

В условиях данной задачи при γ = 0,95 −0,052 < Y x′ = 0,725 < 0,841,

0,138 < Y x′ = 2,075 < 1,022,

0,323 < Y x′ = 3,425 < 1,208,

0,503 < Y x′ = 4,775 < 1,399,

0,678 < Y x′ = 6,125 < 1,595.

эти интервальные оценки изображены на рис. 3.4.4.

Расчет интервальных оценок для M(Y | x′) и Y | x′ в Microsoft Excel

проиллюстрирован рис. 3.4.10.

г) Проверим на 5%-ном уровне значимости гипотезу H0 о линейности функции регрессии Y на x. Для этого рассчитаем значение статистики

Fν−2; n−ν =	(SSитог	− SSрегр	− SSост )/(ν − 2)		,
		SSост /(n − ν)

которая в предположении справедливости гипотезы H0 имеет распределение Фишера — Снедекора с ν – 2 = 3 и n – ν = 55 степенями свободы. Здесь SSрегр приводится в результатах работы программы «Регрессия» в столбце

«SS» в строке «Регрессия» (рис. 3.3.9), а SSитог и SSост — в результатах работы программы «Однофакторный дисперсионный анализ» (табл. 3.3.2).

В условиях задачи наблюдаемое значение этой статистики равно (5,74 − 2,97 − 2,51)/(5 − 2) = 1,9 ,

2,51/(60 − 5)

и оно меньше критической точки f0,05; 3; 55 = 2,8, поэтому гипотеза H0 о линейности функции регрессии Y на x не отвергается.

Нетрудно убедиться в том, что названная статистика тождественна статистике

2	2
ˆ(ρ (Y | X)	−ˆr (X,Y))/(ν − 2)	.
2
(1−ˆρ (Y | X))/(n − ν)

3.5.М н о ж е с т в е н н ы й л и н е й н ы й

ре г р е с с и о н н ы й а н а л и з

Изучается линейная (в среднем) зависимость результативного признака Y — ожидаемой продолжительности жизни мужчины (в годах) от пяти факторных признаков — регрессоров x(1) — среднего числа детей в семье, x(2) — ВВП на душу населения (в долл. США по покупательной способности валют), x(3) — плотности населения (в чел. на кв. км), x(4) — процента грамотных и x(5) — рождаемости на 1000 чел. (см. табл. 3.5.1).

55

1.	М о д е л ь м н о ж е с т в е н н о г о л и н е й н о г о р е г р е с с и -
о н н о г о		а н а л и з а признака Y записывается следующим образом:
Y = a + a x(1)			+ a x(2)	+ a x(3)	+ a	x(4)	+ a x(5)	+ ε	; i = 1, 2,…, 52,
	i	0 1 i	2 i	3 i	4	i	5 i	i

где случайные величины εi (случайные эффекты влияния на результатив-

ный признак неконтролируемых факторов) независимы и имеют одинаковое нормальное распределение εi = N(0;σELR ), или, иначе, наблюдения Yi

независимы и имеют нормальное распределение

Yi = N (MYi = a0 + a1xi(1) + a2x(2)i + a3xi(3) + a4xi(4) + a5xi(5);σYi = σELR ) .

Функция

yx = M(Y x(1),x(2),x(3),x(4),x(5) ) = a0 + a1x(1) + a2x(2) + a3x(3) + a4x(4) + a5x(5)

называется линейной функцией множественной регрессии.

56

		A	B	C			D					E							F									G																H			I							J																	K	L
																																n
	1	X	Y	a0=		0,295264										=		=СРЗНАЧ(A2:A61)														∑(xi		−							)2		=	=(СЧЁТ(A2:A61)–1)*F2			sELR=														0,218773
														x																									x
																																i=1
	2	0,725	0,13	a1=		0,137312							sX2 =					=ДИСП(A2:A61)																	t0,05; 58=									=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;58)
	3	0,725	0,13
		0,725	0,13	x	′							ˆ							′ −			2																						Нижняя			Верхняя																								Нижняя	Верхняя
						yx′												(x														′ −		2																										′ −			2
												yx′								x)							1						x)																					1					(x			x)
																								t1−γ; n−2sELR					+			(x												граница			граница		t1−γ; n−2sELR		1+					+															граница	граница
	4																															n																											n
																											n				∑(xj −						)2																	n				∑(xj −									)2
																																		x										′	)		′	)																x							′	′	)
																																j=1												M(Y|x			M(Y|x												j=1												( Y|x )	( Y|x
	5	0,725	0,13	0,725			0,334				=$D$1+$D$2*C5=(C5–$F$1)^2													=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1/60+F5/$H$																				1)=E5–G5			=E5+G5		=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1+1/60+F5/$H$1)																						=E5–J5	=E5+J5
	6	0,725	0,13	2,075			0,640				=$D$1+$D$2*C6=(C6–$F$1)^2													=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1/60+F6/$H$																				1)=E6–G6			=E6+G6		=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1+1/60+F6/$H$1)																						=E6–J6	=E6+J6
	7	0,725	0,13	3,425			0,679				=$D$1+$D$2*C7=(C7–$F$1)^2													=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1/60+F7/$H$																				1)=E7–G7			=E7+G7		=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1+1/60+F7/$H$1)																						=E7–J7	=E7+J7
	8	0,725	0,39	4,775			1,021				=$D$1+$D$2*C8=(C8–$F$1)^2													=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1/60+F8/$H$																				1)=E8–G8			=E8+G8		=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1+1/60+F8/$H$1)																						=E8–J8	=E8+J8
	9	0,725	0,39	6,125			1,066				=$D$1+$D$2*C9=(C9–$F$1)^2													=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1/60+F9/$H$																				1)=E9–G9			=E9+G9		=$H$2*$J$1*КОРЕНЬ(1+1/60+F9/$H$1)																						=E9–J9	=E9+J9
	10
																									а) формулы Microsoft Excel
		A	B	C				D				E							F									G																H			I							J																	K	L
																																n
	1	X	Y	a0=		0,295264											=			2,615												∑(xi				−						)2	=			157,46	sELR=														0,218773
															x																									x
																																i=1
	2	0,725	0,13	a1=		0,137312							s2X =							2,669																t0,05; 58=										2,00
	3	0,725	0,13
		0,725	0,13		′							ˆ							′ −				2																					Нижняя			Верхняя																								Нижняя	Верхняя
							yx′																									′ −			2																										′ −				2
				x								yx′						(x		x)								1						x)																					1				(x			x)
																								t	s					+		(x												граница			граница		t	s	1+						+														граница	граница
																																n																											n
	4																							1−γ; n−2	ELR			n																					1−γ; n−2	ELR					n
																																∑(xj −						)2																					∑(xj −									)2
																																				x								′			′																			x					′	′
																																j=1												M(Y|x )			M(Y|x )												j=1												( Y|x )	( Y|x )
	5	0,725	0,13	0,725		0,334							0,395							3,5721													0,086872													0,308	0,482														0,446456										–0,052	0,841
	6	0,725	0,13	2,075		0,640							0,580							0,2916													0,059594													0,521	0,640														0,441959										0,138	1,022
	7	0,725	0,13	3,425		0,679							0,766							0,6561													0,063209													0,702	0,829														0,442460										0,323	1,208
	8	0,725	0,39	4,775		1,021							0,951							4,6656													0,094226													0,857	1,045														0,447945										0,503	1,399
	9	0,725	0,39	6,125		1,066							1,136							12,3201													0,134911													1,001	1,271														0,458232										0,678	1,595
	10

б) результаты расчетов

Рис. 3.4.10. Расчет доверительных интервалов для M( Y | x′) и Y | x′

57

Т а б л и ц а 3.5.1

№	Страна	Y	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)	x(5)
п / п
1	Австралия	74	1,90	16 848	2,3100		15
2	Австрия	73	1,50	18 396	94,0	99	12
3	Аргентина	68	2,80	3408	12,0	95	20
4	Бангладеш	53	4,70	202	800,0	35	35
5	Беларусь	66	1,88	6500	50,0	99	13
6	Бельгия	73	1,70	17 912	329,0	99	12
7	Бразилия	57	2,70	2354	18,0	81	21
8	Буркина-Фасо	47	6,94	357	36,0	18	47
9	Великобритания	74	1,83	15 974	237,0	99	13
10	Вьетнам	63	3,33	230	218,0	88	27
11	Гаити	43	5,94	383	231,0	53	40
12	Германия	73	1,47	17 539	227,0	99	11
13	Гондурас	65	4,90	1030	46,0	73	35
14	Гонконг	75	1,40	14 641	5494,0	77	13
15	Египет	60	3,77	748	57,0	48	29
16	Замбия	44	6,68	573	11,0	73	46
17	Индия	58	4,48	275	283,0	52	29
18	Ирландия	73	1,99	12 170	51,0	98	14
19	Испания	74	1,40	13 047	77,0	95	11
20	Италия	74	1,30	17 500	188,0	97	11
21	Канада	74	1,80	19 904	2,8	97	14
22	Китай	67	1,84	377	124,0	78	21
23	Колумбия	69	2,47	1538	31,0	87	24
24	Коста-Рика	76	3,10	2031	64,0	93	26
25	Куба	74	1,90	1382	99,0	94	17
26	Малайзия	66	3,51	2995	58,0	78	29

№	Страна	Y	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)	x(5)
п / п
27	Марокко	66	3,83	1062	63,0	50	29
28	Мексика	69	3,20	3604	46,0	87	28
29	Нидерданды	75	1,58	17 245	366,0	99	13
30	Новая Зеландия	73	2,03	14 381	13,0	99	16
31	Норвегия	74	2,00	17 755	11,0	99	13
32	ОАЭ	70	4,50	14 193	32,0	68	28
33	Польша	69	1,94	4429	123,0	99	14
34	Португалия	71	1,50	9000	108,0	85	12
35	Россия	64	1,83	6680	8,8	99	13
36	Саудовская Аравия	66	6,67	6651	7,7	62	38
37	Северная Корея	67	2,40	1000	189,0	99	24
38	Сингапур	73	1,88	14 990	4456,0	88	16
39	США	73	2,06	23 474	26,0	97	15
40	Таиланд	65	2,10	1800	115,0	93	19
41	Турция	69	3,21	3721	79,0	81	26
42	Украина	65	1,82	2340	87,0	97	12
43	Филиппины	63	3,35	867	221,0	90	27
44	Финляндия	72	1,80	15 877	39,0	100	13
45	Франция	74	1,80	18 944	105,0	99	13
46	Чили	71	2,50	2591	18,0	93	23
47	Швейцария	75	1,60	22 384	170,0	99	12
48	Швеция	75	2,10	16 900	19,0	99	14
49	Эфиопия	51	6,81	122	47,0	24	45
50	ЮАР	62	4,37	3128	35,0	76	34
51	Южная Корея	68	1,65	6627	447,0	96	16
52	Япония	76	1,55	19 860	330,0	99	11

2.Введем исходные данные в рабочий лист Microsoft Excel (рис. 3.5.1).

	A	B	C	D	E	F	G
1	Страна	Y	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)	x(5)
2	Австралия	74	1,9	16 848	2,3	100	15
3	Австрия	73	1,5	18 396	94	99	12
4	Аргентина	68	2,8	3408	12	95	20
5	Бангладеш	53	4,7	202	800	35	35
6	Беларусь	66	1,9	6500	50	99	13
7	Бельгия	73	1,7	17 912	329	99	12
8	Бразилия	57	2,7	2354	18	81	21
9	Буркина-Фасо	47	6,9	357	36	18	47
10	Великобритания	74	1,8	15 974	237	99	13
11

Рис. 3.5.1. Числовые данные для программ «Корреляция» и «Регрессия»

Для расчета матрицы оценок коэффициентов парной корреляции воспользуемся программой «Корреляция». Для этого выберем соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных». В появившемся окне ввода данных (рис. 3.5.2) укажем входной интервал B1:G53, в который мы ввели исходные

данные (с заголовками столбцов — названиями признаков, поэтому отметим флажок «Метки в первой строке»). Укажем, что данные сгруппированы по

58

столбцам, а результаты работы необходимо вывести на новый рабочий лист. Результаты работы программы «Корреляция» представлены на рис. 3.5.3.

Рис. 3.5.2. Окно ввода данных программы «Корреляция»

	Y	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)	x(5)
Y	1
x(1)	–0,808	1
x(2)	0,684	–0,576	1
x(3)	0,145	–0,163	0,164	1
x(4)	0,754	–0,833	0,544	–0,041	1
x(5)	–0,817	0,966	–0,691	–0,142	–0,826	1

Рис. 3.5.3. Результаты работы программы «Корреляция»

В результате работы программы «Корреляция» рассчитана матрица оце-

нок коэффициентов парной корреляции [ввиду симметричности этой матрицы

ˆ(r ) в результатах работы программы «Корреляция» приводится только часть

ij

матрицы — не выше главной диагонали]. Жирным шрифтом выделены коэффициенты корреляции, оценки которых по модулю превосходят 0,7.

На основе анализа матрицы оценок коэффициентов парной корреляции можно сделать следующие выводы. Судя по наблюдениям, наиболее сильна линейная связь результативного признака Y (ожидаемой продолжительности жизни мужчины) с факторным признаком X(1) (средним числом детей в семье), с X(4) (процентом грамотных) и с X(5) (рождаемостью), поскольку модули оценок

соответствующих коэффициентов парной корреляции достаточно велики: ˆ| r(Y;X(1) )|= 0,808 , ˆ| r(Y;X(4) )|= 0,754 и ˆ| r(Y;X(5) )|= 0,817. Линейная связь Y с X(2) также достаточно сильна: ˆ| r ( Y; X(2) ) |= 0,684; связь Y с X(3) выражена слабее.

Достаточно сильна линейная связь между каждой парой регрессоров X(1), X(4) и X(5) (X(1) — среднее число детей в семье, X(4) — процент грамотных, X(5) — рождаемость): ˆ| r(X(1); X(4)) |= 0,833, ˆ| r(X(1); X(5)) |= 0,966, ˆ| r(X(4); X(5)) |= 0,826 —

это может свидетельствовать о коллинеарности регрессоров X(1) и X(4), X(1) и X(5) , X(4) и X(5). Малые абсолютные значения оценок коэффициентов корре-

ляции между остальными регрессорами говорят об относительно слабой линейной связи между ними.

59

3. Рассчитаем оценки ˆˆˆˆˆˆa , a ,a , a ,a , a						и s параметров модели ли-
0	1	2	3	4	5	ELR

нейной регрессии. Для этого воспользуемся программой «Регрессия», выбрав соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» Microsoft Excel.

В окне ввода исходных данных программы «Регрессия» (рис. 3.5.4) укажем входные интервалы результативного признака Y (B1:B53) и факторных признаков x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) (С1:G53). Установим флажок «Метки» (указав,

что в первой строке находятся названия переменных), очистим флажок «Константа — ноль» (чтобы в уравнении присутствовал свободный член a0), уровень надежности (1 – α) указывать не будем (по умолчанию он равен 95%). Укажем, что результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист. Укажем также, что необходимо вывести остатки.

Рис. 3.5.4. Окно ввода данных программы «Регрессия»

Результаты работы программы «Регрессия» представлены на рис. 3.5.5.

Оценки	ˆa	= 62,29,ˆa = −3,37,ˆa		= 0,000375,ˆa	= 0,000215,ˆa = 0,088,ˆa = 0,193
	0	1	2	3	4	5

параметров a0, a1, a2, a3, a4, a5 содержатся в результатах работы программы «Регрессия» (рис. 3.5.5) в выделенной таблице в столбце «Коэффициенты» под заголовками «Y-пересечение», «x(1)», «x(2)», «x(3)», «x(4)», «x(5)» соответ-

ственно. Таким образом, оценка линейной функции регрессии такова:

ˆy	=ˆa +ˆa x(1)		+ˆa x(2)	+ˆa x(3)	+ˆa x(4)	+ˆa x(5)	=
x	0	1	1	1	1	1

=62,29 − 3,37x(1) + 0,000375x(2) + 0,000215x(3) + 0,088x(4) + 0,193x(5) .

Втаблице «Вывод остатка», фрагмент которой приведен на рис. 3.5.5, содержится предсказанное Y — это ˆyi , рассчитанные по построенному

уравнению регрессии, и остатки — это разности (yi −ˆyi ) . Зная эти остатки,

можно рассчитать среднюю относительную ошибку аппроксимации (в про-

	1	n	| y	i	−ˆy	|
центах): δ =		∑			i		. В условиях примера δ ≈ 0,045 = 4,5%.
	n i=1				yi
60