Компьютерный практикум по статистике

Кластеризовать

									Сводка обработки наблюденийa
										Наблюдения
					Валидные					Пропущенные							Всего
					N	Процент				N		Процент				N			Процент
					20			100,0		0		0,0					20		100,0
									a. Метод единичных связей
										Матрица близости
Наблюдения										Евклидовы расстояния
				1:Австралия						2:Австрия				3:Беларусь					4:Бразилия			…		20:ЮАР
1:Австралия										1,066			1,372						2,157			…		3,124
2:Австрия					1,066								1,543						2,562			…		3,522
3:Беларусь					1,372					1,543									1,425			…		2,761
4:Бразилия					2,157					2,562			1,425									…		1,602
…					…					…					…				…					…
20:ЮАР					3,124					3,522			2,761						1,60			…
										Это матрица различий.
Метод единичных связей
										Шаги агломерации
Этап	Кластер объединен с								Коэффициенты					Этап первого появления кластера									Следующий
	Кластер 1				Кластер 2									Кластер 1					Кластер 2					этап
1		6			18					0,134				0					0					16
2		5			7					0,360				0					0					4
3		1			11					0,418				0					0					7
4		5			10					0,443				2					0					10
5		3			15					0,443				0					0					8
…		…			…					…				…					…					…
19		1			19					2,573				18					0					0

Дендрограмма с использованием метода ближайшего соседа Объединение кластеров по масштабируемому расстоянию

Рис. 3.7.7. Результаты работы программы «Иерархический кластерный анализ» с объединением по методу ближнего соседа

81

К этой матрице вновь применяются описанные операции и так до тех пор, пока все объекты не будут объединены в один кластер.

в) Появившаяся в окне ввода исходных данных новая переменная «CLU2_1» содержит информацию о принадлежности стран к кластерам. Все

страны, кроме Эфиопии, вошли в первый кластер, а Эфиопия — во второй. Такое разбиение представляется бесполезным.

3. Для реализации иерархического кластерного анализа этих же стран с объединением кластеров по методам дальнего соседа и средней связи обратимся (с помощью выбора пункта меню «Анализ | Классификация | Иерархическая кластеризация…») к программе «Иерархический кластерный анализ» (рис. 3.7.2), выбрав в качестве классификационных признаков стандартизованные признаки z(1), z(2), z(3), z(4), z(5).

В окне ввода параметров метода иерархического кластерного анализа, вызываемом нажатием кнопки «Метод…» (рис. 3.7.3), укажем, что необходимо использовать метод дальнего соседа и, соответственно, метод средней связи (в терминологии PASW Statistics — «Метод: Межгрупповые связи»), а

остальные параметры оставим такими же, как и при выполнении п. 1. Дендрограммы, полученные в результате иерархического кластерного

анализа стран с объединением кластеров по методам дальнего соседа и средней связи, представлены на рис. 3.7.8 и 3.7.9.

Судя по дендрограмме, полученной в результате иерархического кластерного анализа стран с объединением кластеров по методу дальнего соседа, исходную совокупность стран имеет смысл разбить на два кластера:

∙в первый кластер вошли Австралия, Австрия, Беларусь, Бразилия, Великобритания, Германия, Италия, Канада, Китай, Мексика, Польша, Россия, США и Украина;

∙во второй кластер вошли Вьетнам, Замбия, Индия, Филиппины, Эфиопия и ЮАР.

Эта информация содержится в новой переменной «CLU2_2», появив-

шейся в окне ввода исходных данных.

Судя по дендрограмме, полученной в результате иерархического кластерного анализа стран с объединением кластеров по методу средней связи, исходную совокупность стран имеет смысл разбить на два кластера:

∙в первый кластер вошли Австралия, Австрия, Беларусь, Бразилия, Великобритания, Вьетнам, Германия, Италия, Канада, Китай, Мексика, Польша, Россия, США, Украина, Филиппины и ЮАР;

∙во второй кластер вошли Замбия, Индия и Эфиопия.

Эта информация содержится в новой переменной «CLU2_3», появив-

шейся в окне ввода исходных данных.

4. Для реализации кластерного анализа этих же стран по методу K- средних обратимся (с помощью выбора пункта меню « Анализ | Классификация | Кластеризация K-средними…») к программе «Кластерный анализ методом K- средних» (рис. 3.7.10), выбрав в качестве классификационных признаков стандартизованные признаки z(1), z(2), z(3), z(4), z(5) и указать в качестве количества кластеров («Число кластеров») число 2. Укажем, что в результатах работы программы нужно обозначать их с помощью названий («Метить наблюдения: Страна»).

82

Дендрограмма с использованием метода дальнего соседа Объединение кластеров по масштабируемому расстоянию

Рис. 3.7.8. Дендрограмма, полученная в результате иерархического кластерного анализа с объединением по методу дальнего соседа

Дендрограмма с использованием метода межгрупповых связей Объединение кластеров по масштабируемому расстоянию

Рис. 3.7.9. Дендрограмма, полученная в результате иерархического кластерного анализа с объединением по методу средней связи

83

Рис. 3.7.10. Окно ввода данных программы «Кластерный анализ методом K-средних»

В окне «Кластерный анализ методом K-средних: Параметры», вызываемом нажатием кнопки «Параметры…» (рис. 3.7.11), укажем, что необходимо вывести в отчете начальные центры кластеров и информацию о конечном кластере для каждого наблюдения.

Рис. 3.7.11. Окно «Кластерный анализ методом K-средних: Параметры»

В окне ввода параметров сохранения результатов кластерного анализа по методу K-средних, вызываемом нажатием кнопки «Сохранить…»

84

(рис. 3.7.12), укажем, что необходимо сохранить в качестве новой переменной принадлежность стран к кластерам, отметив флажок «Принадлежность к кластеру».

Рис. 3.7.12. Окно «Кластерный анализ методом K-средних: Сохранить»

В результате работы программы (рис. 3.7.13) получено разбиение исходной совокупности стран на два кластера:

∙в первый кластер вошли Замбия, Индия, Эфиопия и ЮАР;

∙во второй кластер вошли Австралия, Австрия, Беларусь, Бразилия, Великобритания, Вьетнам, Германия, Италия, Канада, Китай, Мексика, Польша, Россия, США, Украина и Филиппины.

Эта информация содержится в новой переменной «QCL_1», появив-

шейся в окне ввода исходных данных.

5. В результате иерархического кластерного анализа стран с объединением по методу ближнего соседа с выбором в качестве классификационных признаков двух главных компонент, сохраненных при выполнении работы 6, получено разбиение исходной совокупности стран на два кластера: все страны, кроме Эфиопии, вошли в первый кластер, а Эфиопия — во второй (эта информация содержится в новой переменной «CLU2_4», поя-

вившейся в окне ввода исходных данных).

Такое разбиение представляется бесполезным (точно такое же разбиение было нами получено в результате иерархического кластерного анализа тех же стран с объединением по методу ближнего соседа с выбором в качестве классификационных признаков стандартизованных исходных признаков).

Врезультате иерархического кластерного анализа стран с объединением по методу дальнего соседа и по методу средней связи с выбором в качестве классификационных признаков двух главных компонент получено разбиение исходной совокупности стран на два кластера: в первый кластер вошли все страны, кроме Замбии и Эфиопии, а во второй кластер — Замбия и Эфиопия. Такое разбиение представляется нам также бесполезным.

Врезультате кластерного анализа стран по методу K-средних с выбо-

ром в качестве классификационных признаков двух главных компонент, получено такое же разбиение исходной совокупности стран на два кластера, как и в результате проведения кластерного анализа тех же стран по методу K-средних с выбором стандартизованных исходных признаков в каче-

стве классификационных.

6.Поскольку при выполнении п. 5 работы 6 не удалось выявить общие факторы, классифицировать страны по общим факторам невозможно.

7.По результатам выполнения пп. 1 — 6 составим сводную таблицу (табл. 3.7.1).

85

Быстрый кластерный анализ

Начальные центры кластеров

			Кластер
			1		2
	Z-знач: x(1)		2,455		–0,818
	Z-знач: x (2)		–0,966		1,154
	Z-знач: x3)		–0,594		1,333
	Z-знач: x (4)		–3,243		0,646
	Z-знач: x (5)		2,187		0,918
		История итерацийa
Итерация		Изменения центров кластеров
		1			2
1		1,994			1,758
2		0,000			0.000

a. Сходимость достигнута по критерию малой величины или отсутствия изменений в положении центров кластеров. Максимальное абсолютное изменение координаты любого кластера составляет 0,000. Текущая итерация 2.

Минимальное расстояние между начальными центрами 6,609.

Принадлежность к кластерам

Номер наблюдения						Страна						КластерРасстояние
1						Австралия						2	1,437
2						Австрия						2	1,221
3						Беларусь						2	0,837
4						Бразилия						2	1,560
5					Великобритания							2	1,667
6						Вьетнам						2	2,094
7						Германия						2	1,758
8						Замбия						1	1,570
9						Индия						1	2,316
10						Италия						2	1,487
11						Канада						2	1,677
12						Китай						2	1,498
13						Мексика						2	1,617
14						Польша						2	0,777
15						Россия						2	1,184
16						США						2	1,876
17						Украина						2	1,049
18					Филиппины							2	2,062
19						Эфиопия						1	1,994
20						ЮАР						1	1,495
		Конечные центра кластеров
						Кластер
						1		2
			Zscore: x(1)			1,704–0,426
			Zscore: x(2)			–0,856		0,214
			Zscore: x(3)			–0,090		0,023
			Zscore: x(4)			–1,571		0,393
			Zscore: x(5)			1,593–0,398
	Расстояния между конечными центрами кластеров
				Кластер		1		2
				1			3,677
				2		3,677
	Число наблюдений в каждом кластере
	Кластер	1										4,000
		2										16,000
	Валидные											20,000
	Пропущенные значения											0,000

Рис. 3.7.13. Результаты работы программы «Кластерный анализ методом K-средних»

86

Рассчитаем внутрикластерные средние и дисперсии каждого из пяти признаков. Для этого обратимся (с помощью выбора пункта меню «Анализ | Сравнение средних | Средние…») к программе «Средние» (рис. 3.7.14), введя в список зависимых переменных для сравнения средних значений переменные «x(1)», «x(2)», «x(3)», «x(4)», «x(5)», а в список независимых переменных

вводя по очереди переменные «CLU2_2», «CLU2_3», «QCL_1».

В окне ввода параметров программы «Средние», вызываемом нажатием кнопки «Параметры…» (рис. 3.7.15), укажем, что в результатах работы

программы необходимо вывести для каждой комбинации «кластер — признак» среднее значение данного признака в данном кластере («Среднее»), количество объектов в кластере («Число наблюдений»), среднее квадратичное отклонение («Стандартное отклонение») и дисперсию («Дисперсия»).

Рис. 3.7.14. Окно ввода данных программы «Средние»

Рис. 3.7.15. Окно ввода параметров программы «Means»

87

Результаты работы программы для варианта разбиения с объединением по методу дальнего соседа представлены на рис. 3.7.16.

Внесем средние значения и исправленные выборочные дисперсии в табл. 3.7.1 и вычислим для каждого варианта разбиения сумму внутриклассовых дисперсий признаков. Эта сумма минимальна для первого варианта разбиения стран на кластеры.

Средние

Сводка обработки наблюдений

														Наблюдения
							Включенные							Исключенные							Итого
						N			Процент					N			Процент				N			Процент
		x(1) * Single Linkage						20	100,0%							0		,0%			20				100,0%
		x(2) * Single Linkage						20	100,0%							0		,0%			20				100,0%
		x(3) * Single Linkage						20	100,0%							0		,0%			20				100,0%
		x(4) * Single Linkage						20	100,0%							0		,0%			20				100,0%
		x(5) * Single Linkage						20	100,0%							0		,0%			20				100,0%
											Отчет
		Single Linkage						x(1)				x(2)					x(3)				x(4)				x(5)
		1	Среднее						1,934		11 137,07					88,14					94,86				15,21
			N						14					14		14					14				14
			Стд.Отклонение						0,487		8003,15					81,76					7,26				4,84
			Последнее						0,237		64 050 482,37					6685,22					52,75				23,41
		2	Среднее						4,837		865,83					135,83					67,17				34,67
			N						6					6				6			6				6
			Стд.Отклонение						1,557		1141,04					117,73					25,14				8,78
			Последнее						2,423		1 301 961,37					13 860,97					632,17				77,07
		Итого	Среднее						2,805		8055,70					102,45					86,55				21,05
			N						20					20		20					20				20
			Стд.Отклонение						1,632		8215,07					93,41					19,29				10,95
			Последнее						2,663		67 487 319,59					8724,63					371,95				119,95
									Таблица ANOVA
														Сумма				ст.св.			Средний					F			Знч.
														квадратов							квадрат
x(1) * Single Linkage				Между группами				(Комбинированная)								35,40		1			35,39					41,94		0,000004
				В группах												15,19		18			0,84
				Итого												50,59		19
x(2) * Single Linkage				Между группами				(Комбинированная)						443 092 944,44				1			443 092 944,44					9,50		0,006415
				В группах										839 166 077,76				18			46 620 337,65
				Итого										1 282 259 072,20				19
x(3) * Single Linkage				Между группами				(Комбинированная)								9556,26		1			9555,26					1,10		0,307926
				В группах												156 212,75		18			8678,44
				Итого												165 768,01		19
x(4) * Single Linkage				Между группами				(Комбинированная)								3220,40		1			3220,40					15,07		0,001092
				В группах												3846,54		18			213,70
				Итого												7066,95		19
x(5) * Single Linkage				Между группами				(Комбинированная)								1589,26		1			1589,26					41,48		0,000005
				В группах												689,69		18			38,32
				Итого												2278,95		19
										Меры связи
													Эта			Эта квадрат
					x(1) * Single Linkage									0,578				0,334
					x(2) * Single Linkage									0,227				0,052
					x(3) * Single Linkage									0,140				0,020
					x(4) * Single Linkage									0,763				0,583
					x(5) * Single Linkage									0,515				0,265

Рис. 3.7.16. Результаты работы программы «Средние»

88

8. В таблице результатов дисперсионного анализа («Таблица ANOVA»), полученной в результате работы программы «Средние» для

первого варианта разбиения (рис. 3.7.16) содержатся данные для проверки гипотез о равенстве математических ожиданий признаков в двух кластерах (при альтернативных гипотезах о различии математических ожиданий признаков). В последнем столбце («Знч.») содержится рассчитанный уровень значимости (P-значение).

Рассчитанный уровень значимости меньше 0,05 для первого, второго, четвертого и пятого признаков, поэтому есть основания отвергнуть гипотезы о равенстве математических ожиданий признаков x(1), x(2), x(4), x(5) в двух

кластерах, а оснований отвергнуть гипотезу о равенстве математических ожиданий признака x(3) в двух кластерах нет.

Таким образом, можно заключить, что математические ожидания среднего числа детей в семье (x(1)), ВВП на душу населения (x(2)), процента грамотных (x(4)) и рождаемости (x(5)) в двух кластерах различны, а математические ожидания плотности населения (x(3)) в двух кластерах одинаковы.

Это дает основания назвать первый кластер (Австралию, Австрию, Беларусь, Бразилию, Великобританию, Германию, Италию, Канаду, Китай, Мексику, Польшу, Россию, США и Украину) группой более развитых стран, а второй кластер (Вьетнам, Замбию, Индию, Филиппины, Эфиопию и ЮАР) — группой менее развитых стран.

9. Результатом регрессионного анализа (с исключением) признака Y на признаки x(1), x(2), x(3), x(4), x(5) для первого кластера стало уравнение

ˆyf = 2,38 −13,21x(1) + 0,000362x(2) + 0,64x(4) + 1,85x(5) .

Это уравнение и все его коэффициенты значимы, оценка нормированного коэффициента детерминации равна 0,86. (Студент должен приложить к работе распечатки результатов расчетов, полученных с помощью компьютерных программ регрессионного анализа.)

Анализ этого уравнения позволяет сделать следующие выводы:

∙увеличение на единицу среднего числа детей в семье x(1) (при неизмен-

ных значениях ВВП на душу населения, процента грамотных и рождаемости) сопровождается уменьшением средней продолжительности жизни мужчины в странах из первого кластера на 13,21 года (в целом по 52 странам увеличение среднего числа детей в семье на единицу, как было показано при выполнении п. 6 работы 5, сопровождается уменьшением средней продолжительности жизни мужчины на 3,22 года);

∙увеличение на единицу ВВП на душу населения x(2) (при неизменных

значениях среднего числа детей в семье, процента грамотных и рождаемости) сопровождается увеличением средней продолжительности жизни мужчины в странах из первого кластера на 0,000362 года (в целом по 52 странам увеличение ВВП на душу населения на единицу, как было показано при выполнении п. 6 работы 5, сопровождается увеличением средней продолжительности жизни мужчины на 0,000375 года);

∙увеличение на единицу плотности населения x(3) в странах из первого

кластера не сопровождается изменением средней продолжительности жизни мужчины (как и в целом по 52 странам — см. результаты выполнения п. 6 работы 5);

89

90

Т а б л и ц а 3.7.1

Сумма

Метод

Номер

Страны,

Внутриклассовые

Внутриклассовые

внутри-

разбиения

кластера

вошедшие в кластер

средние значения признаков

дисперсии признаков

классовых

дисперсий

Австралия, Австрия, Бела-

русь,

Бразилия,

Велико-

sX2 (1)

= 0,24, s2X(2)

= 64 050 482,38,

x(1)

= 1,93, x(2)

= 11137,07,

1

британия, Германия, Ита-

лия, Канада, Китай, Мекси-

s2

= 6685,22, s2 (4)

= 52,75, s2 (5)

= 23,41

дальнего

x

(3)

=

88,14, x

(4)

=

94,86, x

(5) =

15,21

(3)

ка, Польша, Россия, США,

X

X

X

65 373 778,00

соседа

Украина

Вьетнам, Замбия, Индия,

s2 (1)

= 2,42, s2 (2) = 1301961,37,

x(1)

= 4,84, x(2)

= 865,83, x(3)

= 135,83,

2

Филиппины,

Эфиопия,

X

X

sX2

= 13 860,97, sX2

= 632,17, s2X(5) = 77,07

ЮАР

x(4)

= 67,17, x(5)

= 34,67

(3)

(4)

Австралия, Австрия, Бела-

русь, Бразилия, Велико-

британия, Вьетнам, Герма-

s2 (1)

= 0,71, s2

= 66 945 757,69,

x(1)

= 2,24, x(2) = 9420,24, x(3)

= 100,47,

(2)

1

ния, Италия, Канада, Ки-

X

X

sX2

= 7604,06, s2X(4)

= 66,06, s2X(5)

= 51,85

средней

тай, Мексика, Польша, Рос-

x(4)

= 93,06, x(5)

= 17,71

(3)

67 028 609,07

связи

сия, США, Украина, Фи-

липпины, ЮАР

s2

= 1,71, s2

(2) = 52 602,33,

x(1)

= 5,99,

x(2)

= 323,33, x(3)

= 113,67,

(1)

2

Замбия, Индия, Эфиопия

X

X

sX2

= 21829,33, s2X(4)

= 604,33, sX2

(5) = 91,00

x(4)

= 49,67, x(5)

= 40,00

(3)

s2X(1)

= 1,80, sX2 (2) = 2 001607,00,

1

Замбия, Индия,

Эфиопия,

x(1)

= 5,59, x(2)

= 1024,50, x(3) = 94,00,

ЮАР

sX2

= 16100,00, s2X(4)

= 576,25, sX2

(5) = 69,67

x(4)

= 56,25, x(5)

= 38,50

(3)

Австралия, Австрия, Бела-

K-средних

русь,

Бразилия,

Велико-

70 630 607,86

британия, Вьетнам, Герма-

= 2,11,

= 9813,50,

2

=

2

= 68 604 359,00,

x

(1)

x

(2)

2

ния, Италия, Канада, Ки-

sX(1)

0,44, sX(2)

sX2 (3)

= 7807,43, sX2 (4)

= 49,85, s2X(5)

= 36,50

тай, Мексика, Польша, Рос-

x(3)

= 104,56, x(4)

= 94,13, x(5) = 16,69

сия, США, Украина, Фи-

липпины